Dörtgenler ve Özel Dörtgenler: Yamuk, Paralelkenar, Eşkenar Dörtgen

Süre tahmini: 15 dk

Önceki derslerde koordinat düzleminde uzaklık ve doğru bilgisiyle şekilleri sayılarla anlatmayı çalıştık. Bu derste o düşünceyi dörtgenlere taşıyoruz: şekle bakıp hangi uzunluğun, hangi açının, hangi alanın nasıl bulunacağını anlayacağız. Bir sonraki derste bu bilgileri çemberde açı ve uzunluk konusuna bağlayacağız. Çünkü çemberin içine çizilen dörtgenler, bu dersin kurallarını çember kurallarıyla birleştirir.

Günlük hayattan giriş

Etrafına bak: kapı, pencere, masa, tarla, harita, merdiven korkuluğu, yol kavşağı... Çoğu dörtgendir. Bir çiftçi tarlasının iki kenarı birbirine paralel ama uzunlukları farklıysa tarlası bir yamuktur. Ahşap bir kapı çerçevesini bir yandan itersen dikdörtgen çerçeve kayar ve paralelkenara dönüşür. Kenar uzunlukları aynı kalır ama açılar değişir. Alan da değişir. Bu yüzden alanı yalnızca kenarlara bakarak bulamayız. Yüksekliğe ya da açıya da ihtiyaç vardır.

Eşkenar dörtgen ise pek çok yerde karşımıza çıkar: halı desenlerinde, fayans süslerinde, uçurtmaya benzeyen kâğıt süslerde. Dört kenarı eşit olduğu için çok düzenli görünür. Köşegenleri birbirini dik keser. Bu özellik alanı bulmayı kolaylaştırır.

Bu derste şu soruların cevabını arayacağız: Dörtgenin açıları arasında hangi bağıntı vardır? Yamuğun orta tabanı neden tabanların ortalamasıdır? Paralelkenar ve eşkenar dörtgende köşegenler neden özel davranır? Her kuralı ezberlemek yerine üçgen bilgisinden nasıl çıktığını göreceğiz.

Tanım ve kural

Dörtgende iç açılar toplamı 360°'dir. Neden? Bir köşegen çizersen dörtgen iki üçgene ayrılır. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan 180° + 180° = 360° eder.

Yamuk: en az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgendir. Paralel kenarlara taban, diğerlerine yan kenar denir. Tabanlar a ve c, yükseklik h olsun.

• Orta taban, yan kenarların orta noktalarını birleştirir. Tabanlara paraleldir ve uzunluğu (a + c) / 2 'dir. Nedeni: orta nokta doğru parçası üçgenlerde de tabanın yarısını verir. Burada iki tabanın ortalamasını verir.
• Alan = (a + c) / 2 × h. Yani orta taban × yükseklik. Yamuğu köşegenle iki üçgene böl: alanları a × h / 2 ve c × h / 2 çıkar. Toplarsan formül gelir.
• Köşegenler kesişince tabanlara yaslanan iki üçgen benzer olur. Benzerlik oranı a / c 'dir. Alanlar oranı ise (a / c)² olur. Yan kenarlara yaslanan iki üçgenin alanları birbirine eşittir.
• Tabanlara yaslanan üçgenlerin alanları S₁ ve S₂ ise yan üçgenlerin her birinin alanı √(S₁ × S₂) 'dir. Yamuğun tamamı (√S₁ + √S₂)² olur.

Paralelkenar: karşılıklı kenarları ikişer ikişer paralel olan dörtgendir.

• Karşılıklı kenarlar eşittir. Karşılıklı açılar eşittir. Komşu açılar toplamı 180°'dir. Nedeni paralel doğruların ters ve iç açı özellikleridir.
• Köşegenler birbirini ortalar.
• Alan = taban × yükseklik. Kenarlar a, b ve aradaki açı α ise alan = a × b × sinα olur.
• Köşegen uzunlukları e ve f ise e² + f² = 2 × (a² + b²) olur.

Eşkenar dörtgen: dört kenarı da eşit olan paralelkenardır.

• Köşegenler birbirini dik keser ve köşe açılarını ortalar.
• Köşegenler e ve f ise alan = e × f / 2 olur. Dik kesişen dört küçük dik üçgenin alanları toplanır.
• Kenar uzunluğu a² = (e/2)² + (f/2)² ile bulunur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Bir dörtgenin iç açıları x, x + 20°, x + 40° ve x + 60° 'dir. En büyük açı kaç derecedir?

Çözüm:

Adım 1: İç açılar toplamı 360° olduğundan x + (x + 20) + (x + 40) + (x + 60) = 360.

Adım 2: 4x + 120 = 360 olur, 4x = 240 ve x = 60.

Adım 3: Açılar 60°, 80°, 100°, 120° çıkar. Toplam 360°'dir.

Sonuç: 120°

Örnek 2

Bir paralelkenarın komşu iki açısı 3x + 10° ve 2x + 30° 'dir. Bu açılar kaç derecedir?

Çözüm:

Adım 1: Komşu açılar toplamı 180° olduğundan 3x + 10 + 2x + 30 = 180.

Adım 2: 5x + 40 = 180, 5x = 140, x = 28.

Adım 3: 3 × 28 + 10 = 94 ve 2 × 28 + 30 = 86.

Sonuç: 94° ve 86°

Örnek 3

Tabanları 12 cm ve 8 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun orta tabanını ve alanını bulalım.

Çözüm:

Adım 1: Orta taban = (12 + 8) / 2 = 10 cm.

Adım 2: Alan = orta taban × yükseklik = 10 × 5 = 50.

Sonuç: Orta taban 10 cm, alan 50 cm²

Örnek 4

Bir yamuğun alt tabanı 14 cm, orta tabanı 11 cm, yüksekliği 6 cm'dir. Üst tabanı ve alanı bulalım.

Çözüm:

Adım 1: (14 + c) / 2 = 11 olduğundan 14 + c = 22.

Adım 2: c = 8 cm.

Adım 3: Alan = 11 × 6 = 66.

Sonuç: Üst taban 8 cm, alan 66 cm²

Örnek 5

Köşegenleri 16 cm ve 12 cm olan eşkenar dörtgenin alanını, kenarını ve çevresini bulalım.

Çözüm:

Adım 1: Alan = 16 × 12 / 2 = 96.

Adım 2: Köşegenlerin yarıları 8 ve 6 'dır ve dik üçgenin dik kenarlarıdır.

Adım 3: Kenar² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, kenar = 10.

Adım 4: Çevre = 4 × 10 = 40.

Sonuç: Alan 96 cm², kenar 10 cm, çevre 40 cm

Örnek 6

Kenarları 8 cm ve 10 cm, aralarındaki açı 30° olan paralelkenarın alanını bulalım.

Çözüm:

Adım 1: Alan = a × b × sinα formülünü kullanırız.

Adım 2: sin30° = 1/2 'dir.

Adım 3: Alan = 8 × 10 × 1/2 = 40.

Sonuç: 40 cm²

Örnek 7

Tabanları 6 cm ve 9 cm olan bir yamukta köşegenlerden biri 20 cm'dir. Köşegenler kesiştiğinde bu köşegen hangi uzunluklara bölünür? Ayrıca küçük tabana yaslanan üçgenin alanı 16 cm² ise yamuğun alanı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Tabanlara yaslanan üçgenler benzerdir ve oran 6 / 9 = 2 / 3 'tür.

Adım 2: Köşegen 2 : 3 oranında bölünür. Toplam 5 pay olduğundan bir pay 20 / 5 = 4 cm'dir.

Adım 3: Parçalar 2 × 4 = 8 cm ve 3 × 4 = 12 cm olur.

Adım 4: Alanlar oranı (2/3)² = 4/9 'dur. 16 için büyük üçgenin alanı 16 × 9 / 4 = 36 olur.

Adım 5: Yan üçgenlerin her biri √(16 × 36) = √576 = 24 'tür.

Adım 6: Yamuğun alanı 16 + 36 + 24 + 24 = 100. Kontrol: (√16 + √36)² = (4 + 6)² = 100.

Sonuç: Parçalar 8 cm ve 12 cm, yamuğun alanı 100 cm²

Örnek 8

Kenarları 7 cm ve 11 cm olan bir paralelkenarın bir köşegeni 12 cm'dir. Diğer köşegen kaç cm'dir?

Çözüm:

Adım 1: e² + f² = 2 × (a² + b²) yazarız.

Adım 2: 2 × (49 + 121) = 2 × 170 = 340.

Adım 3: 12² + f² = 340 olduğundan 144 + f² = 340 ve f² = 196.

Adım 4: f = 14.

Sonuç: 14 cm

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: Yamuk alanını (a + c) × h olarak yazmak. Doğrusu: (a + c) / 2 × h. Toplamı ikiye bölmeyi unutma, çünkü orta taban ortalamadır.
• Yanlış: Paralelkenar alanını iki komşu kenarın çarpımı saymak. Doğrusu: taban × yükseklik ya da a × b × sinα. Yan kenar yükseklik değildir. Dikdörtgen dışında açı 90° değildir.
• Yanlış: Eşkenar dörtgenin köşegenlerini eşit sanmak. Doğrusu: Köşegenler dik kesişir ama genelde eşit değildir. Eşit olsalardı şekil kare olurdu.
• Yanlış: Yamukta tabanlara yaslanan üçgenlerin alan oranını a / c almak. Doğrusu: Uzunluk oranı a / c, alan oranı (a / c)² 'dir.
• Yanlış: Eşkenar dörtgende kenarı bulurken tam köşegen uzunluklarını kullanmak. Doğrusu: Dik üçgenin dik kenarları köşegenlerin yarılarıdır.

Alıştırma

1. Bir dörtgenin üç açısı 70°, 110° ve 95° 'dir. Dördüncü açı kaç derecedir?

2. Bir paralelkenarın bir açısı 65° ise komşu açısı kaç derecedir?

3. Tabanları 10 cm ve 16 cm olan yamuğun orta tabanı kaç cm'dir?

4. Tabanları 9 cm ve 15 cm, yüksekliği 4 cm olan yamuğun alanı kaç cm²'dir?

5. Köşegenleri 10 cm ve 24 cm olan eşkenar dörtgenin kenarı, alanı ve çevresi kaçtır?

6. Tabanı 12 cm, bu tabana ait yüksekliği 7 cm olan paralelkenarın alanı kaç cm²'dir?

7. Kenarları 10 cm ve 12 cm, aralarındaki açı 150° olan paralelkenarın alanı kaç cm²'dir? (sin150° = 1/2)

8. Tabanları 4 cm ve 10 cm olan yamukta 21 cm'lik köşegen, köşegenlerin kesişim noktasıyla hangi uzunluklara bölünür?

9. Bir yamukta köşegenler kesişince tabanlara yaslanan üçgenlerin alanları 9 cm² ve 25 cm² olmuştur. Yamuğun alanı kaç cm²'dir?

10. Çevresi 20 cm olan eşkenar dörtgenin bir köşegeni 6 cm ise diğer köşegeni ve alanı kaçtır?

Cevap Anahtarı

1. 85° — Üç açının toplamı 275° 'dir, 360 − 275 = 85.

2. 115° — Komşu açılar toplamı 180° olduğundan 180 − 65 = 115.

3. 13 cm — Orta taban (10 + 16) / 2 = 13.

4. 48 cm² — Orta taban (9 + 15) / 2 = 12 ve alan 12 × 4 = 48.

5. Kenar 13 cm, alan 120 cm², çevre 52 cm — Yarılar 5 ve 12, kenar √(25 + 144) = 13; alan 10 × 24 / 2 = 120; çevre 4 × 13 = 52.

6. 84 cm² — Alan = taban × yükseklik = 12 × 7.

7. 60 cm² — 10 × 12 × 1/2 = 60.

8. 6 cm ve 15 cm — Oran 4 : 10 = 2 : 5, toplam 7 pay ve bir pay 3 cm; 2 × 3 = 6 ve 5 × 3 = 15, toplam 21.

9. 64 cm² — Yan üçgenler √(9 × 25) = 15 'er cm² ve toplam 9 + 25 + 15 + 15 = 64 (kontrol: (3 + 5)² = 64).

10. Diğer köşegen 8 cm, alan 24 cm² — Kenar 20 / 4 = 5, yarı köşegen 3, diğer yarı √(25 − 9) = 4, köşegen 8; alan 6 × 8 / 2 = 24.

Sınav notu (AYT)

AYT geometride dörtgen soruları genellikle şekil verip alan, uzunluk ya da açı ister. Bir soruya ortalama 1,5 – 2 dakika ayırmalısın. İlk bakışta şu üç şeyi kontrol et: paralel kenar var mı, köşegen kesişimi var mı, dik açı ya da dik kesişim var mı? Şıkları elerken yamuğun alanının hiçbir zaman tabanlar toplamı × yükseklikten büyük olamayacağını, eşkenar dörtgen alanının kenar² 'den küçük ya da eşit olduğunu hatırla. Eşkenar dörtgende Pisagor üçlülerini (3-4-5, 5-12-13, 6-8-10) hemen tanırsan zaman kazanırsın.

Dersin özeti

• Her dörtgenin iç açıları toplamı 360°'dir. Köşegen çizip iki üçgene bölmek bu sonucu verir.
• Yamukta orta taban (a + c) / 2 'dir ve alan orta taban × yükseklik ile bulunur. Köşegen kesişiminde benzer üçgenler oluşur. Uzunluk oranı a / c, alan oranı (a / c)² 'dir. Yan üçgenlerin alanları eşittir.
• Paralelkenarda karşılıklı kenar ve açılar eşittir, komşu açılar bütünlerdir, köşegenler birbirini ortalar. Alan taban × yükseklik ya da a × b × sinα 'dır.
• Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesişir. Alan e × f / 2 'dir. Kenar, yarı köşegenlerle kurulan dik üçgenden bulunur.
• Sonraki derste bu bilgileri çemberle birleştirip çemberde açı ve uzunluk sorularına geçeceğiz.