📐 KPSS Matematik — Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık

📚 Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Permütasyon, kombinasyon ve olasılık, "kaç farklı şekilde" ve "hangi ihtimalle" sorularına cevap veren sayma konularıdır. KPSS Genel Yetenek matematiğinde bu konulardan genellikle bir iki soru gelir. Kuralları az, mantığı açıktır; doğru sayan aday bu soruları kısa sürede çözer.

Temel bilgiler

• Çarpma kuralı: İşler art arda yapılıyorsa ("ve") seçenek sayıları çarpılır. Örnek: 3 gömlek ve 4 pantolon ile 3 × 4 = 12 farklı kıyafet olur.
• Toplama kuralı: İşlerden yalnız biri yapılıyorsa ("veya") seçenek sayıları toplanır. Örnek: 3 otobüs veya 2 trenle gidilebiliyorsa 3 + 2 = 5 yol vardır.
• Faktöriyel: n! = n × (n−1) × ... × 1. Örnek: 5! = 120. Ayrıca 0! = 1 kabul edilir.
• Permütasyon (sıralama): Sıra önemliyse kullanılır. P(n, r) = n!/(n−r)!. Örnek: 5 kişiden başkan ve yardımcı seçimi P(5, 2) = 5 × 4 = 20.
• Tekrarlı permütasyon: Aynı olan nesnelerin faktöriyeline bölünür. Örnek: ARABA kelimesinin harfleri 5!/3! = 20 farklı şekilde dizilir.
• Dairesel sıralama: n kişi yuvarlak masaya (n−1)! şekilde oturur. Örnek: 5 kişi için 4! = 24.
• Kombinasyon (seçme): Sıra önemsizse kullanılır. C(n, r) = n!/(r! × (n−r)!). Örnek: 5 kişiden 2 kişilik ekip C(5, 2) = 10.
• Kısayol: C(n, r) = C(n, n−r). Örnek: C(9, 7) = C(9, 2) = 36.
• Olasılık: İstenen durum sayısı ÷ tüm durum sayısı. Sonuç 0 ile 1 arasındadır. Örnek: Bir zarın çift gelme olasılığı 3/6 = 1/2.
• Tümleyen: Bir olayın olmama olasılığı = 1 − olma olasılığı. Örnek: Zarın 6 gelmeme olasılığı 1 − 1/6 = 5/6.
• Bağımsız olaylar: Olasılıklar çarpılır. Örnek: İki madenî paranın ikisinin de yazı gelmesi 1/2 × 1/2 = 1/4.

Çözümlü örnek 1

Soru: 4 kadın ve 5 erkek arasından 3 kişilik bir komisyon kurulacaktır. Komisyonda en az 1 kadın bulunması koşuluyla kaç farklı seçim yapılabilir?

Çözüm:

• Komisyonda sıra önemli değildir. Kombinasyon kullanırız.
• Koşulsuz tüm seçimler: C(9, 3) = (9 × 8 × 7)/(3 × 2 × 1) = 84.
• İstenmeyen durum, hiç kadın olmamasıdır. Üçü de erkek: C(5, 3) = 10.
• İstenen: 84 − 10 = 74.

Denetim: Tek tek sayalım. 1 kadın 2 erkek 4 × 10 = 40, 2 kadın 1 erkek 6 × 5 = 30, 3 kadın 4 eder; toplam 40 + 30 + 4 = 74, sonuç tutuyor.

Çözümlü örnek 2

Soru: Bir torbada 3 kırmızı ve 5 mavi top vardır. Çekilen top geri atılmadan art arda 2 top çekiliyor. İki topun aynı renkte olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

• İki durum vardır: ikisi de kırmızı veya ikisi de mavi.
• İkisi de kırmızı: 3/8 × 2/7 = 6/56.
• İkisi de mavi: 5/8 × 4/7 = 20/56.
• "Veya" olduğu için toplarız: 6/56 + 20/56 = 26/56 = 13/28.

Denetim: Kombinasyonla bakalım. Aynı renkli çiftler C(3, 2) + C(5, 2) = 3 + 10 = 13, tüm çiftler C(8, 2) = 28; sonuç yine 13/28 çıkıyor.

Sık yapılan hatalar

• Sıralama ile seçmeyi karıştırmak. Görev ya da sıra varsa permütasyon, yalnız grup oluşuyorsa kombinasyon kullanılır.
• "Ve" ile "veya"yı karıştırmak. "Ve" çarpılır, "veya" toplanır.
• Geri atılmayan topta paydayı değiştirmemek. İkinci çekilişte top sayısı bir azalır; 3/8 × 3/8 değil, 3/8 × 2/7 yazılır.
• "En az bir" sorularını uzun yoldan saymak. Tüm durumlardan "hiç olmayan" durumu çıkarmak daha kısa ve güvenlidir.
• Aynı harfleri farklı saymak. Tekrar eden harf varsa tekrar sayısının faktöriyeline bölmek gerekir.

Sınavda nasıl sorulur?

• Kelime harflerinin dizilişi, rakamlarla sayı yazma, kişilerin yan yana ya da yuvarlak masada oturması permütasyon sorularıdır.
• Ekip, komisyon, takım seçimi kombinasyon sorularıdır. Çoğu zaman "en az", "en çok", "belli iki kişi birlikte" gibi bir koşul eklenir.
• Olasılıkta zar, madenî para ve torbadan top çekme en sık görülen kalıplardır.
• Soruda önce şuna bakın: Sıra önemli mi? Çekilen geri atılıyor mu? Koşul var mı?
• Yan yana olması istenenleri tek kişi gibi düşünün. Sonra kendi içlerindeki dizilişle çarpın.
• Olasılık sonucunu sadeleştirin. 1'den büyük bir sonuç çıkarsa hata vardır.
• Bir soruya 1-1,5 dakika ayırın. İki dakikayı geçtiyse işaretleyip geçin, sonda dönün.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.