Çemberde Uzunluk: Kiriş, Teğet, Kuvvet ve Çevrel-İç Teğet Çember

Günlük hayattan giriş

Bisiklet tekerleğini düşün. Tekerlek yere değdiği noktada yolu sadece bir noktadan öper; o noktada yol tekerleğe teğettir. Tekerleğin ortasındaki aks ile yere değen nokta arasına bir çubuk çizsen bu çubuk yola diktir. İşte teğetin yarıçapa dik olması, günlük hayatta her tekerlekte karşımıza çıkar.

Bir pizzayı ortadan böldüğünde iki kesim çizgisi de merkezden geçer. Kesmeyi merkezden geçirmezsen kesik bir kiriş olur ve merkezden o kesiğe indirdiğin dik çizgi kesiği tam ortadan ikiye böler. Pizzacı bunu düşünmez ama simetri bunu kendiliğinden sağlar. Yuvarlak bir bahçenin dışındaki bir noktadan bahçeye iki ayrı yoldan bakarsan bu yolların uzunlukları arasında değişmez bir çarpım ilişkisi vardır; buna kuvvet diyeceğiz.

Geçen derste (5/8) çemberde açıları öğrendik: merkez açı, çevre açı ve teğet-kiriş açısı. Bu derste aynı şekillere bu kez uzunluk gözüyle bakıyoruz. Açı eşitliklerinin bize benzer üçgenler verdiğini göreceksin; uzunluk bağıntılarının tamamı bu benzerlikten çıkar. Sonraki derste (7/8) katı cisimler bölümüne geçeceğiz. Orada küre, silindir ve koni gibi cisimlerin kesitlerinde yine çember uzunlukları ve teğetlik karşımıza çıkacak; bu dersteki bilgi oraya doğrudan hazırlık olacak.

Tanım ve kural

1) Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar. Neden? O merkez, AB kiriş olsun. OA = OB = r olduğundan OAB ikizkenar üçgendir. İkizkenar üçgende tepeden tabana inen dikme tabanı ortalar. Dikmenin ayağı H ise AH = HB olur. OHA dik üçgeninde Pisagor uygulanır: AH² = r² − OH². Yani kiriş uzunluğu = 2 × √(r² − d²), burada d merkezin kirişe uzaklığıdır.

2) Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir. Neden? Değme noktası dışındaki her nokta çemberin dışındadır; bu yüzden değme noktası, merkeze teğet üzerindeki en yakın noktadır. Bir noktaya en kısa uzaklık dik doğrultudadır. Dış bir P noktasından teğet uzunluğu için OTP dik üçgeninde: PT² = OP² − r².

3) Bir dış noktadan çizilen iki teğetin uzunlukları eşittir. Neden? OTP ve OT'P dik üçgenlerinde hipotenüs OP ortaktır ve OT = OT' = r olur. Pisagor'dan PT = PT' çıkar.

4) Kuvvet bağıntıları. İç noktada: P çemberin içinde, AB ve CD kirişleri P'de kesişiyorsa PA × PB = PC × PD. Neden? APD ve CPB üçgenlerinde, aynı yayı gören çevre açılar eşit olduğundan iki açı eşit, ayrıca ters açılar eşittir. Üçgenler benzer olur ve PA/PC = PD/PB yazılır. İçler dışlar çarpımı sonucu verir. Dış noktada: P dışarıda, bir kesen çemberi önce A sonra B noktasında kesiyorsa ve PT teğet ise PT² = PA × PB. Neden? PTA ve PBT üçgenlerinde P açısı ortaktır; teğet-kiriş açısı ile çevre açı eşit olduğundan diğer açılar da eşit olur. Benzerlikten PT/PB = PA/PT çıkar.

5) Dik üçgende çevrel ve iç teğet çember. Dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi hipotenüsün ortasıdır; bu yüzden R = c/2. İç teğet çemberin yarıçapı r = (a + b − c)/2 olur (a, b dik kenarlar, c hipotenüs). Genel üçgende r = Alan / s formülü vardır (s yarı çevre). Dıştan teğetler dörtgeni (Pitot): bir çembere dıştan teğet olan dörtgende karşılıklı kenar toplamları eşittir: AB + CD = BC + AD. Nedeni, her köşeden çembere çizilen iki teğet parçasının eşit olmasıdır. Daire dilimi: merkez açısı α olan dilimde yay uzunluğu = 2πr × α/360, alan = πr² × α/360. Nedeni, dilimin tam çemberin α/360 kadarı olmasıdır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. Yarıçapı 13 olan bir çemberde, merkezin kirişe uzaklığı 5 ise kirişin uzunluğu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Dikme kirişi ortalar; yarım kiriş dik üçgenin bir kenarıdır.

Adım 2: Yarım kiriş = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12.

Adım 3: Kiriş, yarımın iki katıdır: 2 × 12 = 24.

Sonuç: Kiriş uzunluğu 24 birimdir.

Örnek 2. Yarıçapı 6 olan çemberin merkezine 10 birim uzaklıktaki A noktasından çembere çizilen teğetin uzunluğu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Değme noktası T olsun. OT ⟂ AT olduğundan OTA dik üçgendir ve hipotenüs OA = 10'dur.

Adım 2: AT² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64.

Adım 3: AT = √64 = 8.

Sonuç: Teğet uzunluğu 8 birimdir.

Örnek 3. P noktasından çembere çizilen PA ve PB teğetleri arasındaki açı 60° ve PA = 8 ise AB kaç birimdir?

Çözüm:

Adım 1: İki teğet parçası eşit olduğundan PA = PB = 8.

Adım 2: PAB ikizkenar üçgendir ve tepe açısı 60°'dir.

Adım 3: Taban açıları (180° − 60°) ÷ 2 = 60° olur. Üçgen eşkenardır.

Adım 4: AB = 8.

Sonuç: AB = 8 birimdir.

Örnek 4. Bir çemberin içindeki P noktasında AB ve CD kirişleri kesişiyor. PA = 4, PB = 9, PC = 3 ise PD kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: İç nokta kuvveti: PA × PB = PC × PD.

Adım 2: 4 × 9 = 36 olur; 3 × PD = 36.

Adım 3: PD = 36 ÷ 3 = 12.

Sonuç: PD = 12 birimdir.

Örnek 5. Dış bir P noktasından çembere PT teğeti ve bir kesen çiziliyor. Kesen çemberi önce A, sonra B noktasında kesiyor. PT = 6 ve PA = 4 ise AB kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Dış nokta kuvveti: PT² = PA × PB.

Adım 2: 36 = 4 × PB, buradan PB = 9.

Adım 3: PB tüm kesendir (P'den uzaktaki B'ye kadar). AB = PB − PA = 9 − 4 = 5.

Sonuç: AB = 5 birimdir.

Örnek 6. Yarıçapı 6 olan bir dairede merkez açısı 60° olan dilimin yay uzunluğunu ve alanını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: 60/360 = 1/6; dilim çemberin altıda biridir.

Adım 2: Yay uzunluğu = 2π × 6 × 1/6 = 2π.

Adım 3: Alan = π × 6² × 1/6 = 36π/6 = 6π.

Sonuç: Yay uzunluğu 2π, alan 6π olur.

Örnek 7. Kenarları 6, 8 ve 10 olan dik üçgenin iç teğet çemberinin ve çevrel çemberinin yarıçapını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² olduğundan üçgen diktir; hipotenüs 10'dur.

Adım 2: Çevrel çember: R = 10 ÷ 2 = 5.

Adım 3: İç teğet çember: r = (6 + 8 − 10) ÷ 2 = 2.

Adım 4: Kontrol: Alan = 6 × 8 ÷ 2 = 24, yarı çevre s = 24 ÷ 2 = 12 ve r = 24 ÷ 12 = 2. Sonuçlar tutuyor.

Sonuç: R = 5 ve r = 2 olur.

Örnek 8. Yarıçapları 8 ve 3 olan, merkezleri arası 13 birim olan iki çemberin (birbirlerine değmeyen) ortak dış teğetinin, değme noktaları arasındaki uzunluğu kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Küçük çemberin merkezinden teğete paralel çizilirse bir dik üçgen oluşur; hipotenüs merkezler arası uzaklık 13'tür.

Adım 2: Dik kenarlardan biri yarıçap farkıdır: 8 − 3 = 5. Diğeri aradığımız teğet uzunluğudur.

Adım 3: Uzunluk = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12.

Sonuç: Ortak dış teğet uzunluğu 12 birimdir.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: Yarıçap 13, uzaklık 5 iken kirişi √(169 − 25) = 12 bulup bırakmak. Doğrusu: 12 yarım kiriştir; kiriş 2 × 12 = 24'tür.
• Yanlış: PT² = PA × AB yazmak (PA = 4, AB = 5 için 20 bulmak). Doğrusu: Çarpımda kesenin tamamı kullanılır: PT² = PA × PB = 4 × 9 = 36.
• Yanlış: İç kuvvette PA × PC = PB × PD yazmak. Doğrusu: Aynı kirişin parçaları birbiriyle çarpılır: PA × PB = PC × PD.
• Yanlış: Teğet uzunluğunu OP sanmak ya da OP'yi teğetten bulmaya çalışmak. Doğrusu: OP hipotenüstür; PT = √(OP² − r²).
• Yanlış: Dik üçgende R = hipotenüs ve r = (a + b + c)/2 almak. Doğrusu: R = c/2 ve r = (a + b − c)/2.

Sınav odaklı ipuçları

Soru tipleri: AYT geometride bu konudan genellikle 1 soru gelir. Sık gelen tipler: kirişte dik üçgen kurma, teğet uzunluğu, kuvvet bağıntısı, iç teğet çember ve dik üçgen, Pitot dörtgeni. Soru çoğu kez bir şekil ve iki-üç adımlı bir Pisagor ile çözülür. Bu soruya ayıracağın süre yaklaşık 1,5-2 dakikadır.

Taktik: Çember görünce önce merkezi yarıçapla değme noktasına ve kirişin ortasına bağla; dik üçgen kur. Pisagor üçlülerini (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 6-8-10) tanı; sonuçlar çoğunlukla tam sayıdır. Şıklarda ondalıklı veya köklü değer yoksa hesabın 3-4-5 ailesinden çıkması gerekir. Sonucu birim kontrolüyle ve makul büyüklükle de eleyebilirsin: kiriş çaptan, teğet uzunluğu OP'den büyük olamaz.

Alıştırma

1) Yarıçapı 10 olan çemberde merkezin kirişe uzaklığı 6 ise kiriş kaçtır?

2) Merkeze 17 birim uzaklıktaki noktadan, yarıçapı 8 olan çembere çizilen teğetin uzunluğu kaçtır?

3) Yarıçapı 12 olan çembere P dış noktasından çizilen teğet uzunluğu 5 ise OP kaçtır?

4) İç noktada kesişen kirişlerde PA = 2, PB = 15, PC = 5 ise PD kaçtır?

5) Dış P noktasından teğet PT = 12 ve kesen çemberi önce A, sonra B'de kesiyor. PA = 8 ise AB kaçtır?

6) Yarıçapı 5 olan çemberin merkezine 13 birim uzaklıktaki P noktasından çizilen kesen çemberi önce A, sonra B'de kesiyor. PA = 9 ise AB kaçtır?

7) Kenarları 5, 12 ve 13 olan dik üçgenin iç teğet çemberinin ve çevrel çemberinin yarıçapı kaçtır?

8) Bir çembere dıştan teğet ABCD dörtgeninde AB = 10, CD = 12 ve BC = 9 ise AD kaçtır?

9) Yarıçapı 9 olan dairede merkez açısı 120° olan dilimin yay uzunluğu ve alanı kaçtır?

10) Yarıçapları 10 ve 2, merkezleri arası 17 birim olan iki çemberin ortak dış teğet uzunluğu kaçtır?

Cevap Anahtarı

1) 16. Yarım kiriş √(100 − 36) = 8; kiriş 2 × 8 = 16.

2) 15. PT = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15.

3) 13. OP = √(12² + 5²) = √169 = 13.

4) 6. 2 × 15 = 30 = 5 × PD, buradan PD = 6.

5) 10. 12² = 144 = 8 × PB, PB = 18; AB = 18 − 8 = 10.

6) 7. Kuvvet = 13² − 5² = 144; 9 × PB = 144, PB = 16; AB = 16 − 9 = 7.

7) r = 2 ve R = 6,5. r = (5 + 12 − 13)/2 = 2; R = 13 ÷ 2 = 6,5.

8) 13. AB + CD = 22 = BC + AD = 9 + AD, buradan AD = 13.

9) Yay 6π, alan 27π. 120/360 = 1/3; yay 2π × 9 × 1/3 = 6π, alan π × 81 × 1/3 = 27π.

10) 15. Yarıçap farkı 10 − 2 = 8; √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15.

Dersin özeti

• Merkezden kirişe inen dikme kirişi ortalar; kiriş = 2√(r² − d²).
• Teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir; dış noktadan çizilen iki teğet parçası eşittir ve PT = √(OP² − r²).
• Kuvvet bağıntıları benzer üçgenlerden çıkar: iç noktada PA × PB = PC × PD, dış noktada PT² = PA × PB.
• Dik üçgende R = c/2 ve r = (a + b − c)/2; dıştan teğet dörtgende karşılıklı kenar toplamları eşittir.
• Daire diliminde yay ve alan, tam çemberin α/360 kadarıdır. Sonraki derste (7/8) katı cisimlere geçeceğiz.