Çemberde Açılar: Merkez, Çevre, Teğet-Kiriş, İç ve Dış Açılar

Süre: yaklaşık 15 dk. Önceki derste dörtgenlerin (yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, deltoid) köşegen ve açı özelliklerini işledik. Bu derste aynı açı mantığını çembere taşıyoruz. Bir sonraki derste ise çemberde uzunluk konusuna geçeceğiz: teğet uzunlukları, kiriş uzunlukları ve kuvvet bağıntısı. Bugün öğreneceğimiz açı bağıntıları, o derste uzunluk bulurken elimizdeki en önemli araç olacak.

Günlük hayattan giriş

Bir stadyumda tribünün farklı yerlerinde oturan üç arkadaşı düşünün. Hepsi sahadaki aynı iki direğe bakıyor. Direklerin arasını görme açıları birbirine çok benzer. Aynı direklere sahanın tam ortasından bakan biri ise daha geniş bir açı görür. Bu gözlem çemberdeki temel fikrin kendisidir: bir yayı çemberin üzerinden görmekle merkezden görmek farklıdır ve aradaki oran sabittir.

Bisiklet tekerleğindeki iki jant teli arasındaki açıyı düşünün. İki tel göbekte (merkezde) birleşir ve bu açı, iki tel arasında kalan jant parçasını (yayı) ölçer. Bir de tekerleğin kenarındaki bir noktadan, yani çemberin üzerinden bakan bir gözlemci var. O aynı jant parçasını daha dar bir açıyla görür. Bu dersin sorusu şudur: dar açı, geniş açının tam olarak kaçta kaçıdır ve bunun nedeni nedir?

Cevap yarısıdır. Ezberlemek yerine nedenini göreceğiz. Nedeni anlarsanız teğet-kiriş açısı, iç açı ve dış açı formüllerini unutmazsınız, çünkü hepsi aynı fikrin küçük varyasyonlarıdır.

Tanım ve kural

Merkez açı: Köşesi çemberin merkezinde olan açıdır. Ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Bu bir tanımdır: yayı, merkez açıyla ölçeriz.

Çevre açı: Köşesi çemberin üzerinde olan ve iki kenarı da çemberi kesen açıdır. Ölçüsü, gördüğü yayın yarısıdır.

Neden yarısı? Çevre açının bir kenarı merkezden geçsin. A çemberin üzerinde, O merkez, B ve C de çemberin üzerinde olsun ve AB kenarı O'dan geçsin. OA ve OC yarıçap olduğu için OAC üçgeni ikizkenardır, yani A ve C açıları eşittir. Bu açılara x diyelim. O köşesindeki açının bütünleyeni ile ilgilenmek yerine dış açı teoremini kullanırız: BOC açısı, OAC üçgeninin dış açısıdır ve iki iç açının toplamına eşittir. Yani BOC = x + x = 2x olur. BOC merkez açıdır ve yayı ölçer, çevre açı ise x'tir. Demek ki çevre açı, yayın yarısıdır. Merkezin açının dışında ya da içinde kaldığı diğer durumlar, bu durumun toplanması veya çıkarılmasıyla elde edilir.

Bu tek fikirden şu sonuçlar çıkar:

• Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir.
• Çapı gören çevre açı 90°'dir, çünkü çap yarım çemberi (180°) görür.
• Teğet-kiriş açısı: Teğet ile değme noktasından çizilen kiriş arasındaki açıdır. Bu açı, çevre açının sınır hâlidir (çevre açının bir kenarı teğete dönmüştür). Ölçüsü, gördüğü yayın yarısıdır.
• İç açı: Çemberin içinde kesişen iki kirişin yaptığı açıdır. Ölçüsü, açının ve tepe açısının gördüğü iki yayın toplamının yarısıdır. Neden: kirişlerden birini paralel kaydırmak yerine, kesişim noktasını bir üçgenin dış açısı olarak yazarsanız iki çevre açının toplamı ortaya çıkar; her biri kendi yayının yarısıdır.
• Dış açı: Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen iki kesen (veya kesen-teğet, veya iki teğet) arasındaki açıdır. Ölçüsü, gördüğü büyük yay ile küçük yayın farkının yarısıdır. Neden: dış nokta bir üçgenin köşesidir, çevre açı ise o üçgenin dış açısıdır; büyük yayın yarısından küçük yayın yarısı çıkarılır.
• Kirişler dörtgeni: Dört köşesi de çemberin üzerinde olan dörtgendir. Karşılıklı açılar, toplamı 360° olan iki yayı görür (bir açı bir yayı, karşısındaki açı da kalan yayı). Her biri yayın yarısı olduğundan toplamları 180°'dir. Bir köşedeki dış açı da karşısındaki iç açıya eşittir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

Bir çemberde merkez açısı 80° olan AB yayını gören çevre açı kaç derecedir?

Çözüm:

Adım 1: Merkez açı yayın ölçüsüne eşittir, yani yay AB = 80°.

Adım 2: Çevre açı, yayın yarısıdır: 80° ÷ 2 = 40°.

Sonuç: 40°

Örnek 2 (çapı gören açı)

AB çaptır ve C noktası çemberin üzerindedir. m(CAB) = 27° ise m(ABC) kaç derecedir?

Çözüm:

Adım 1: AB çap olduğu için ACB açısı çapı görür, yani 90°'dir.

Adım 2: ABC üçgeninin iç açıları toplamı 180°'dir.

Adım 3: m(ABC) = 180° − 90° − 27° = 63°.

Sonuç: 63°

Örnek 3 (teğet-kiriş)

T noktasında çembere teğet olan doğru ile TB kirişi arasındaki açı 50° ise TB yayının ölçüsü ve TB'yi gören merkez açı kaç derecedir? (Teğet-kiriş açısı, TB yayının bulunduğu taraftaki açıdır.)

Çözüm:

Adım 1: Teğet-kiriş açısı gördüğü yayın yarısıdır: 50° = yay ÷ 2.

Adım 2: Yay TB = 50° × 2 = 100°.

Adım 3: Merkez açı yayın ölçüsüne eşittir, m(TOB) = 100°.

Adım 4 (kontrol): OT teğete dik olduğundan m(OTB) = 90° − 50° = 40°. OTB ikizkenar olduğu için m(TOB) = 180° − 40° − 40° = 100° çıkar. İki yol aynı sonucu verdi.

Sonuç: Yay 100°, merkez açı 100°

Örnek 4 (iç açı)

Bir çemberde AB ve CD kirişleri E noktasında kesişiyor. AEC açısının gördüğü yay AC = 70°, tepe açısı BED'nin gördüğü yay BD = 50° ise m(AEC) kaç derecedir? Diğer açı m(AED) kaç derecedir?

Çözüm:

Adım 1: İç açı, iki yayın toplamının yarısıdır: (70° + 50°) ÷ 2.

Adım 2: 120° ÷ 2 = 60°, yani m(AEC) = 60°.

Adım 3: AED açısı, AEC ile bir doğru üzerinde (bütünler) olduğu için m(AED) = 180° − 60° = 120°.

Adım 4 (kontrol): Kalan yaylar AD + BC = 360° − 70° − 50° = 240°. Yarısı 120°'dir, uyuyor.

Sonuç: m(AEC) = 60°, m(AED) = 120°

Örnek 5 (dış açı, iki kesen)

P noktası çemberin dışındadır. P'den çizilen iki kesen çemberi A, B ve C, D noktalarında kesiyor. Küçük yay 50°, açı m(APC) = 30° ise büyük yay kaç derecedir?

Çözüm:

Adım 1: Dış açı formülü: açı = (büyük yay − küçük yay) ÷ 2.

Adım 2: 30° = (büyük yay − 50°) ÷ 2.

Adım 3: Büyük yay − 50° = 60°.

Adım 4: Büyük yay = 60° + 50° = 110°.

Sonuç: 110°

Örnek 6 (iki teğet)

P dış noktasından çembere PA ve PB teğetleri çiziliyor (A ve B değme noktaları). m(APB) = 50° ise küçük AB yayı kaç derecedir?

Çözüm:

Adım 1: Yarıçap değme noktasında teğete diktir: m(PAO) = m(PBO) = 90°.

Adım 2: PAOB dörtgeninin iç açıları toplamı 360°'dir.

Adım 3: m(AOB) = 360° − 90° − 90° − 50° = 130°.

Adım 4: Merkez açı yayı ölçer, küçük yay AB = 130°.

Adım 5 (kontrol): Büyük yay = 360° − 130° = 230°. Dış açı = (230° − 130°) ÷ 2 = 50°. Verilenle aynı.

Sonuç: 130°

Örnek 7 (kirişler dörtgeni ve denklem)

ABCD kirişler dörtgeninde m(A) = 2x + 10° ve m(C) = 3x − 20° ise x ile m(A) kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: A ve C karşılıklı açılardır, toplamları 180°'dir.

Adım 2: (2x + 10) + (3x − 20) = 180.

Adım 3: 5x − 10 = 180, yani 5x = 190 ve x = 38.

Adım 4: m(A) = 2 × 38 + 10 = 86°. m(C) = 3 × 38 − 20 = 94°.

Adım 5 (kontrol): 86° + 94° = 180°.

Sonuç: x = 38, m(A) = 86°

Örnek 8 (zor: köşegenlerle birleşik)

ABCD kirişler dörtgeninde AC ve BD köşegenleri E noktasında kesişiyor. m(ABD) = 35° ve m(BAC) = 50° ise m(DEC) kaç derecedir?

Çözüm:

Adım 1: ABD ve ACD açıları aynı AD yayını gören çevre açılardır, bu yüzden m(ACD) = 35°.

Adım 2: BAC ve BDC açıları aynı BC yayını görür, bu yüzden m(BDC) = 50°.

Adım 3: DEC üçgeninde m(EDC) = 50° ve m(ECD) = 35° olur.

Adım 4: m(DEC) = 180° − 50° − 35° = 95°.

Adım 5 (kontrol): Yay AD = 70° ve yay BC = 100° olduğundan AB + CD yayları 360° − 170° = 190°'dir. DEC açısı AEB'nin tepe açısıdır ve iç açı formülüyle 190° ÷ 2 = 95° çıkar.

Sonuç: 95°

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: Çevre açıyı yayla aynı sanmak (yay 80° ise çevre açı 80° demek). Doğrusu: Çevre açı yayın yarısıdır, 40°'dir. Sadece merkez açı yayla eşittir.
• Yanlış: Dış açıda iki yayı toplamak. Doğrusu: Dış açıda büyük yaydan küçük yay çıkarılır, sonra ikiye bölünür. İç açıda ise toplanır.
• Yanlış: Teğet-kiriş açısı için hangi yayı gördüğüne bakmamak. Doğrusu: Açının içinde kalan yay alınır; teğetin diğer tarafındaki açı büyük yayı görür.
• Yanlış: Kirişler dörtgeninde komşu açıların toplamını 180° saymak. Doğrusu: Sadece karşılıklı açıların toplamı 180°'dir.
• Yanlış: Çapı gören açıyı 180° saymak. Doğrusu: Çap 180°'lik yayı görür, çevre açı bunun yarısı olan 90°'dir.

Sınav taktiği

AYT'de bu konu genellikle 1 soruyla gelir ve en fazla 1,5 dakikada çözülmelidir. Soru tipi: bir çizimde yay ve açılar karışık verilir, siz bir bilinmeyeni bulursunuz. Önce çizimdeki tüm yayları merkez açı diliyle yazın; sonra her çevre açıyı yarıya çevirin. Şık elemede tam çember toplamını (360°) ve kirişler dörtgeninin 180° kuralını kontrol edin. Sonucunuz bu kurallarla çelişiyorsa o şıkkı eleyebilirsiniz.

Alıştırma

1) Merkez açısı 116° olan yayı gören çevre açı kaç derecedir?

2) AB çaptır, C çember üzerindedir ve m(ABC) = 41° ise m(BAC) kaçtır?

3) Teğet-kiriş açısı 65° ise gördüğü yay kaç derecedir?

4) İki kiriş çemberin içinde kesişiyor. Açının ve tepe açısının gördüğü yaylar 100° ve 46° ise bu açı kaç derecedir?

5) Çemberin dışındaki bir noktadan çizilen iki kesenin gördüğü büyük yay 150°, küçük yay 60° ise dış açı kaç derecedir?

6) Dış noktadan çizilen iki teğet arasındaki açı 70° ise küçük yay kaç derecedir?

7) ABCD kirişler dörtgeninde m(B) = 95° ise m(D) kaçtır?

8) ABCD kirişler dörtgeninde C köşesindeki dış açı 100° ise m(A) kaçtır?

9) ABCD kirişler dörtgeninde m(B) = 3x + 15° ve m(D) = 5x − 35° ise m(B) kaçtır?

10) Aynı çemberde AB yayı 84° iken, bu yayın karşı tarafında C ve D noktaları vardır. m(ACB) + m(ADB) toplamı kaç derecedir?

Cevap Anahtarı

1) 58°. İpucu: Çevre açı yayın yarısıdır, 116° ÷ 2 = 58°.

2) 49°. İpucu: Çapı gören C açısı 90°'dir, 180° − 90° − 41° = 49°.

3) 130°. İpucu: Teğet-kiriş açısı yayın yarısıdır, yay = 65° × 2 = 130°.

4) 73°. İpucu: İç açı yayların toplamının yarısıdır, (100° + 46°) ÷ 2 = 73°.

5) 45°. İpucu: Dış açı fark yarısıdır, (150° − 60°) ÷ 2 = 45°.

6) 110°. İpucu: Büyük yay + küçük yay = 360° ve büyük − küçük = 140° olur; küçük yay = (360° − 140°) ÷ 2 = 110°.

7) 85°. İpucu: B ve D karşılıklıdır, 180° − 95° = 85°.

8) 100°. İpucu: Dış açı karşısındaki iç açıya eşittir, yani m(A) = 100°.

9) 90°. İpucu: (3x + 15) + (5x − 35) = 180 ise 8x = 200 ve x = 25; m(B) = 3 × 25 + 15 = 90°.

10) 84°. İpucu: Aynı yayı gören iki çevre açı da 84° ÷ 2 = 42°'dir, toplam 42° + 42° = 84°.

Dersin özeti

• Merkez açı yayın kendisine eşittir; çevre açı ve teğet-kiriş açısı yayın yarısıdır. Yarısı olmasının nedeni ikizkenar üçgende dış açı teoremidir.
• Aynı yayı gören çevre açılar eşittir; çapı gören çevre açı 90°'dir.
• İç açı iki yayın toplamının yarısı, dış açı ise büyük yay ile küçük yayın farkının yarısıdır.
• Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı 180°'dir ve bir dış açı, karşısındaki iç açıya eşittir.
• Bir sonraki derste bu açı bilgisini çemberde uzunluğa taşıyacağız: teğet uzunlukları, kiriş uzunlukları ve kuvvet bağıntısı bu açı ilişkileriyle benzer üçgenler üzerinden kurulacak.