📐 KPSS Matematik — Rasyonel Sayılar, Üslü-Köklü İfadeler

📚 Rasyonel Sayılar, Üslü-Köklü İfadeler konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Rasyonel sayılar, üslü ve köklü ifadeler, sayılarla işlem yapmanın temelidir. KPSS Genel Yetenek matematiğinde bu konudan doğrudan işlem sorusu gelir. Ayrıca problem, denklem ve oran sorularında da aynı kurallar kullanılır; burada hata yapan, başka konularda da puan kaybeder.

Temel bilgiler

• Rasyonel sayı: a/b biçiminde yazılabilen sayıdır; payda sıfır olamaz. Örnek: 3/4, −5 = −5/1, 0,25 = 1/4.
• Toplama ve çıkarma: Önce paydalar eşitlenir. Örnek: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
• Çarpma: Pay payla, payda paydayla çarpılır. Örnek: 2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5.
• Bölme: Birinci kesir aynen kalır, ikinci ters çevrilip çarpılır. Örnek: 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 5/6.
• İşlem önceliği: Önce parantez, sonra üs, sonra çarpma ve bölme, en son toplama ve çıkarma. Örnek: 1/2 + 1/2 × 4 = 1/2 + 2 = 5/2.
• Aynı tabanlı üslerde çarpma ve bölme: Çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır. Örnek: 2³ × 2⁴ = 2⁷, 3⁵ ÷ 3² = 3³.
• Üssün üssü: Üsler çarpılır. Örnek: (2³)² = 2⁶ = 64.
• Sıfır ve negatif üs: Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. Negatif üs sayıyı ters çevirir. Örnek: 7⁰ = 1, 2⁻³ = 1/8.
• Negatif taban: Çift kuvvet pozitif, tek kuvvet negatif sonuç verir. Örnek: (−2)⁴ = 16, (−2)³ = −8.
• Kök dışına çıkarma: Tam kare çarpan kökten çıkar. Örnek: √18 = √(9 × 2) = 3√2.
• Köklerde toplama: Yalnız kök içleri aynı olanlar toplanır. Örnek: 3√2 + 5√2 = 8√2.
• Köklerde çarpma: Kök içleri çarpılır. Örnek: √3 × √12 = √36 = 6.
• Paydayı kökten kurtarma: Pay ve payda aynı kökle çarpılır. Örnek: 6/√3 = 6√3/3 = 2√3.

Çözümlü örnek 1

Soru: (3/4 − 1/6) ÷ (1/2 + 2/3) işleminin sonucu kaçtır?

• Birinci parantez: Paydalar 12'de eşitlenir. 3/4 = 9/12, 1/6 = 2/12. Fark 7/12 olur.
• İkinci parantez: Paydalar 6'da eşitlenir. 1/2 = 3/6, 2/3 = 4/6. Toplam 7/6 olur.
• Bölme: 7/12 ÷ 7/6 = 7/12 × 6/7 olur.
• Sadeleştirme: 7'ler gider, 6/12 = 1/2 kalır.

Sonuç 1/2'dir. Denetim: 1/2 × 7/6 = 7/12 eder; bu da bölünen sayıdır, sonuç doğrudur.

Çözümlü örnek 2

Soru: √72 + √50 − √98 işleminin sonucu, (2⁵ × 4³) ÷ 8³ sayısının kaç katıdır?

• Kökleri sadeleştir: √72 = 6√2, √50 = 5√2, √98 = 7√2.
• Topla ve çıkar: 6√2 + 5√2 − 7√2 = 4√2.
• Üslü ifadede tabanları 2 yap: 4³ = (2²)³ = 2⁶, 8³ = (2³)³ = 2⁹.
• İşlemi yap: 2⁵ × 2⁶ = 2¹¹, 2¹¹ ÷ 2⁹ = 2² = 4.
• Oranla: 4√2 ÷ 4 = √2.

Sonuç √2 katıdır. Denetim: √2 yaklaşık 1,41'dir; 4 × 1,41 yaklaşık 5,64 eder. Köklerin yaklaşık değerleri de 8,49 + 7,07 − 9,90 = 5,66 verir; iki sonuç birbirini tutuyor.

Sık yapılan hatalar

• Kökleri doğrudan toplamak: √9 + √16 = √25 yazmak yanlıştır. Doğrusu 3 + 4 = 7'dir.
• Parantezi görmemek: −3² ile (−3)² aynı değildir. −3² = −9, (−3)² = 9'dur.
• Üssü çarpma sanmak: 2³ = 6 değildir. Doğrusu 2 × 2 × 2 = 8'dir.
• Negatif üssü negatif sayı sanmak: 2⁻² = −4 değildir. Doğrusu 1/4'tür.
• Kesirleri toplarken payları ve paydaları ayrı ayrı toplamak: 1/2 + 1/3 = 2/5 yanlıştır. Doğrusu payda eşitleyip 5/6 bulmaktır.

Sınavda nasıl sorulur?

• Doğrudan işlem sorusu: Kesirli, üslü ya da köklü bir ifadenin sonucu istenir. İşlem önceliğine dikkat et.
• Taban eşitleme sorusu: 4, 8, 16 gibi sayılar 2'nin kuvveti olarak yazılır; 9 ve 27 ise 3'ün kuvvetidir.
• Sıralama sorusu: Kesirler ya da köklü sayılar küçükten büyüğe dizilir. Kesirlerde payda eşitle, köklerde sayıların karesini al.
• Kat ve oran sorusu: İki ifadenin sonucu bulunur, biri diğerine bölünür.
• Süre: Genel Yetenek ve Genel Kültür oturumunda 120 soru için 130 dakika verilir. Bu tür bir işlem sorusuna yaklaşık bir dakika ayır. Takılırsan işaretle, geç, sonra dön.
• Son denetim: İşaretlemeden önce işarete ve sadeleştirmeye bir kez daha bak. Hataların çoğu burada yapılır.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.