Dikdörtgen, Kare ve Deltoid: Köşegenler, Alan ve Katlama Soruları

Günlük hayattan giriş

Önceki derste paralelkenar ve eşkenar dörtgenin köşegen özelliklerini gördük. Bu derste o bilgiyi bir adım ileri taşıyoruz. Dikdörtgen, kare ve deltoid günlük hayatta her yerde karşımıza çıkar: telefon ekranı, fayans, pencere camı, uçurtma. Bir marangoz dikdörtgen bir masanın köşelerinin gerçekten 90° olup olmadığını anlamak için iki köşegenin boyunu ölçer. Köşegenler eşitse masa dik açılıdır. Yani köşegen, şeklin doğru kurulup kurulmadığını gösteren bir kontrol çizgisidir.

Uçurtma ise deltoidin en güzel örneğidir. Uçurtmanın ortasından geçen çıta, şekli iki yanlı eşit parçaya böler. Diğer çıta bu çıtayı dik keser. Uçurtma kâğıdını kesen kişi alanı bulmak için kenarları değil, iki çıtanın boyunu kullanır. Bu ders boyunca göreceğiz ki köşegenleri doğru kullanmak, uzun hesapları kısa hesaplara çevirir.

Bir kâğıdı katladığınızda da aynı fikir devreye girer. Kat izi bir simetri eksenidir. Katlanan parçalar üst üste oturur. Bu yüzden eşit uzunluklar ve eşit açılar kendiliğinden ortaya çıkar. AYT'de katlama soruları bu yüzden sevilir: şekil karmaşık görünür ama içinde hep eşitlikler saklıdır.

Tanım ve kural

Önce her şeklin özelliklerini, ardından bu özelliklerin nedenini söyleyelim.

Dikdörtgen: Dört açısı da 90° olan paralelkenardır. Karşılıklı kenarlar eşit ve paraleldir. Köşegenler eşit uzunlukta olur ve birbirini ortalar. Neden eşit? Köşegenleri oluşturan iki dik üçgenin dik kenarları aynıdır (a ve b), dolayısıyla hipotenüsleri de aynıdır. Köşegen uzunluğu Pisagor ile bulunur: d² = a² + b².

Kare: Dört kenarı eşit olan dikdörtgendir (aynı zamanda eşkenar dörtgendir). Bu yüzden hem dikdörtgenin hem eşkenar dörtgenin özelliklerini taşır: köşegenler eşittir, birbirini ortalar, birbirine diktir ve köşe açılarını 45°'ye böler. Kenar a ise Pisagor'dan d² = a² + a² = 2a² olur, yani d = a√2. Alan da köşegenle yazılır: Alan = d²/2.

Deltoid: Komşu kenar çiftleri eşit olan dörtgendir (AB = AD ve CB = CD). Bir simetri ekseni vardır (AC). Köşegenler birbirine diktir. Simetri eksenindeki köşegen (AC), diğer köşegeni (BD) ortalar, ama BD, AC'yi ortalamaz. Alan = köşegenlerin çarpımı ÷ 2. Neden? BD'ye dik AC ile iki üçgen oluşur, alanları BD×AO/2 ve BD×OC/2 olur; toplamları BD×AC/2 eder.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay): Kenarları 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgenin köşegeni kaç cm'dir?

Çözüm:

Adım 1: d² = 6² + 8²

Adım 2: d² = 36 + 64 = 100

Adım 3: d = √100 = 10

Köşegen 10 cm'dir.

Örnek 2 (kolay): Köşegeni 10√2 cm olan karenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Adım 1: d = a√2 olduğundan 10√2 = a√2 ve a = 10

Adım 2: Alan = a² = 10² = 100

Kontrol: d²/2 = 200/2 = 100. Sonuç 100 cm².

Örnek 3 (orta): ABCD dikdörtgeninde köşegenler O noktasında kesişiyor. |AC| = 26 cm ve |AB| = 10 cm ise AOB üçgeninin çevresi kaç cm'dir?

Çözüm:

Adım 1: Köşegenler eşit ve birbirini ortalar. |OA| = |OB| = 26/2 = 13

Adım 2: Çevre = |OA| + |OB| + |AB|

Adım 3: Çevre = 13 + 13 + 10 = 36

Çevre 36 cm'dir. (Bu soruda BC'yi bulmaya gerek yoktur. Köşegenin ortalanması yeter.)

Örnek 4 (orta): Kenarı 12 cm olan karenin kenar orta noktaları sırayla birleştirilerek yeni bir kare elde ediliyor. İşlem bir kez daha tekrarlanıyor. Son karenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Adım 1: İlk karenin alanı 12 × 12 = 144

Adım 2: Orta noktaları birleştirince köşelerden dört eş dik üçgen kesilir. Bunların toplamı ilk karenin yarısıdır. Yeni alan 144/2 = 72

Adım 3: İşlemi tekrarlayınca alan yine yarıya iner: 72/2 = 36

Son karenin alanı 36 cm²'dir.

Örnek 5 (orta-zor): Bir ABCD deltoidinde |AB| = |AD| = 13 cm, |CB| = |CD| = 15 cm ve |BD| = 24 cm'dir. Deltoidin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Adım 1: AC simetri eksenidir, BD'yi O noktasında diker ve ortalar. |BO| = 12

Adım 2: AOB dik üçgeninde |AO|² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25, yani |AO| = 5

Adım 3: COB dik üçgeninde |CO|² = 15² − 12² = 225 − 144 = 81, yani |CO| = 9

Adım 4: |AC| = 5 + 9 = 14

Adım 5: Alan = (14 × 24)/2 = 168

Kontrol: ABD üçgeni 24×5/2 = 60, CBD üçgeni 24×9/2 = 108, toplam 168. Alan 168 cm²'dir.

Örnek 6 (zor, katlama): ABCD dikdörtgen kâğıdında |AB| = 8 cm ve |BC| = 6 cm'dir. Kâğıt, A köşesi C köşesine gelecek şekilde katlanıyor. Kat izi AB kenarını E'de, CD kenarını F'de kesiyor. |EF| kaç cm'dir?

Çözüm:

Adım 1: |AC| = √(64 + 36) = 10. Kat izi, AC'nin orta dikmesidir. O noktası AC'nin ortası olsun, |AO| = 5.

Adım 2: E noktası kat izi üzerinde olduğu için |EA| = |EC| = x. Ayrıca |EB| = 8 − x.

Adım 3: EBC dik üçgeninde x² = (8 − x)² + 6²

Adım 4: x² = 64 − 16x + x² + 36 ise 16x = 100 ve x = 25/4

Adım 5: AOE dik üçgeninde |EO|² = (25/4)² − 5² = 625/16 − 400/16 = 225/16, yani |EO| = 15/4

Adım 6: Simetriden |EF| = 2 × |EO| = 15/2

Kontrol: |EF| = |AC| × |BC| / |AB| = 10 × 6 / 8 = 7,5. Sonuç 15/2 = 7,5 cm.

Sık yapılan hatalar

• Kare alanını köşegenin karesi sanmak. Yanlış: köşegen 6 ise alan 36. Doğrusu: alan = d²/2 = 36/2 = 18.
• Kare köşegenini kenarın 2 katı almak. Yanlış: a = 5 ise d = 10. Doğrusu: d = 5√2.
• Dikdörtgende köşegenlerin dik kesiştiğini sanmak. Köşegenler yalnızca karede (ve eşkenar dörtgende) diktir. Dikdörtgende eşit ve ortalayıcıdır, ama dik olmak zorunda değildir.
• Deltoidde iki köşegenin de birbirini ortaladığını düşünmek. Yalnızca simetri eksenindeki köşegen diğerini ortalar. Örnek 5'te AC, BD'yi ortalar ama BD, AC'yi ortalamaz (5 ≠ 9).
• Katlamada eşit parçaları yazmamak. Kat izi bir aynadır. Üst üste gelen noktalar kat izine eşit uzaklıktadır. Bu eşitliği yazmadan çözüm başlamaz.

Sınav taktiği

AYT'de bu konu genellikle tek bir geometri sorusunun içinde saklanır. Soru başına yaklaşık 2 dakika hedefleyin. Önce şekle köşegenleri çizin ve eşit uzunlukları işaretleyin. Karede √2 görürseniz köşegeni akla getirin. Şıklarda √2 hiç yoksa ve siz √2 buldunuz ise hesabı kontrol edin. Katlama sorusunda ilk iş, hangi noktaların üst üste geldiğini bulmaktır. Kat izini AC'nin orta dikmesi gibi düşünün ve Pisagor kurun. Deltoidde alan sorusunu gördüğünüzde köşegenleri bulmaya odaklanın, kenarlarla uğraşmayın.

Alıştırma

1) Kenarları 5 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin köşegeni kaç cm'dir?

2) Köşegeni 8√2 cm olan karenin çevresi kaç cm'dir?

3) Köşegeni 14 cm olan karenin alanı kaç cm²'dir?

4) Çevresi 46 cm olan dikdörtgenin bir kenarı 15 cm ise köşegeni kaç cm'dir?

5) Köşegen uzunlukları 10 cm ve 16 cm olan deltoidin alanı kaç cm²'dir?

6) Kenarı 20 cm olan karenin kenar orta noktaları sırayla birleştirilirse oluşan karenin alanı kaç cm²'dir?

7) ABCD dikdörtgeninde |AC| = 20 cm ve |AB| = 12 cm ise dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?

8) Kenarı 10 cm olan kare biçimindeki kâğıt köşegeni boyunca katlanıyor. Oluşan üçgenin alanı kaç cm²'dir?

9) ABCD deltoidinde |AB| = |AD| = 10 cm, |CB| = |CD| = 17 cm ve |BD| = 16 cm ise |AC| kaç cm'dir?

Cevap Anahtarı

1) 13 cm. İpucu: 5² + 12² = 25 + 144 = 169, √169 = 13.

2) 32 cm. İpucu: a√2 = 8√2 ise a = 8, çevre = 4 × 8 = 32.

3) 98 cm². İpucu: Alan = d²/2 = 196/2 = 98.

4) 17 cm. İpucu: Yarım çevre 23, diğer kenar 23 − 15 = 8; 15² + 8² = 225 + 64 = 289, √289 = 17.

5) 80 cm². İpucu: (10 × 16)/2 = 80.

6) 200 cm². İpucu: Kare alanı 400, orta noktaları birleştirince alan yarıya iner: 400/2 = 200.

7) 192 cm². İpucu: |BC|² = 400 − 144 = 256, |BC| = 16; alan = 12 × 16 = 192.

8) 50 cm². İpucu: Köşegen kareyi iki eş üçgene böler; 100/2 = 50.

9) 21 cm. İpucu: |BO| = 8; |AO| = √(100 − 64) = 6; |CO| = √(289 − 64) = 15; 6 + 15 = 21.

Dersin özeti

• Dikdörtgende köşegenler eşit uzunluktadır ve birbirini ortalar; uzunluk d² = a² + b² ile bulunur.
• Karede köşegen d = a√2, alan ise d²/2'dir. Köşegenler dik kesişir ve köşe açılarını 45°'ye böler.
• Deltoidde köşegenler diktir; alan (d₁ × d₂)/2'dir. Yalnızca simetri eksenindeki köşegen diğerini ortalar.
• Katlama sorularında kat izi simetri eksenidir: üst üste gelen noktalar eşit uzaklıktadır. Eşitlikleri yazıp Pisagor kurun.
• Kare kenar orta noktalarını birleştirmek alanı yarıya indirir; bu, iç içe kare sorularının kısayoludur.

Sonraki derste (5/8) bu dörtgen bilgisini bir kenara bırakıp çemberlere geçiyoruz. Çemberde açı ve uzunluk konusunda, buradaki dik üçgen ve Pisagor becerileriniz yine işinize yarayacak.