Noktanın Analitik İncelemesi: İki Nokta Arası Uzaklık, Orta Nokta ve Alan

Tahmini süre: 14 dk

Merhaba, AYT Geometri kursuna hoş geldin! Sekiz derslik bu yolculukta analitik geometriden dörtgenlere, çemberden katı cisimlere kadar AYT'nin geometri konularını birlikte çalışacağız. Hiçbir formülü ezberlemeni istemeyeceğim; her kuralın nereden geldiğini göreceğiz. Nedenini bildiğin bir formülü sınavda unutsan bile birkaç saniyede yeniden kurabilirsin. İlk dersimizde analitik geometrinin temel taşı olan noktayı inceliyoruz.

Günlük hayattan giriş

Telefonundaki harita uygulaması konumunu iki sayıyla tutar: enlem ve boylam. Bir kafeye olan uzaklığı, iki buluşma noktasının tam ortasını ya da bir yolun üçte birlik kısmındaki durağı hesaplarken aslında hep aynı işi yapar: noktaları sayı çiftiyle gösterir ve bu sayılar üzerinde işlem yapar. Analitik geometri tam olarak budur: şekilleri sayılarla konuşturmak.

Bir şehir planı düşün. Sokaklar ızgara gibi dik kesişiyor. Bir evden 3 blok doğuya, 4 blok kuzeye gidiyorsan, kuş uçuşu uzaklığın 3 + 4 = 7 blok değil, 5 bloktur. Neden? Çünkü doğuya ve kuzeye olan hareketin bir dik üçgenin dik kenarlarını, kuş uçuşu yol da hipotenüsü oluşturur. İki nokta arası uzaklık formülü bu gözlemden doğar.

Bir arsayı köşe noktalarının koordinatlarıyla tarif eden bir tapu planında alanı hesaplamak, bir cismin denge noktasını (ağırlık merkezini) bulmak da bu dersin konusu. Bu fikirler ileride doğru, çember ve dörtgen derslerinde sürekli karşına çıkacak; bu yüzden sağlam bir temel atıyoruz.

Tanım ve kural

1) İki nokta arası uzaklık. A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarını düşün. A'dan yatay, B'den dikey birer çizgi çizersen bu çizgiler dik açıyla kesişir ve bir dik üçgen oluşur.

Yatay dik kenarın uzunluğu: |x₂ − x₁|

Dikey dik kenarın uzunluğu: |y₂ − y₁|

Pisagor bağıntısına göre hipotenüs² = (dik kenar)² + (dik kenar)². Kare alınca mutlak değer ve işaret önemsizleşir, bu yüzden:

|AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Özel durum: Bir P(x, y) noktasının orijine uzaklığı √(x² + y²) olur.

2) Orta nokta. Bir doğru parçasının orta noktası, iki ucun tam ortasıdır. Sayı doğrusunda 2 ile 8'in ortası (2 + 8)/2 = 5'tir; yani ortalama alırız. Aynı işi hem x hem y için ayrı ayrı yaparız:

M = ((x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2)

3) Doğru parçasını belli oranda bölen nokta. P noktası [AB] üzerinde ve |AP| / |PB| = m / n olsun. A'dan B'ye giderken toplam yolun m/(m + n) kadarını yürümüş oluruz. Bu yüzden:

P = A + (m/(m + n)) · (B − A)

Bunu düzenlersek:

P = ((n·x₁ + m·x₂)/(m + n) , (n·y₁ + m·y₂)/(m + n))

Dikkat: A'nın katsayısı n, B'nin katsayısı mdir. Mantığı şu: P hangi uca daha yakınsa, o ucun koordinatları sonuçta daha çok ağırlık taşır. m = n = 1 alırsan orta nokta formülünü yeniden elde edersin.

4) Köşeleri bilinen üçgenin alanı. A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) için:

Alan = (1/2) · |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|

Neden? Üçgeni kenarları eksenlere paralel bir dikdörtgenin içine yerleştirip köşelerdeki dik üçgenleri çıkarırsan hep bu ifadeye ulaşırsın. Mutlak değer vardır çünkü köşeleri saat yönünde ya da tersine sıralamana göre işaret değişir; alan ise her zaman pozitiftir. Sonuç 0 çıkarsa üç nokta aynı doğru üzerindedir (doğrusaldır).

5) Ağırlık merkezi. Üçgenin kenarortaylarının kesiştiği G noktası, üç köşenin ortalamasıdır:

G = ((x₁ + x₂ + x₃)/3 , (y₁ + y₂ + y₃)/3)

Neden 3'e bölüyoruz? Çünkü iki noktanın ortası için 2'ye böldüğümüz gibi, üç noktanın dengelendiği yer için üç koordinatın ortalamasını alırız.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: A(1, 2) ve B(4, 6) noktaları arasındaki uzaklık kaçtır?

Çözüm:

x farkı: 4 − 1 = 3

y farkı: 6 − 2 = 4

|AB| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25

|AB| = 5

Örnek 2: A(−2, 5) ve B(6, −1) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası nedir?

Çözüm:

x koordinatı: (−2 + 6)/2 = 4/2 = 2

y koordinatı: (5 + (−1))/2 = 4/2 = 2

M(2, 2)

Örnek 3: [AB]'nin bir ucu A(3, −1), orta noktası M(5, 2) ise B noktası nedir?

Çözüm:

Orta nokta ortalama olduğundan x₁ + x₂ = 2·5 = 10 olur. Buradan x₂ = 10 − 3 = 7.

Aynı şekilde y₁ + y₂ = 2·2 = 4 olur. Buradan y₂ = 4 − (−1) = 5.

Kontrol: (3 + 7)/2 = 5 ve (−1 + 5)/2 = 2. Doğru.

B(7, 5)

Örnek 4: A(2, 1) ve B(11, 7) veriliyor. P noktası [AB] üzerinde ve |AP| / |PB| = 1/2 ise P nedir?

Çözüm:

m = 1, n = 2, m + n = 3. P, A'dan B'ye giden yolun 1/3'ündedir.

B − A = (11 − 2, 7 − 1) = (9, 6)

Bu farkın 1/3'ü: (3, 2)

P = A + (3, 2) = (2 + 3, 1 + 2) = (5, 3)

Formülle kontrol: x = (2·2 + 1·11)/3 = 15/3 = 5; y = (2·1 + 1·7)/3 = 9/3 = 3.

P(5, 3)

Örnek 5: Köşeleri A(1, 1), B(5, 2), C(3, 6) olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Çözüm:

x₁(y₂ − y₃) = 1·(2 − 6) = −4

x₂(y₃ − y₁) = 5·(6 − 1) = 25

x₃(y₁ − y₂) = 3·(1 − 2) = −3

Toplam: −4 + 25 − 3 = 18

Alan = (1/2)·|18| = 9

Kontrol (dikdörtgen yöntemi): Üçgeni içine alan dikdörtgen x'te 1'den 5'e, y'de 1'den 6'ya uzanır; alanı 4·5 = 20. Köşelerde kalan dik üçgenlerin alanları 2, 4 ve 5'tir; toplam 11. 20 − 11 = 9.

Alan = 9 birimkare

Örnek 6: ABC üçgeninde A(−1, 4), B(5, −2) ve ağırlık merkezi G(2, 3) ise C noktası nedir?

Çözüm:

C(a, b) diyelim.

x için: (−1 + 5 + a)/3 = 2, yani 4 + a = 6, a = 2

y için: (4 + (−2) + b)/3 = 3, yani 2 + b = 9, b = 7

C(2, 7)

Örnek 7 (AYT tipi): A(1, k) ve B(4, 2) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim ise k'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:

(4 − 1)² + (2 − k)² = 5²

9 + (2 − k)² = 25

(2 − k)² = 16, yani 2 − k = 4 ya da 2 − k = −4

k = −2 ya da k = 6

Toplam: −2 + 6 = 4

Cevap: 4

Sık yapılan hatalar

• Negatif koordinatla çıkarmada işaret hatası. A(−2, 3), B(4, 1) için yanlış: x farkı = 4 − 2 = 2. Doğrusu: 4 − (−2) = 6.
• Uzaklığı kenarların toplamı sanmak. Yanlış: x farkı 3, y farkı 4 ise uzaklık 7. Doğrusu: √(9 + 16) = 5. Kuş uçuşu yol, dik kenarların toplamı değil hipotenüstür.
• Bölen nokta formülünde ağırlıkları ters koymak. |AP| / |PB| = 1/2 iken yanlış: (1·x₁ + 2·x₂)/3. Doğrusu: (2·x₁ + 1·x₂)/3. P, A'ya daha yakın olduğu için A'nın ağırlığı büyüktür.
• Alan formülünde 1/2'yi ya da mutlak değeri unutmak. Yanlış: toplam −18 çıktı, alan −18 ya da 18. Doğrusu: (1/2)·|−18| = 9.
• Ağırlık merkezinde 2'ye bölmek. Yanlış: (x₁ + x₂ + x₃)/2. Doğrusu: üç köşe olduğu için 3'e bölünür.

AYT taktikleri: Bu konudan gelen sorular genellikle tek adımlı değildir; uzaklık ile orta nokta ya da alan ile doğrusallık birleştirilir. Bir soruya yaklaşık 1-1,5 dakika ayırmayı hedefle. Şık elerken şunları kullan: uzaklık ve alan negatif olamaz; orta nokta mutlaka iki ucun arasında kalır; kabaca bir çizim yapıp noktanın hangi bölgede olduğuna bakmak çoğu zaman iki şıkkı hemen eler. Alan sorularında sonucu dikdörtgen yöntemiyle kontrol etmek hata riskini azaltır. Karekök içeren şıklarda önce kare alıp karşılaştırmak işini hızlandırır.

Alıştırma

1) A(−3, 1) ve B(3, 9) arasındaki uzaklık kaçtır?

2) A(7, −4) ve B(−1, 10) noktalarının orta noktası nedir?

3) [AB]'nin bir ucu A(2, 5), orta noktası M(−1, 3) ise B nedir?

4) A(0, 0), B(10, 5) ve P ∈ [AB] için |AP| / |PB| = 2/3 ise P nedir?

5) Köşeleri O(0, 0), A(6, 0), B(2, 5) olan üçgenin alanı kaçtır?

6) Köşeleri A(−2, 1), B(4, 3), C(1, 7) olan üçgenin alanı kaçtır?

7) Köşeleri A(1, 2), B(7, −1), C(4, 8) olan üçgenin ağırlık merkezi nedir?

8) A(a, 3) ve B(5, −1) için |AB| = 4√2 ise a'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

9) y ekseni üzerinde olup A(2, 3) ve B(4, 1) noktalarına eşit uzaklıkta bulunan nokta hangisidir?

10) A(1, 2), B(3, 6), C(5, k) noktaları aynı doğru üzerinde ise k kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 10 — Farklar 6 ve 8 olduğundan √(36 + 64) = √100 = 10.
• 2) (3, 3) — (7 + (−1))/2 = 3 ve (−4 + 10)/2 = 3.
• 3) B(−4, 1) — x₂ = 2·(−1) − 2 = −4 ve y₂ = 2·3 − 5 = 1.
• 4) P(4, 2) — P, yolun 2/5'inde olduğundan (10, 5)'in 2/5'i olan (4, 2) A'ya eklenir.
• 5) 15 — Taban OA = 6, yükseklik B'nin y koordinatı olan 5; alan 6·5/2 = 15.
• 6) 15 — Formüldeki toplam −2·(3 − 7) + 4·(7 − 1) + 1·(1 − 3) = 8 + 24 − 2 = 30, yarısı 15.
• 7) G(4, 3) — x'ler toplamı 12, y'ler toplamı 9; her biri 3'e bölünür.
• 8) 10 — (5 − a)² + 16 = 32 ise (5 − a)² = 16, a = 1 ya da a = 9; toplam 10.
• 9) (0, −1) — P(0, y) için 4 + (y − 3)² = 16 + (y − 1)² açılınca 13 − 6y = 17 − 2y, yani y = −1.
• 10) 10 — Alan ifadesi 1·(6 − k) + 3·(k − 2) + 5·(2 − 6) = 2k − 20 sıfır olmalı, k = 10.

Dersin özeti

• İki nokta arası uzaklık, koordinat farklarını dik kenar kabul eden bir dik üçgende Pisagor bağıntısıyla bulunur: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
• Orta nokta, uç noktaların koordinatlarının ortalamasıdır; bir uç ve orta nokta biliniyorsa diğer uç 2M − A ile bulunur.
• |AP| / |PB| = m/n ise P, A'dan B'ye giden yolun m/(m + n) kadarındadır; formülde A'nın ağırlığı n, B'nin ağırlığı m'dir.
• Üçgen alanı (1/2)·|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| ile hesaplanır; sonuç 0 ise noktalar doğrusaldır.
• Ağırlık merkezi, üç köşenin koordinat ortalamasıdır: ((x₁ + x₂ + x₃)/3 , (y₁ + y₂ + y₃)/3).