Çemberin Analitik İncelemesi: Çember Denklemi, Doğru ile Çemberin Durumu

Ders 7/8 · Tahmini süre: 14 dk

Önceki derste çemberde açı ve uzunluk ilişkilerini şekil üzerinden, saf geometriyle çalıştık. Bu derste aynı çemberi koordinat düzlemine yerleştirip cebirle inceleyeceğiz. Bir sonraki (son) derste ise düzlemden çıkıp katı cisimlere, yani prizma, silindir, koni ve küreye geçeceğiz. Bu dersteki çember bilgisi, kürenin denklemine doğal bir geçiş sağlar.

Günlük hayattan giriş

Bir radyo istasyonunun yayın kulesini düşünün. Kule harita üzerinde bir noktadadır ve sinyali her yöne en fazla 30 km gider. Sinyalin ulaştığı yerlerin sınırı, kule merkezli bir çemberdir. Bir evin bu çemberin içinde mi, tam sınırında mı, dışında mı olduğunu bilmek için evin kuleye uzaklığına bakarız. Uzaklık 30 km'den küçükse sinyal alır, büyükse alamaz.

Şimdi yakındaki düz bir yolu ele alalım. Yol, sinyal alanını iki noktada kesebilir. Alana yalnızca bir noktada değip geçebilir. Ya da alana hiç uğramayabilir. Cep telefonu operatörleri, GPS uygulamaları ve oyun tasarımcıları bu sorunun cevabını sürekli hesaplar.

Bu derste bu üç durumu iki farklı yolla karara bağlayacağız. Birincisi merkezden doğruya olan uzaklığı yarıçapla kıyaslamaktır. İkincisi denklemleri birleştirip diskriminanta (Δ) bakmaktır. İki yol da aynı sonucu verir. Sınavda hangisi daha kısaysa onu seçersiniz.

Tanım ve kural

Çember denklemi neden öyle? Çember, bir merkeze eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir. Merkez M(a, b), yarıçap r olsun. Çember üzerindeki herhangi bir P(x, y) noktası için |MP| = r olmalıdır. İki nokta arası uzaklık formülüne göre √((x − a)² + (y − b)²) = r yazılır. Her iki tarafın karesi alınınca (x − a)² + (y − b)² = r² bulunur. Denklem, uzaklık formülünün karesidir. Merkez orijindeyse a = b = 0 olur ve denklem x² + y² = r² haline gelir.

Genel denklem. (x − a)² + (y − b)² = r² denklemini açarsak x² + y² + Dx + Ey + F = 0 biçimi çıkar. Burada D = −2a, E = −2b olur. Tersine gidince merkez (−D/2, −E/2) bulunur. Yarıçapın karesi r² = D²/4 + E²/4 − F olur. Bu değer pozitif olmazsa denklem bir çember göstermez. r² = 0 ise denklem tek bir noktayı gösterir. r² < 0 ise hiçbir noktayı göstermez.

Doğru ile çemberin durumu. Merkezden doğruya olan uzaklık d olsun. Doğru Ax + By + C = 0 ise d = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²) olur. Doğruya en yakın nokta, merkezden inen dikmenin ayağıdır. Bu yüzden d, merkezin doğruya olan en kısa uzaklığıdır. d ile r'yi kıyaslarız.

Diskriminant yolunda doğrunun denkleminden y'yi (ya da x'i) çözüp çemberde yerine yazarız. Çıkan ikinci derece denklemin kök sayısı, ortak nokta sayısını verir. Kök sayısı ile kesişim noktası sayısı birebir aynıdır. Bu yüzden iki yol birbirini doğrular.

Kiriş uzunluğu. Doğru çemberi kesiyorsa merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar. Yarı kiriş, yarıçap ve d bir dik üçgen oluşturur. Pisagor'dan yarı kiriş √(r² − d²) çıkar. Kiriş uzunluğu 2√(r² − d²) olur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

Merkezi (2, −3), yarıçapı 4 olan çemberin denklemini bulun ve genel biçimde yazın.

Çözüm:

Adım 1: a = 2, b = −3, r = 4 alınır.

Adım 2: (x − 2)² + (y − (−3))² = 4² yani (x − 2)² + (y + 3)² = 16 yazılır.

Adım 3: Açalım: x² − 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 16.

Adım 4: Sabitleri sağa alıp düzenleyelim: x² + y² − 4x + 6y + 13 − 16 = 0.

Sonuç: (x − 2)² + (y + 3)² = 16, genel biçim x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0

Örnek 2

x² + y² − 6x + 8y − 11 = 0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulun.

Çözüm:

Adım 1: D = −6, E = 8, F = −11 okunur.

Adım 2: Merkez (−D/2, −E/2) = (3, −4) olur.

Adım 3: r² = 9 + 16 − (−11) = 36 bulunur.

Adım 4: r = 6 olur. Kontrol için tam kareye tamamlayalım: (x − 3)² + (y + 4)² = 11 + 9 + 16 = 36. Sonuç aynıdır.

Sonuç: Merkez (3, −4), yarıçap 6

Örnek 3

A(1, 2) ve B(5, 6) noktaları bir çemberin çapının uç noktalarıdır. Çemberin denklemini yazın.

Çözüm:

Adım 1: Merkez, çapın orta noktasıdır: ((1 + 5)/2, (2 + 6)/2) = (3, 4).

Adım 2: |AB| = √((5 − 1)² + (6 − 2)²) = √32 = 4√2 olur.

Adım 3: Yarıçap çapın yarısıdır: r = 2√2, dolayısıyla r² = 8.

Adım 4: Denklemi yazalım.

Sonuç: (x − 3)² + (y − 4)² = 8

Örnek 4

Merkezi (2, 1) olan ve 3x + 4y − 20 = 0 doğrusuna teğet olan çemberin denklemini bulun.

Çözüm:

Adım 1: Teğet olduğu için r = d olur.

Adım 2: d = |3·2 + 4·1 − 20| / √(3² + 4²) = |−10| / 5 = 2 bulunur.

Adım 3: r = 2 ve r² = 4 olur.

Sonuç: (x − 2)² + (y − 1)² = 4

Örnek 5

x² + y² = 25 çemberi ile y = x + 1 doğrusunun durumunu inceleyin. Varsa kesişim noktalarını bulun.

Çözüm:

Adım 1: y = x + 1 değerini çemberde yerine yazalım: x² + (x + 1)² = 25.

Adım 2: Açınca 2x² + 2x + 1 = 25 olur, yani 2x² + 2x − 24 = 0. Her yanı 2'ye bölelim: x² + x − 12 = 0.

Adım 3: Δ = 1 + 48 = 49 > 0 olduğundan doğru çemberi iki noktada keser.

Adım 4: (x + 4)(x − 3) = 0 olur, x = −4 ya da x = 3.

Adım 5: y = x + 1 ile y = −3 ve y = 4 bulunur.

Adım 6: Kontrol: 16 + 9 = 25 ve 9 + 16 = 25 sağlanır.

Sonuç: Kesen doğru; kesişim noktaları (−4, −3) ve (3, 4)

Örnek 6

x² + y² = 8 çemberine y = x + k doğrusunun teğet olması için k kaç olmalıdır? Bu değerlerden k = 4 için teğet noktasını bulun.

Çözüm:

Adım 1: Yerine yazalım: x² + (x + k)² = 8. Açınca 2x² + 2kx + k² − 8 = 0 olur.

Adım 2: Teğetlik için Δ = 0 olmalıdır. Δ = (2k)² − 4·2·(k² − 8) = 4k² − 8k² + 64 = −4k² + 64.

Adım 3: −4k² + 64 = 0 ise k² = 16, yani k = 4 ya da k = −4.

Adım 4: Uzaklık yoluyla kontrol edelim: x − y + k = 0 için d = |k| / √2 olur. d = r = 2√2 ise |k| = 4. Sonuç aynıdır.

Adım 5: k = 4 için 2x² + 8x + 8 = 0 olur. Buradan x² + 4x + 4 = 0, yani (x + 2)² = 0 ve x = −2 bulunur. Çift kök, teğetliğin işaretidir. y = −2 + 4 = 2 olur.

Sonuç: k = 4 veya k = −4; k = 4 için teğet noktası (−2, 2)

Örnek 7 (zor)

x² + y² = 25 çemberini kesen 3x + 4y − 10 = 0 doğrusunun çemberden kestiği kirişin uzunluğunu bulun.

Çözüm:

Adım 1: Merkez (0, 0), r = 5 olur.

Adım 2: d = |3·0 + 4·0 − 10| / √(9 + 16) = 10 / 5 = 2 bulunur.

Adım 3: d = 2 < 5 = r olduğundan doğru çemberi keser.

Adım 4: Yarı kiriş √(r² − d²) = √(25 − 4) = √21 olur.

Adım 5: Kiriş, yarı kirişin iki katıdır.

Sonuç: Kiriş uzunluğu 2√21

Sık yapılan hatalar

• Merkezin işaretini ters yazmak. (x − 2)² + (y + 3)² = 16 için merkez (−2, 3) demek yanlıştır. Parantez içindeki işaretin tersi alınır. Doğrusu: merkez (2, −3).
• r² ile r'yi karıştırmak. (x − 1)² + (y − 2)² = 25 için r = 25 demek yanlıştır. Sağ taraf r² olduğundan doğrusu r = 5'tir.
• x² ve y² katsayısı 1 değilken formülü doğrudan uygulamak. 2x² + 2y² − 8x + 4y − 2 = 0 için D = −8 almak yanlıştır. Önce 2'ye bölünür: x² + y² − 4x + 2y − 1 = 0. Doğrusu: merkez (2, −1).
• r² pozitif mi diye bakmamak. x² + y² + 2x + 2y + 5 = 0 için r² = 1 + 1 − 5 = −3 çıkar. Bu denklem çember belirtmez, çünkü yarıçapın karesi negatif olamaz.
• Doğruyu Ax + By + C = 0 biçimine getirmeden uzaklık formülünü kullanmak. y = 2x + 3 için önce 2x − y + 3 = 0 yazılır, sonra formül uygulanır.

Alıştırma

1) Merkezi (−1, 3), yarıçapı 5 olan çemberin denklemini yazın.

2) x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulun.

3) x² + y² + 4x − 6y + k = 0 denkleminin bir çember belirtmesi için k'nin alabileceği değerleri bulun.

4) A(−2, 1) ve B(4, 9) noktaları bir çemberin çapının uçlarıdır. Çemberin denklemini yazın.

5) x² + y² = 16 çemberi ile 3x + 4y − 20 = 0 doğrusunun durumunu belirleyin.

6) x² + y² = 9 çemberi ile x + y = 6 doğrusunun durumunu diskriminant yoluyla belirleyin.

7) x² + y² = 5 çemberine y = 2x + k doğrusunun teğet olması için k kaç olmalıdır?

8) Merkezi (3, −1) olan ve x eksenine teğet olan çemberin denklemini yazın.

9) x² + y² = 20 çemberinin x + 2y − 5 = 0 doğrusundan kestiği kirişin uzunluğunu bulun.

Cevap Anahtarı

1) (x + 1)² + (y − 3)² = 25. İpucu: a = −1, b = 3 değerlerini (x − a)² + (y − b)² = r² içine yazın.

2) Merkez (1, −2), r = 3. İpucu: Merkez (−D/2, −E/2) = (1, −2); r² = 1 + 4 + 4 = 9.

3) k < 13. İpucu: r² = 4 + 9 − k = 13 − k pozitif olmalıdır.

4) (x − 1)² + (y − 5)² = 25. İpucu: Merkez (1, 5); |AB| = √(36 + 64) = 10 olduğundan r = 5.

5) Teğet. İpucu: d = |−20| / 5 = 4 ve r = 4 olduğundan d = r.

6) Ayrık. İpucu: x² + (6 − x)² = 9 ise 2x² − 12x + 27 = 0 olur; Δ = 144 − 216 = −72 < 0.

7) k = 5 veya k = −5. İpucu: x² + (2x + k)² = 5 ise 5x² + 4kx + k² − 5 = 0; Δ = −4k² + 100 = 0 olduğundan k² = 25.

8) (x − 3)² + (y + 1)² = 1. İpucu: Merkezin x eksenine uzaklığı |−1| = 1 olduğundan r = 1.

9) 2√15. İpucu: d = 5/√5 = √5; kiriş = 2√(20 − 5) = 2√15.

Dersin özeti

• Çember denklemi, merkeze uzaklığın r olması koşulundan doğar: (x − a)² + (y − b)² = r². Sağ taraf r²'dir.
• x² + y² + Dx + Ey + F = 0 denkleminde merkez (−D/2, −E/2), r² = D²/4 + E²/4 − F'dir. r² > 0 olmalıdır.
• Doğru ile çember arasındaki durum, merkezin doğruya uzaklığı d ile r kıyaslanarak bulunur: d < r kesen, d = r teğet, d > r ayrıktır.
• Diskriminant yolunda Δ > 0 iki, Δ = 0 bir, Δ < 0 sıfır ortak nokta demektir. Kesen doğruda kiriş uzunluğu 2√(r² − d²)'dir.
• Bir sonraki derste bu düşünceyi üç boyuta taşıyıp katı cisimleri, yani prizma, silindir, koni ve küreyi inceleyeceğiz.