📐 KPSS Matematik — Oran-Orantı ve Sayı Problemleri

📚 Oran-Orantı ve Sayı Problemleri konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Oran-orantı, iki çokluğu birbirine göre karşılaştırmanın yoludur. Sayı problemleri ise sözle verilen bir durumu denkleme çevirme işidir. KPSS Genel Yetenek matematiğinde problemler önemli bir yer tutar; işçi, karışım ve yüzde gibi öteki problem türleri de bu iki beceriye dayanır.

Temel bilgiler

• Oran: Aynı türden iki çokluğun bölümüdür. Örnek: 12 kalem ve 8 defter varsa kalemlerin defterlere oranı 12/8 = 3/2 olur.
• Orantı: İki oranın eşitliğidir. a/b = c/d ise a × d = b × c olur (içler dışlar çarpımı). Örnek: 2/3 = x/12 ise 3x = 24, x = 8.
• Orantı sabiti: a/b = 2/3 ise a = 2k, b = 3k yazılır. Örnek: a + b = 40 ise 5k = 40, k = 8, a = 16, b = 24.
• Doğru orantı: Biri artarken öteki de aynı oranda artar; bölümleri sabittir. Örnek: 3 kg elma 60 lira ise 5 kg elma 100 lira eder.
• Ters orantı: Biri artarken öteki aynı oranda azalır; çarpımları sabittir. Örnek: Bir işi 6 işçi 10 günde bitirirse 4 işçi 15 günde bitirir, çünkü 6 × 10 = 4 × 15.
• Doğru orantılı paylaştırma: Paylar verilen sayıların katıdır. Örnek: 120 lira 2 ve 3 ile doğru orantılı paylaşılırsa 2k + 3k = 120, k = 24; paylar 48 ve 72 lira olur.
• Ters orantılı paylaştırma: Paylar sayıların çarpma işlemine göre terslerinin katıdır. Örnek: 2 ve 3 ile ters orantılı paylar 1/2 ve 1/3 ile, yani 3k ve 2k ile gösterilir.
• Denklem kurma: İstenen çokluğa x denir, cümle adım adım işleme çevrilir. Örnek: "Bir sayının 3 katının 5 eksiği 16" ifadesi 3x − 5 = 16 demektir; x = 7.

Çözümlü örnek 1

Soru: Bir miktar para Ali, Banu ve Cem arasında sırasıyla 2, 3 ve 4 ile ters orantılı olarak paylaştırılıyor. Ali, Cem'den 150 lira fazla aldığına göre paylaştırılan para kaç liradır?

Çözüm:

• Paylar 1/2, 1/3 ve 1/4 ile orantılıdır.
• Paydaları 12'de eşitleyelim: 6/12, 4/12, 3/12. Paylar 6k, 4k ve 3k olur.
• Ali ile Cem'in farkı: 6k − 3k = 3k = 150, buradan k = 50.
• Toplam para: 6k + 4k + 3k = 13k = 13 × 50 = 650 lira.

Denetim: Paylar 300, 200 ve 150 liradır; 300 × 2 = 200 × 3 = 150 × 4 = 600 olduğundan ters orantı sağlanır ve 300 − 150 = 150 farkı da tutar.

Çözümlü örnek 2

Soru: Bir salondaki sıralara öğrenciler 2'şer oturursa 6 öğrenci ayakta kalıyor. 3'er oturursa 4 sıra boş kalıyor. Salonda kaç öğrenci vardır?

Çözüm:

• Sıra sayısına x diyelim.
• İkişer oturunca öğrenci sayısı: 2x + 6.
• Üçer oturunca dolu sıra sayısı x − 4 olur; öğrenci sayısı: 3 × (x − 4).
• Öğrenci sayısı değişmez: 2x + 6 = 3x − 12, buradan x = 18.
• Öğrenci sayısı: 2 × 18 + 6 = 42.

Denetim: 42 öğrenci üçer oturunca 42 ÷ 3 = 14 sıra dolar, 18 − 14 = 4 sıra boş kalır; koşul sağlanır.

Sık yapılan hatalar

• Ters orantıyı doğru orantı gibi kurmak. İşçi sayısı artınca süre azalır; burada bölüm değil çarpım sabittir.
• Ters orantılı paylaştırmada sayıları olduğu gibi kullanmak. 2 ve 3 ile ters orantılı paylar 2k ve 3k değil, 3k ve 2k olur.
• k değerini cevap sanmak. k bulunduktan sonra sorunun ne istediğine yeniden bakılır: pay mı, toplam mı, fark mı?
• "Eksiğinin katı" ile "katının eksiği"ni karıştırmak. "3 katının 5 eksiği" 3x − 5, "5 eksiğinin 3 katı" 3 × (x − 5) olur.
• Boş kalan sırayı ya da ayakta kalan kişiyi yanlış tarafa yazmak. Ayakta kalan eklenir, boş kalan sıra sıra sayısından çıkarılır.

Sınavda nasıl sorulur?

• Paylaştırma soruları: Para, ikramiye ya da malın doğru veya ters orantılı paylaştırılması istenir.
• Bileşik orantı soruları: İşçi, gün ve iş miktarı birlikte verilir. Her çokluğun istenenle doğru mu, ters mi orantılı olduğu ayrı ayrı belirlenir.
• Sayı problemleri: Sıra-öğrenci, bilet, para üstü, basamak ve kesir ("önce yarısı, sonra kalanın üçte biri") türünde gelir.
• Dikkat edilecekler: Sorunun son cümlesi önce okunmalı, bilinmeyen ona göre seçilmelidir. Kesirli sorularda bütüne paydaların ortak katı kadar "k" demek işlemi kolaylaştırır.
• Süre: Bir soruya ortalama bir buçuk dakika yeter. İki dakikayı geçen soru işaretlenip sona bırakılmalıdır.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.