📐 KPSS Matematik — Denklemler ve Eşitsizlikler

📚 Denklemler ve Eşitsizlikler konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Denklem, içinde bilinmeyen bulunan bir eşitliktir; eşitsizlik ise iki ifadeden birinin diğerinden büyük ya da küçük olduğunu söyler. KPSS'de bu konu hem doğrudan sorulur hem de sayı, yaş, işçi ve yüzde problemlerinin çözüm aracıdır. Denklemi rahat kuran ve çözen aday, problemlerin büyük bölümünde de rahat eder.

Temel bilgiler

• Denklem çözmek, bilinmeyeni yalnız bırakmaktır. Örnek: 2x + 3 = 11 ise 2x = 8, x = 4.
• Eşitliğin iki yanına aynı işlem yapılır. Bir terim karşıya geçerken işareti değişir. Örnek: x − 7 = 5 ise x = 12.
• Paydalı denklemde her terim paydaların ortak katıyla çarpılır. Örnek: x/2 + x/3 = 10 denkleminde her terim 6 ile çarpılır; 3x + 2x = 60, x = 12.
• Orantı biçimindeki denklemde içler dışlar çarpımı yapılır. Örnek: x/4 = 3/2 ise 2x = 12, x = 6.
• İki bilinmeyenli denklemlerde yok etme ya da yerine koyma kullanılır. Örnek: x + y = 10 ve x − y = 4 taraf tarafa toplanır; 2x = 14, x = 7, y = 3.
• Eşitsizlikte negatif sayıyla çarpma ya da bölme yön değiştirir. Örnek: −2x < 8 ise x > −4.
• Aralık verilen sorularda aynı işlem eşitsizliğin her üç bölümüne uygulanır. Örnek: 1 < x < 4 ise 3 < 2x + 1 < 9.
• Mutlak değer sayının sıfıra uzaklığıdır. Örnek: |x| = 3 ise x = 3 ya da x = −3; |x| < 3 ise −3 < x < 3.

Çözümlü örnek 1

Soru: Bir sayının 3 katının 5 eksiği, aynı sayının yarısının 10 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?

• Sayıya x diyelim. Denklem: 3x − 5 = x/2 + 10.
• Paydadan kurtulmak için her terimi 2 ile çarpalım: 6x − 10 = x + 20.
• Bilinmeyenleri bir yana, sayıları öbür yana toplayalım: 6x − x = 20 + 10.
• 5x = 30, buradan x = 6.

Denetim: 6'nın 3 katının 5 eksiği 13'tür, 6'nın yarısının 10 fazlası da 13'tür; sonuç doğrudur.

Çözümlü örnek 2

Soru: −3x + 7 ≤ 22 ve 2x − 1 < 9 eşitsizliklerini birlikte sağlayan kaç tam sayı vardır?

• Birinci eşitsizlik: −3x ≤ 15. İki yanı −3'e bölerken yön değişir: x ≥ −5.
• İkinci eşitsizlik: 2x < 10, buradan x < 5.
• İkisi birlikte: −5 ≤ x < 5.
• Bu aralıktaki tam sayılar −5'ten 4'e kadardır. Sayısı: 4 − (−5) + 1 = 10.

Denetim: x = −5 için −3x + 7 = 22 olur ve koşul sağlanır; x = 5 için 2x − 1 = 9 olur ve koşul sağlanmaz; demek ki uçlar doğru alınmıştır ve cevap 10'dur.

Sık yapılan hatalar

• Eşitsizliği negatif sayıya bölerken yönü çevirmemek. Doğrusu: −x > 2 ise x < −2.
• Parantez önündeki eksiyi yalnız ilk terime dağıtmak. Doğrusu: −(x − 3) = −x + 3.
• Payda eşitlerken paydasız terimi çarpmayı unutmak. Doğrusu: her terim, tam sayılar da içinde, ortak katla çarpılır.
• Tam sayı sayarken uçları yanlış almak. Doğrusu: ≤ ve ≥ işaretinde uç dahildir, < ve > işaretinde dahil değildir.
• Sorulanı değil, bulduğunu işaretlemek. Doğrusu: x bulunduktan sonra soru kökü yeniden okunur; x + 2 ya da 2x isteniyor olabilir.

Sınavda nasıl sorulur?

• Doğrudan denklem: bir bilinmeyenli, çoğu kez kesirli bir denklemde x ya da x'e bağlı bir ifade istenir.
• İki bilinmeyenli sorular: iki denklem verilir, x + y ya da x − y gibi bir ifade sorulur. Çoğu zaman denklemleri toplamak ya da çıkarmak, tek tek çözmekten kısadır.
• Eşitsizlik soruları: "kaç farklı tam sayı değeri alır", "en büyük ya da en küçük tam sayı değeri kaçtır" kalıpları sık görülür.
• Sözel ifadeli sorular: cümle denkleme çevrilir. "Eksiği", "fazlası", "katı", "yarısı" sözcüklerinin sırasına dikkat edilir.
• Süre: oturumda soru başına ortalama bir dakika kadar süre düşer. Bu tür bir soruya bir dakikayı çok aşan zaman ayırmayın; takılırsanız işaret koyup geçin ve sonra dönün.
• Son denetim: bulduğunuz değeri denklemde yerine koymak birkaç saniye alır ve işlem hatasını yakalar.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.