Katı Cisimler: Prizma, Piramit, Silindir, Koni ve Küre

Günlük hayattan giriş

Etrafına bak: kalem kutusu bir prizma, su şişesi bir silindir, dondurma külahı bir koni, çadırın şekli bir piramit, top ise bir küredir. Katı cisimler geometrinin son durağıdır, çünkü bu derste kâğıttaki şekillerin dışına çıkıp üç boyutta düşünürüz. Boya ustası duvarı boyamak için alanı hesaplar, su tankı satın alan kişi ise hacme bakar. İşte bu yüzden iki kavram hep yan yana gelir: alan yüzeyin büyüklüğü, hacim ise içine sığan miktardır.

Bu derste yeni formül ezberlemeyeceğiz, çünkü hepsi tek bir fikre dayanır: taban alanı × yükseklik. Prizma ve silindir aynı kalıbın kendisidir. Piramit ve koni ise aynı tabana ve aynı yüksekliğe sahip prizma veya silindirin tam üçte biridir. Küre de bu ailenin en ilginç üyesidir: silindirin içine tam sığdırılırsa hacmi silindirin 2/3 katı olur.

Bu son derste, sekiz derslik yolculuğun üç boyutlu tamamlayıcısını yapıyoruz. AYT'de katı cisim soruları genellikle tek adımlı görünür, ama bir cisimden diğerine geçmeyi, kesit almayı veya su doldurmayı ister. Amaç, her soruda önce cismin taban alanını ve yüksekliğini bulmaktır.

Tanım ve kural

Prizma ve silindirde hacim, tabanı yukarı doğru yükseklik kadar taşımak gibidir. Tabanın üzerine ince katmanları üst üste dizersen her katman taban alanı kadardır, yükseklik kadar katman olur. Bu yüzden V = taban alanı × h olur.

Piramit ve konide durum farklıdır. Aynı tabana ve aynı yüksekliğe sahip bir küpü üç eş kare piramide ayırmak mümkündür. Bu nedenle piramit veya koni, aynı tabanlı ve yükseklikli prizma veya silindirin hacminin 1/3 katıdır. Tepeye doğru daralan cisim, kutunun tamamını dolduramaz.

Açınım fikri de alanı kolaylaştırır. Silindirin yan yüzeyini keserek açarsan, bir kenarı taban çevresi (2πr), diğer kenarı h olan bir dikdörtgen çıkar. Koninin yan yüzeyini açarsan, yarıçapı l (ana doğru) olan bir daire dilimi çıkar. Dilimin yay uzunluğu taban çevresine eşittir. Bu yüzden yanal alan πrl olur.

Benzerlik kuralı da çok önemlidir. İki cismin benzerlik oranı k ise uzunluklar k, alanlar k², hacimler k³ oranındadır. Nedeni basit: hacim üç boyutlu bir ölçüdür, her boyut k kat büyüdüğünde üç kez k çarpılır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Ayrıtları 3, 4 ve 12 olan dikdörtgenler prizmasının köşegenini, hacmini ve toplam alanını bulalım.

Çözüm:

Adım 1: Köşegen = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.

Adım 2: Hacim = 3 × 4 × 12 = 144.

Adım 3: Alan = 2(3·4 + 4·12 + 3·12) = 2(12 + 48 + 36) = 2 × 96 = 192.

Sonuç: Köşegen 13, hacim 144, alan 192.

Örnek 2

Taban kenarı 6, yüksekliği 4 olan kare piramidin hacmini ve toplam alanını bulalım. Tepe, tabanın merkezinin tam üstündedir.

Çözüm:

Adım 1: Taban alanı = 6 × 6 = 36.

Adım 2: Hacim = 1/3 × 36 × 4 = 48.

Adım 3: Yan yüzün yüksekliği, yüksekliğin ve taban kenarının yarısının (3) hipotenüsüdür: √(3² + 4²) = √25 = 5.

Adım 4: Bir yan yüzün alanı = 1/2 × 6 × 5 = 15. Dört yüz için 4 × 15 = 60.

Adım 5: Toplam alan = 36 + 60 = 96.

Sonuç: Hacim 48, toplam alan 96.

Örnek 3

Taban yarıçapı 3, yüksekliği 5 olan silindirin hacmini ve toplam alanını bulalım.

Çözüm:

Adım 1: Hacim = π × 3² × 5 = 45π.

Adım 2: Yanal alan = 2π × 3 × 5 = 30π.

Adım 3: İki taban = 2 × π × 3² = 18π.

Adım 4: Toplam alan = 30π + 18π = 48π.

Sonuç: Hacim 45π, toplam alan 48π.

Örnek 4

Taban yarıçapı 3, yüksekliği 4 olan koninin ana doğrusunu, hacmini, yanal ve toplam alanını bulalım. Yanal yüzeyin açınımı olan daire diliminin merkez açısını da hesaplayalım.

Çözüm:

Adım 1: l = √(3² + 4²) = 5.

Adım 2: Hacim = 1/3 × π × 9 × 4 = 12π.

Adım 3: Yanal alan = π × 3 × 5 = 15π.

Adım 4: Toplam alan = 15π + 9π = 24π.

Adım 5: Dilimin merkez açısı = 360° × r / l = 360° × 3/5 = 216°.

Sonuç: l = 5, hacim 12π, yanal alan 15π, toplam alan 24π, açı 216°.

Örnek 5

Hacmi 288π olan kürenin yarıçapını ve yüzey alanını bulalım.

Çözüm:

Adım 1: 4/3 × π × r³ = 288π yazılır.

Adım 2: Her iki taraf π'ye bölünür ve 3/4 ile çarpılır: r³ = 288 × 3/4 = 216.

Adım 3: 6³ = 216 olduğundan r = 6.

Adım 4: Alan = 4π × 6² = 4π × 36 = 144π.

Sonuç: r = 6, alan = 144π.

Örnek 6 (su doldurma)

Tabanın yarıçapı 3, yüksekliği 6 olan koni biçimindeki kap tepesi aşağıda olacak şekilde tutuluyor. Kaba yüksekliğin yarısına kadar su doldurulduğuna göre, su hacmi kaç π'dir?

Çözüm:

Adım 1: Kabın hacmi = 1/3 × π × 9 × 6 = 18π.

Adım 2: Su, tepeden başlayan küçük bir konidir. Yüksekliği yarı olduğundan benzerlik oranı k = 1/2.

Adım 3: Hacim oranı k³ = 1/8 olur.

Adım 4: Su hacmi = 18π × 1/8 = 9π/4.

Kontrol: Küçük koninin yarıçapı 3/2, yüksekliği 3 olur. Hacim = 1/3 × π × 9/4 × 3 = 9π/4. Sonuç aynıdır.

Sonuç: Su hacmi 9π/4. Boş kısım 7/8 oranındadır.

Örnek 7 (silindir, küre, koni ilişkisi)

Yarıçapı r olan bir küre bir silindirin içine tam sığıyor. Yani silindirin yüksekliği 2r'dir. Aynı tabanlı ve aynı yükseklikli koni de çizildiğinde, silindir, küre ve koninin hacim oranı nedir?

Çözüm:

Adım 1: Silindir = πr² × 2r = 2πr³.

Adım 2: Küre = 4/3 πr³.

Adım 3: Koni = 1/3 × πr² × 2r = 2/3 πr³.

Adım 4: Üçünü πr³ birimiyle yazarsak 2, 4/3 ve 2/3 olur. Hepsini 2/3'e bölersek 3, 2, 1 çıkar.

Sonuç: Silindir : küre : koni = 3 : 2 : 1.

Örnek 8 (piramitte kesit)

Hacmi 54 olan bir piramit, tabana paralel bir düzlemle tepeden ölçülen yüksekliğinin 1/3'ünde kesiliyor. Küçük piramidin ve geriye kalan parçanın hacmi kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Küçük piramit büyüğe benzerdir. Oran k = 1/3.

Adım 2: Hacim oranı k³ = 1/27.

Adım 3: Küçük piramit = 54 / 27 = 2.

Adım 4: Kalan parça = 54 − 2 = 52.

Sonuç: Küçük piramit 2, kalan parça 52.

Sık yapılan hatalar

• Piramit hacminde 1/3 katsayısını unutmak. Taban 6 × 6, yükseklik 4 için 36 × 4 = 144 yazmak yanlıştır. Doğrusu 1/3 × 36 × 4 = 48'dir.
• Yan yüz yüksekliği ile piramit yüksekliğini karıştırmak. Örnek 2'de yan yüz alanı için 4 kullanmak yanlıştır. Yan yüz üçgeninin yüksekliği √(3² + 4²) = 5'tir.
• Koni yanal alanında l yerine h kullanmak. r = 3, h = 4 için π × 3 × 4 = 12π yanlıştır. Doğrusu π × 3 × 5 = 15π'dir.
• Benzer cisimlerde hacim oranını uzunluk oranı sanmak. Oran 1 : 2 ise hacim oranı 1 : 2 değil, 1 : 8'dir. Alan oranı ise 1 : 4'tür.
• Küre hacminde r³ yerine r² kullanmak veya alan ile hacmi birbirine karıştırmak. Alan 4πr², hacim 4/3 πr³'tür. Küre yarıçapı 3 iken alan 36π, hacim de 36π çıkar; sayı aynı olsa da birimleri ve formülleri farklıdır.

Alıştırma

1) Köşegen uzunluğu 6√3 olan küpün hacmi kaçtır?

2) Tabanı dik kenarları 6 ve 8 olan dik üçgen, yüksekliği 10 olan dik üçgen prizmanın hacmi kaçtır?

3) Taban kenarı 10, yüksekliği 12 olan kare piramidin hacmi kaçtır?

4) Yarıçapı 2, yüksekliği 7 olan silindirin hacmi kaçtır?

5) Yarıçapı 5, ana doğrusu 13 olan koninin yanal alanı ve hacmi kaçtır?

6) Yüzey alanı 100π olan kürenin hacmi kaçtır?

7) Yarıçapları oranı 1 : 2 olan iki kürenin küçüğünün hacmi 10 ise büyüğünün hacmi kaçtır?

8) Hacmi 90π olan silindirle aynı tabana ve yüksekliğe sahip koninin hacmi kaçtır?

9) Yarıçapı 4, ana doğrusu 8 olan koninin yanal yüzey açınımındaki daire diliminin merkez açısı kaç derecedir?

10) Kenarı 6 olan küpün içine tam sığan kürenin hacmi kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 216. Küp köşegeni a√3 olduğundan a = 6, hacim 6³ = 216.
• 2) 240. Taban alanı 6 × 8 / 2 = 24, hacim 24 × 10 = 240.
• 3) 400. 1/3 × 100 × 12 = 400.
• 4) 28π. π × 4 × 7 = 28π.
• 5) Yanal alan 65π, hacim 100π. Yanal alan π × 5 × 13 = 65π; h = √(169 − 25) = 12, hacim 1/3 × π × 25 × 12 = 100π.
• 6) 500π/3. 4πr² = 100π ise r = 5, hacim 4/3 × π × 125 = 500π/3.
• 7) 80. Hacim oranı 1 : 8 olduğundan 10 × 8 = 80.
• 8) 30π. Koni, aynı tabanlı ve yükseklikli silindirin 1/3'üdür: 90π / 3 = 30π.
• 9) 180°. 360° × 4/8 = 180°.
• 10) 36π. Küre yarıçapı küp kenarının yarısıdır, r = 3, hacim 4/3 × π × 27 = 36π.

Sınav taktiği

AYT'de katı cisim sorusu genelde 1,5 ile 2 dakikada çözülmelidir. Önce cismin taban alanını ve yüksekliğini yaz. Sonra şıklara bak: cevapta π varsa küre, silindir veya koni olduğunu anlarsın. Oran sorularında sayı hesaplamadan k, k², k³ mantığıyla şıkları ele. Su doldurma sorularında dolu kısmın hangi cisme benzediğini bul ve hacim oranını k³ ile yaz. Piramit ve koni sorularında sonucun 1/3 ile bölünebilir çıkıp çıkmadığını kontrol etmek, hata yakalamana yardımcı olur.

Dersin özeti

• Prizma ve silindirde hacim taban alanı × yüksekliktir. Piramit ve konide bunun 1/3'ü alınır, çünkü tepeye doğru daralan cisim, aynı tabanlı prizmanın üçte birini doldurur.
• Silindirin açınımı dikdörtgen, koninin açınımı daire dilimidir. Yanal alanlar sırasıyla 2πrh ve πrl olur.
• Küre için alan 4πr², hacim 4/3 πr³'tür. Silindir : küre : koni hacimleri 3 : 2 : 1 oranındadır.
• Benzer cisimlerde uzunluk k, alan k², hacim k³ oranındadır. Kesit ve su doldurma sorularının anahtarı budur.
• Bu ders, AYT Geometri kursunun sonudur. Analitik geometri, dörtgenler ve çember bilgilerini burada üç boyuta taşıdın; şimdi karışık sorularla tekrar yapma zamanı.