📐 LGS Matematik — Kareköklü İfadeler

📚 Kareköklü İfadeler konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Kareköklü ifadeler, karesi bilinen bir sayının kendisini bulma işidir: alanı verilen bir karenin kenarını sormak gibi. LGS'de bu konu çoğunlukla alan, uzunluk ve sayı doğrusu içeren günlük hayat problemleriyle gelir. Üslü ifadeler ve Pisagor bağıntısı sorularında da karşına çıkar, bu yüzden sağlam bilmek gerekir.

Temel bilgiler

• Karekök: Karesi a olan pozitif sayıya a'nın karekökü denir. √49 = 7, çünkü 7² = 49.
• Tam kare sayılar: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225. Bunları ezbere bilmek zaman kazandırır.
• Tahmin: Tam kare olmayan bir sayının karekökü iki ardışık tam sayı arasındadır. 49 < 50 < 64 olduğundan √50, 7 ile 8 arasındadır ve 7'ye daha yakındır.
• Kök dışına çıkarma: Kök içindeki sayı, en büyük tam kare çarpanına ayrılır. √72 = √(36 × 2) = 6√2.
• Kök içine alma: Katsayının karesi alınarak içeri yazılır. 3√5 = √(9 × 5) = √45.
• Çarpma ve bölme: Kök içleri kendi arasında çarpılır ya da bölünür. √3 × √12 = √36 = 6 ve √50 ÷ √2 = √25 = 5.
• Toplama ve çıkarma: Yalnız kök içleri aynı olanlar toplanır, katsayılar işleme girer. 5√3 + 2√3 = 7√3. √2 + √3 ise daha sade yazılamaz.
• Ondalık gösterimler: Kesre çevirmek işi kolaylaştırır. √0,09 = √(9/100) = 3/10 = 0,3.
• Rasyonel mi, irrasyonel mi: Tam kare sayıların karekökü rasyoneldir, √16 = 4. Tam kare olmayan doğal sayıların karekökü irrasyoneldir, √7 gibi.

Çözümlü örnek 1

Soru: Dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin kısa kenarı √48 metre, uzun kenarı √75 metredir. Bahçenin çevresine bir sıra tel çekilecektir. Gereken telin uzunluğu hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?

Çözüm:
- Önce kökleri sadeleştir: √48 = √(16 × 3) = 4√3 ve √75 = √(25 × 3) = 5√3.
- İki kenarın toplamı: 4√3 + 5√3 = 9√3.
- Çevre bunun iki katıdır: 2 × 9√3 = 18√3 metre.
- Tahmin için katsayıyı içeri al: 18√3 = √(324 × 3) = √972.
- 31² = 961 ve 32² = 1024 olduğundan 961 < 972 < 1024.
- Tel uzunluğu 31 ile 32 metre arasındadır.

Denetim: √3 yaklaşık 1,73 alınırsa 18 × 1,73 = 31,14 eder; bu da 31 ile 32 arasındadır.

Çözümlü örnek 2

Soru: Alanı 200 cm² olan kare biçimindeki bir karton, her birinin alanı 8 cm² olan eş karelere ayrılacaktır. Kartonun bir kenarı boyunca kaç küçük kare sıralanır?

Çözüm:
- Büyük karenin kenarı: √200 = √(100 × 2) = 10√2 cm.
- Küçük karenin kenarı: √8 = √(4 × 2) = 2√2 cm.
- Kenar boyunca sığan kare sayısı: 10√2 ÷ 2√2 = 5.

Denetim: Bir kenarda 5 kare varsa toplam 5 × 5 = 25 kare olur; 25 × 8 = 200 cm², verilen alanla tutar.

Sık yapılan hatalar

• Kökleri kök içlerini toplayarak toplamak. √9 + √16 = √25 değildir; doğrusu 3 + 4 = 7'dir.
• Katsayıyı karesini almadan içeri yazmak. 3√5 = √15 değildir; doğrusu √45'tir.
• Sadeleştirmeyi yarıda bırakmak. √72 = 2√18 yazıp durmak eksiktir; doğrusu 6√2'dir.
• Ondalık sayıda basamağı yanlış saymak. √0,4 = 0,2 değildir, çünkü 0,2² = 0,04 eder; doğrusu √0,04 = 0,2'dir.
• Katsayılı kökü kaba tahmin etmek. 18√3 için "√3, 1 ile 2 arasında" demek 18 ile 36 arası gibi geniş bir aralık verir; doğrusu katsayıyı içeri alıp √972 üzerinden bakmaktır.

Sınavda nasıl sorulur?

• Soru tipleri: Alanı verilen karenin kenarını bulma, uzunlukları kareköklü verilen şekillerde çevre ve alan hesabı, sayı doğrusunda yer bulma, iki tam sayı arasında tahmin, rasyonel ve irrasyonel ayrımı.
• Biçim: Sorular uzun metinli ve görsellidir. Önce ne istendiğini bul, sonra verilenleri işaretle.
• İlk adım: Bütün kökleri a√b biçimine getir. Çoğu soruda kök içleri aynı çıkar ve işlem kendiliğinden sadeleşir.
• Karşılaştırma: Sayıları sıralarken hepsini kök içine al, sonra kök içlerini karşılaştır.
• Süre: Sayısal bölümde 40 soru için 80 dakika verilir, yani soru başına ortalama 2 dakika düşer. Takıldığın soruyu işaretle, geç, sona kalan sürede geri dön.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.