Doğrunun Analitik İncelemesi: Eğim, Doğru Denklemleri ve Uzaklık

Günlük hayattan giriş

Bir yokuş yukarı yürürken 'Bu yokuş çok dik' dersin. Dikliği neye göre söylüyorsun? Aslında yatayda ne kadar ilerlediğine, dikeyde ne kadar yükseldiğine bakıyorsun. Yol işaretlerindeki '%8 eğim' ifadesi de bunu anlatır: yatayda 100 birim gidince dikeyde 8 birim yükselmek. Matematikte buna eğim deriz. Eğim, bir doğrunun ne kadar dik olduğunu tek bir sayıyla söyler.

Bir merdiveni duvara dayadığını düşün. Merdivenin alt ucu duvardan uzaklaştıkça merdiven yatıklaşır, yani eğimi küçülür. Rampa, çatı, kayak pisti, grafik üzerindeki artış hızı hep aynı fikre dayanır. Bir de uzaklık sorusu var: 'Şu düz yola en kısa yoldan ulaşmak için kaç metre yürümeliyim?' En kısa yol her zaman yola dik olan yoldur. Noktanın doğruya uzaklığı formülü bu sorunun cevabıdır.

Geçen derste (1/8) analitik düzlemde noktaları, iki nokta arasındaki uzaklığı ve orta noktayı öğrendik. Bugün bu noktaları birleştiren doğruyu inceleyeceğiz. Bir sonraki derste bu araçları kesişim, simetri ve alan problemlerinde birlikte kullanacağız. Bu yüzden bugünkü formülleri ezberlemek yerine nereden geldiklerini anlamaya çalış.

Tanım ve kural

Eğim: Doğru üzerindeki A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları için m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) olur. Bu, dikeydeki değişimin yataydaki değişime oranıdır. Doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açıya α dersek m = tanα olur. Neden? Bir dik üçgen çizersek karşı dik kenar dikeydeki değişim, komşu dik kenar yataydaki değişimdir. Tanjant da karşı bölü komşudur. Bu yüzden α = 45° ise m = 1, α = 60° ise m = √3, α = 135° ise m = −1 çıkar. Açı geniş olursa tanjant negatif olur, doğru sola yatar ve eğim negatiftir. Yatay doğrunun eğimi 0'dır. Düşey doğru x = k biçimindedir ve eğimi tanımsızdır, çünkü paydadaki x farkı 0 olur.

Paralellik: Paralel doğruların x eksenine göre açıları eşittir. Açılar eşitse tanjantları da eşittir, yani m₁ = m₂. Diklik: Bir doğru 90° döndürülünce açısı α + 90° olur. tan(α + 90°) = −1/tanα olduğundan m₁ · m₂ = −1 çıkar. Bu, dik doğruların eğimlerinden birinin diğerinin 'ters işaretli çevrilmişi' olduğu anlamına gelir.

Genel denklemde m = −a/b olmasının nedeni şudur: ax + by + c = 0 denkleminden by = −ax − c, yani y = (−a/b)x − c/b çıkar. Bu, y = mx + n biçimidir. Uzaklık formülünde pay, noktayı doğru denkleminde yerine yazınca çıkan değerdir. Nokta doğru üzerindeyse bu değer 0 olur, yani uzaklık 0'dır. Payda √(a² + b²) ise denklemi ölçeklendirmekten doğan farkı düzeltir. Bu yüzden denklemi 2 ile çarpsan da sonuç değişmez.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

A(2, 3) ve B(6, 11) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.

Çözüm:

Adım 1: Ordinat farkı = 11 − 3 = 8.

Adım 2: Apsis farkı = 6 − 2 = 4.

Adım 3: m = 8/4 = 2.

Örnek 2

Eğim açısı 135° olan ve (1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemini yazalım.

Çözüm:

Adım 1: m = tan135° = −1.

Adım 2: y − 4 = −1 · (x − 1) yazarız.

Adım 3: y − 4 = −x + 1 olur, buradan y = −x + 5 çıkar.

Adım 4: Genel biçim: x + y − 5 = 0. Kontrol: (1, 4) için 1 + 4 − 5 = 0 sağlanır.

Örnek 3

3x − 4y + 12 = 0 doğrusunun eğimini, eksenleri kestiği noktaları ve eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanını bulalım.

Çözüm:

Adım 1: m = −a/b = −3/(−4) = 3/4.

Adım 2: x = 0 için −4y + 12 = 0, yani y = 3. Doğru y eksenini (0, 3) noktasında keser.

Adım 3: y = 0 için 3x + 12 = 0, yani x = −4. Doğru x eksenini (−4, 0) noktasında keser.

Adım 4: Dik kenarlar 4 ve 3 birimdir. Alan = (4 · 3)/2 = 6.

Sonuç: eğim 3/4, kesim noktaları (−4, 0) ve (0, 3), alan 6 birimkare.

Örnek 4

2x + 3y − 6 = 0 doğrusuna A(3, 1) noktasından çizilen paralel ve dik doğruların denklemlerini bulalım.

Çözüm:

Adım 1: Verilen doğrunun eğimi m = −2/3.

Adım 2 (paralel): eğim yine −2/3 olur. y − 1 = (−2/3)(x − 3) yazarız. Her yanı 3 ile çarparsak 3y − 3 = −2x + 6 olur. Sonuç: 2x + 3y − 9 = 0. Kontrol: 6 + 3 − 9 = 0.

Adım 3 (dik): eğim −2/3'ün ters işaretlisinin çevrilmişi, yani 3/2 olur. y − 1 = (3/2)(x − 3) yazarız. Her yanı 2 ile çarparsak 2y − 2 = 3x − 9 olur. Sonuç: 3x − 2y − 7 = 0. Kontrol: 9 − 2 − 7 = 0.

Örnek 5

P(4, 1) noktasının 3x + 4y − 1 = 0 doğrusuna uzaklığını bulalım.

Çözüm:

Adım 1: a = 3, b = 4, c = −1 alınır.

Adım 2: Pay: |3 · 4 + 4 · 1 − 1| = |12 + 4 − 1| = 15.

Adım 3: Payda: √(9 + 16) = √25 = 5.

Adım 4: Uzaklık = 15/5 = 3 birim.

Örnek 6

3x + 4y − 7 = 0 ve 6x + 8y + 9 = 0 paralel doğruları arasındaki uzaklığı bulalım.

Çözüm:

Adım 1: Formül için x ve y katsayıları aynı olmalıdır. İkinci denklemi 2'ye bölersek 3x + 4y + 4,5 = 0 olur.

Adım 2: c₁ = −7 ve c₂ = 4,5 olduğundan |c₁ − c₂| = |−7 − 4,5| = 11,5.

Adım 3: Payda √(9 + 16) = 5.

Adım 4: Uzaklık = 11,5/5 = 2,3 = 23/10.

Kontrol: İlk doğru üzerindeki (1, 1) noktasını alalım (3 + 4 − 7 = 0). Bu noktanın 6x + 8y + 9 = 0 doğrusuna uzaklığı |6 + 8 + 9| / √(36 + 64) = 23/10 çıkar. Sonuç aynıdır.

Örnek 7 (AYT tarzı)

A(2, 1) noktasının 5x + 12y + k = 0 doğrusuna uzaklığı 3 birim ise k'nın alabileceği değerleri bulalım.

Çözüm:

Adım 1: Payda √(25 + 144) = 13.

Adım 2: Pay: |10 + 12 + k| = |22 + k|.

Adım 3: |22 + k| / 13 = 3 olduğundan |22 + k| = 39.

Adım 4: 22 + k = 39 ise k = 17. 22 + k = −39 ise k = −61.

Sonuç: k = 17 veya k = −61. Mutlak değer iki durum verir. İki doğru da A'ya 3 birim uzaklıkta, biri bir yanında, biri öbür yanındadır.

Örnek 8 (AYT tarzı)

A(0, 0), B(4, 3) ve C(6, 0) köşeli ABC üçgeninin alanını AB kenarına ait yüksekliği kullanarak bulalım.

Çözüm:

Adım 1: |AB| = √(16 + 9) = 5.

Adım 2: AB doğrusunun eğimi 3/4'tür ve orijinden geçer. y = (3/4)x ise 3x − 4y = 0 olur.

Adım 3: C(6, 0) noktasının bu doğruya uzaklığı |18 − 0| / 5 = 18/5. Bu, AB kenarına ait yüksekliktir.

Adım 4: Alan = (1/2) · 5 · (18/5) = 9.

Sonuç: 9 birimkare. Kontrol: taban AC = 6, yükseklik B'nin ordinatı 3 olduğundan alan = (6 · 3)/2 = 9 çıkar.

Sık yapılan hatalar

• Eğimde farkların sırasını karıştırmak: m = (y₂ − y₁)/(x₁ − x₂) yazmak yanlıştır, işaret ters çıkar. Doğrusu: pay ve paydada aynı sırayı kullanmaktır. Hangi noktayı önce yazdıysan ikisinde de onu önce yaz.
• m = a/b sanmak: 2x + 5y − 1 = 0 için m = 2/5 yazmak yanlıştır. Doğrusu m = −a/b = −2/5'tir.
• Dik doğruda yalnız ters çevirmek: Eğimi 2 olan doğruya dik eğimi 1/2 yazmak yanlıştır. Doğrusu −1/2'dir, çünkü çarpım −1 olmalıdır.
• Paralel doğrular arası uzaklıkta katsayıları eşitlememek: 3x + 4y − 7 = 0 ile 6x + 8y + 9 = 0 için |−7 − 9|/5 yazmak yanlıştır. Doğrusu önce denklemleri aynı x, y katsayılarına getirip sonra formülü uygulamaktır.
• Mutlak değeri ve düşey doğruyu unutmak: Uzaklık negatif çıkmaz, pay mutlak değer içinde olmalıdır. Ayrıca x = k doğrusunun eğimi yoktur. Bu doğruya 'm = 0' demek yanlıştır, m = 0 yatay doğrudur.

Alıştırma

1) A(−1, 5) ve B(3, −3) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

2) Eğim açısı 45° olan ve (0, −2) noktasından geçen doğrunun denklemini y = mx + n biçiminde yazınız.

3) 4x − 2y + 8 = 0 doğrusunun eğimini ve x eksenini kestiği noktayı bulunuz.

4) A(1, 2) ve B(3, 8) noktalarından geçen doğrunun denklemini y = mx + n biçiminde yazınız.

5) (2, 3) noktasından geçen ve x − 2y + 1 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini ax + by + c = 0 biçiminde yazınız.

6) (2, 3) noktasından geçen ve x − 2y + 1 = 0 doğrusuna dik olan doğrunun denklemini ax + by + c = 0 biçiminde yazınız.

7) Orijinin 5x + 12y − 26 = 0 doğrusuna uzaklığını bulunuz.

8) x + y − 1 = 0 ve x + y + 5 = 0 doğruları arasındaki uzaklığı bulunuz.

9) 2x + 3y − 5 = 0 ile 4x + ky + 1 = 0 doğruları paralel ise k kaçtır?

10) A(0, 0), B(3, 4) ve C(7, 0) köşeli üçgenin alanını, C noktasının AB doğrusuna uzaklığından yararlanarak bulunuz.

Cevap Anahtarı

• 1) −2. İpucu: (−3 − 5)/(3 − (−1)) = −8/4 = −2.
• 2) y = x − 2. İpucu: m = tan45° = 1 ve doğru y eksenini (0, −2)'de kestiği için n = −2.
• 3) Eğim 2, kesim noktası (−2, 0). İpucu: m = −4/(−2) = 2. y = 0 için 4x + 8 = 0 ve x = −2.
• 4) y = 3x − 1. İpucu: m = (8 − 2)/(3 − 1) = 3. y − 2 = 3(x − 1) ile y = 3x − 1 bulunur.
• 5) x − 2y + 4 = 0. İpucu: m = 1/2. y − 3 = (x − 2)/2 ise 2y − 6 = x − 2 ve x − 2y + 4 = 0. Kontrol: 2 − 6 + 4 = 0.
• 6) 2x + y − 7 = 0. İpucu: dik eğim −2. y − 3 = −2(x − 2) ise y = −2x + 7. Kontrol: 4 + 3 − 7 = 0.
• 7) 2 birim. İpucu: |−26| / √(25 + 144) = 26/13 = 2.
• 8) 3√2 birim. İpucu: katsayılar zaten aynı, |−1 − 5| / √2 = 6/√2 = 3√2.
• 9) k = 6. İpucu: paralel için eğimler eşit olmalı: −2/3 = −4/k olduğundan k = 6.
• 10) 14 birimkare. İpucu: |AB| = 5 ve AB doğrusu 4x − 3y = 0. C'nin uzaklığı 28/5 olduğundan alan = (1/2) · 5 · (28/5) = 14. Kontrol: taban AC = 7, yükseklik 4 ise (7 · 4)/2 = 14.

Dersin özeti

• Eğim m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = tanα'dır. Paralel doğruların eğimleri eşit, dik doğruların eğimleri çarpımı −1'dir.
• Doğru denklemi, elindeki bilgiye göre seçilir. Bir nokta ve eğim için y − y₁ = m(x − x₁), eksen kesim noktaları için x/a + y/b = 1, genel biçim için ax + by + c = 0 kullanılır. Genel biçimde eğim −a/b'dir.
• Noktanın doğruya uzaklığı |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²) formülüyle bulunur. Paralel doğrular arası uzaklıkta önce x ve y katsayıları eşitlenir, sonra |c₁ − c₂| / √(a² + b²) uygulanır.
• AYT sınav taktiği: Alan sorularında uzaklık formülü yükseklik bulmak için hızlı bir araçtır. Şıkları eleyerek gitmek için önce eğimin işaretine bak. Doğru yükseliyorsa m pozitiftir. Şıklardan yalnızca bu işarete uyanlar kalır. Bir analitik geometri sorusuna yaklaşık 2-3 dakika ayır ve mutlak değerden gelen iki durumu unutma.
• Sonraki derste (3/8) bu araçları kullanarak kesişim, simetri ve alan problemlerine geçeceğiz.