📐 LGS Matematik — Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler

📚 Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Cebirsel ifadeler, sayılarla harflerin birlikte kullanıldığı ifadelerdir; özdeşlikler ise harfin yerine hangi sayıyı yazarsan yaz doğru kalan eşitliklerdir. LGS'de bu konu çoğunlukla alan, çevre ve şekil üzerinden sorulur. Çarpanlara ayırma lisedeki matematiğin de temelidir, bu yüzden sağlam öğrenmeye değer.

Temel bilgiler

• Terim, katsayı, sabit terim: 3x² − 5x + 7 ifadesinde üç terim vardır. Katsayılar 3 ve −5'tir, sabit terim 7'dir.
• Benzer terimler: Harfleri ve harflerin kuvvetleri aynı olan terimlerdir. Yalnız benzer terimler toplanır ve çıkarılır. Örnek: 4x + 3x = 7x olur, ama 4x + 3x² toplanıp tek terim yapılamaz.
• Çarpma: Katsayılar çarpılır, aynı harflerin üsleri toplanır. Örnek: 2x × 3x = 6x².
• Dağılma özelliği: Parantezin önündeki çarpan her terimle çarpılır. Örnek: 3(x + 4) = 3x + 12.
• İki parantezin çarpımı: Birincinin her terimi ikincinin her terimiyle çarpılır. Örnek: (x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.
• Özdeşlik ile denklemin farkı: Özdeşlik her sayı için doğrudur, denklem yalnız bazı sayılar için. Örnek: 2(x + 1) = 2x + 2 özdeşliktir; 2x + 1 = 7 denklemdir, yalnız x = 3 için doğrudur.
• Toplamın karesi: (a + b)² = a² + 2ab + b². Örnek: (x + 3)² = x² + 6x + 9.
• Farkın karesi: (a − b)² = a² − 2ab + b². Örnek: (x − 4)² = x² − 8x + 16.
• İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b). Örnek: x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
• Ortak çarpan parantezine alma: Her terimde bulunan çarpan dışarı çıkarılır. Örnek: 6x² + 9x = 3x(2x + 3).

Çözümlü örnek 1

Soru: Bir kenarı (x + 3) cm olan kare biçimindeki kartonun köşesinden, bir kenarı 2 cm olan kare kesilip atılıyor. Kalan kartonun alanını çarpanlarına ayrılmış biçimde yazınız.

• Büyük karenin alanı (x + 3)² cm²'dir.
• Kesilen karenin alanı 2² = 4 cm²'dir.
• Kalan alan (x + 3)² − 2² olur. Bu bir iki kare farkıdır.
• Özdeşliği uygula: (x + 3 − 2)(x + 3 + 2) = (x + 1)(x + 5).

Denetim: x = 1 alalım. Büyük kare 4² = 16, kesilen 4, kalan 12. Bulduğumuz ifade de (1 + 1)(1 + 5) = 12 verir, sonuç tutuyor.

Çözümlü örnek 2

Soru: Kenar uzunlukları (2x + 1) metre ve (x + 4) metre olan dikdörtgen bir bahçenin içine, bir kenarı x metre olan kare bir havuz yapılıyor. Bahçenin havuz dışında kalan bölümünün alanını veren cebirsel ifadeyi bulunuz.

• Bahçenin alanı (2x + 1)(x + 4) olur.
• Çarp: 2x × x = 2x², 2x × 4 = 8x, 1 × x = x, 1 × 4 = 4.
• Topla: 2x² + 8x + x + 4 = 2x² + 9x + 4.
• Havuzun alanı x²'dir.
• Kalan alan: 2x² + 9x + 4 − x² = x² + 9x + 4 metrekare.

Denetim: x = 1 için bahçe 3 × 5 = 15, havuz 1, kalan 14. İfade de 1 + 9 + 4 = 14 verir, sonuç doğru.

Sık yapılan hatalar

• (a + b)² ifadesini a² + b² sanmak. Doğrusu a² + 2ab + b² olur, ortadaki 2ab unutulmaz. (x + 3)² = x² + 9 değil, x² + 6x + 9'dur.
• Benzer olmayan terimleri toplamak. 2x + 3x² ifadesi 5x³ ya da 5x² olmaz, olduğu gibi kalır.
• Çarpma ile toplamayı karıştırmak. x + x = 2x, ama x × x = x² olur.
• Parantez önündeki eksiyi yalnız ilk terime uygulamak. −(x − 4) = −x + 4 olur, −x − 4 değil.
• (2x)² ifadesini 2x² yazmak. Doğrusu 4x²'dir, çünkü katsayının da karesi alınır.

Sınavda nasıl sorulur?

• Sorular çoğunlukla görsel ve uzun metinlidir: kare, dikdörtgen, karton, bahçe, fayans. Kenarlar cebirsel ifadeyle verilir, alan ya da çevre istenir.
• Alanı verip kenarları sormak da yaygındır. O zaman ifadeyi çarpanlarına ayırırsın.
• Şekli parçalara bölerek özdeşliği modelleyen sorular gelir. Parçaların alanlarını tek tek yazıp topla.
• Önce neyin sorulduğunu bul: alan mı, çevre mi, kalan bölüm mü? Altını çiz.
• Kararsız kalırsan x yerine küçük bir sayı yaz ve dene. Örneklerdeki denetim, sınavda da işe yarar.
• Sayısal bölümde 40 soru için 80 dakika verilir. Soru başına ortalama 2 dakika düşer. Bir soruda takılırsan işaretle, geç, sonra dön.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.