📐 KPSS Matematik — Kümeler, Fonksiyon, İşlem

📚 Kümeler, Fonksiyon, İşlem konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Kümeler, fonksiyon ve işlem; nesneleri gruplamayı, bir kurala göre eşlemeyi ve tanımlanan yeni bir kuralı uygulamayı ölçen konulardır. KPSS'de bu konudan gelen sorular çoğunlukla kısa ve kurala dayalıdır. Kuralı bilen aday bu soruları hızlı çözer ve zor problemlere zaman kazanır.

Temel bilgiler

• Eleman sayısı: Bir kümedeki eleman sayısı s(A) ile gösterilir. A = {1, 2, 3} ise s(A) = 3 olur.
• Alt küme sayısı: n elemanlı bir kümenin 2ⁿ alt kümesi, 2ⁿ − 1 öz alt kümesi vardır. 3 elemanlı kümenin 2³ = 8 alt kümesi, 7 öz alt kümesi olur.
• Birleşim: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B). s(A) = 12, s(B) = 9, s(A ∩ B) = 4 ise birleşim 12 + 9 − 4 = 17 elemanlıdır.
• Fark: A − B, A'da olup B'de olmayan elemanlardır. A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} ise A − B = {1, 2} olur.
• Tümleyen: s(A) + s(A') = s(E). Evrensel küme 20, A kümesi 13 elemanlı ise A' 7 elemanlıdır.
• Fonksiyon: Her x değerine tek bir sonuç verir. f(x) = 2x + 3 ise f(4) = 2×4 + 3 = 11 olur.
• Bileşke: (f∘g)(x) = f(g(x)). Önce g, sonra f uygulanır. f(x) = 2x + 3, g(x) = x − 1 ise (f∘g)(5) = f(4) = 11 olur.
• Ters fonksiyon: Sonuçtan başa döner. f(x) = 2x + 3 ise f⁻¹(x) = (x − 3)/2 olur. f(4) = 11 olduğundan f⁻¹(11) = 4 çıkar.
• İşlem: Soruda verilen kural aynen uygulanır. a △ b = 2a + b ise 3 △ 4 = 2×3 + 4 = 10 olur.
• Birim eleman: a △ e = a eşitliğini sağlayan e sayısıdır. a △ b = a + b − 2 işleminde a + e − 2 = a olduğundan e = 2 bulunur.

Çözümlü örnek 1

Soru: 40 kişilik bir kursta 24 kişi İngilizce, 18 kişi Almanca bilmektedir. 6 kişi bu iki dilden hiçbirini bilmemektedir. Buna göre her iki dili de bilen kaç kişidir?

Çözüm:

• En az bir dil bilenleri bulalım: 40 − 6 = 34 kişi.
• Bu sayı birleşimin eleman sayısıdır. Kesişime x diyelim.
• Formülü yazalım: 24 + 18 − x = 34.
• 42 − x = 34 olduğundan x = 8 bulunur.

Denetim: Yalnız İngilizce bilen 16, yalnız Almanca bilen 10, ikisini bilen 8, hiçbirini bilmeyen 6 kişidir; toplam 16 + 10 + 8 + 6 = 40 eder, sonuç doğrudur.

Çözümlü örnek 2

Soru: f(x) = 3x − 5 ve g(x) = x + 4 fonksiyonları veriliyor. (f∘g)(a) = 16 olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:

• Bileşkede önce içteki fonksiyon uygulanır: g(a) = a + 4.
• Bu sonucu f'de yerine koyalım: f(a + 4) = 3(a + 4) − 5.
• Açalım: 3a + 12 − 5 = 3a + 7.
• Eşitleyelim: 3a + 7 = 16, buradan 3a = 9 ve a = 3 bulunur.

Denetim: g(3) = 7 ve f(7) = 3×7 − 5 = 16 olduğundan a = 3 doğrudur.

Sık yapılan hatalar

• Kesişimi iki kez saymak: İki kümenin eleman sayıları doğrudan toplanır. Doğrusu, kesişimi bir kez çıkarmaktır.
• Hiçbirine girmeyenleri unutmak: Toplam kişi sayısı birleşim sanılır. Doğrusu, önce hiçbirine girmeyenleri toplamdan düşmektir.
• Bileşkede sırayı karıştırmak: (f∘g)(x) için önce f uygulanır. Doğrusu, önce g'yi, sonra f'yi uygulamaktır.
• Tersi 1/f sanmak: f⁻¹(x), 1/f(x) diye yazılır. Doğrusu, f⁻¹ işlemi geri alan fonksiyondur; x yalnız bırakılarak bulunur.
• İşlemde yerleri değiştirmek: a △ b = 2a + b kuralında 3 △ 4 = 10, 4 △ 3 = 11 çıkar. Doğrusu, sayıları verilen sırayla yerine koymaktır.

Sınavda nasıl sorulur?

• Küme problemleri: Kısa bir hikâye içinde verilir; iki dil, iki spor, iki kurs gibi. Hemen bir şema çizin ve kesişimden başlayarak doldurun.
• Alt küme soruları: Belirli bir elemanı içeren ya da içermeyen alt küme sayısı istenir. O elemanı ayırıp kalanlar için 2ⁿ kullanın.
• Fonksiyon soruları: Değer bulma, bileşke ve ters fonksiyon istenir. Parantezin içinden dışına doğru ilerleyin.
• İşlem soruları: Yeni bir sembol ve kural verilir. Sembolden çekinmeyin; kuralı harf harf uygulayın.
• Dikkat: "Yalnız", "en az bir", "en çok bir", "hiçbiri" sözcüklerinin altını çizin. Soru çoğu zaman bu sözcükte döner.
• Süre: Bu tür bir soruya yaklaşık bir dakika ayırın. İki dakikayı geçiyorsa işaretleyip sonraki soruya geçin, sonda dönün.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.