🔢 DGS Sayısal — Üslü-Köklü İfadeler ve Çarpanlara Ayırma

📚 Üslü-Köklü İfadeler ve Çarpanlara Ayırma konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Üslü ve köklü ifadeler, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını ve bunun tersini kısa yoldan yazmanın yoludur. Çarpanlara ayırma ise bir ifadeyi çarpım biçiminde yazıp sadeleştirmeyi sağlar. DGS'nin sayısal bölümünde bu üç konu hem doğrudan sorulur hem de denklem, oran ve problem sorularında işlem aracı olarak karşına çıkar.

Temel bilgiler

• Aynı tabanda çarpma: üsler toplanır. aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Örnek: 2³ × 2⁴ = 2⁷.
• Aynı tabanda bölme: üsler çıkarılır. aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Örnek: 5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25.
• Üssün üssü: üsler çarpılır. Örnek: (2³)² = 2⁶ = 64.
• Sıfır ve negatif üs: a ≠ 0 için a⁰ = 1 ve a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Örnek: 2⁻³ = 1/8.
• Kök dışına çıkarma: tam kare çarpan dışarı çıkar. Örnek: √18 = √(9 × 2) = 3√2.
• Köklerde çarpma: a ve b negatif değilse √a × √b = √(a × b). Örnek: √2 × √8 = √16 = 4.
• Köklerde toplama: yalnız kök içleri aynı olanlar toplanır. Örnek: 3√2 + 5√2 = 8√2.
• Paydayı kökten kurtarma: eşlenikle çarpılır. Örnek: 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/2.
• Ortak çarpan parantezi: Örnek: 6x² + 9x = 3x(2x + 3).
• İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b). Örnek: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
• Tam kare: (a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a − b)² = a² − 2ab + b². Örnek: (x + 3)² = x² + 6x + 9.
• Küp açılımları: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) ve a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Örnek: x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4).

Çözümlü örnek 1

Soru: n bir doğal sayı olmak üzere (2ⁿ⁺³ − 2ⁿ⁺¹) / (2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Her terimde 2ⁿ ortak çarpandır.

• Pay: 2ⁿ⁺³ − 2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ × (2³ − 2¹) = 2ⁿ × 6.
• Payda: 2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ = 2ⁿ × (2 + 1) = 2ⁿ × 3.
• 2ⁿ'ler sadeleşir, geriye 6/3 = 2 kalır.

Denetim: n = 1 alınırsa (16 − 4) / (4 + 2) = 12/6 = 2 çıkar, sonuç tutuyor.

Çözümlü örnek 2

Soru: x = √5 + 2 ve y = √5 − 2 olduğuna göre (x² − y²) / (x × y) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm: Kareleri tek tek açmak yerine iki kare farkını kullan.

• x + y = 2√5 ve x − y = 4.
• x² − y² = (x − y)(x + y) = 4 × 2√5 = 8√5.
• x × y = (√5 + 2)(√5 − 2) = 5 − 4 = 1.
• Sonuç: 8√5 / 1 = 8√5.

Denetim: x² = 9 + 4√5 ve y² = 9 − 4√5 olduğundan farkları 8√5 eder, sonuç doğrudur.

Sık yapılan hatalar

• Parantezi görmemek: −2⁴ ile (−2)⁴ aynı sanılır. Doğrusu: (−2)⁴ = 16, −2⁴ = −16.
• Toplamada üsleri toplamak: 2³ + 2³ = 2⁶ yazılır. Doğrusu: 2³ + 2³ = 2 × 2³ = 2⁴. Üsler yalnız çarpmada toplanır.
• Kökü toplamaya dağıtmak: √(9 + 16) = 3 + 4 yazılır. Doğrusu: √25 = 5.
• Tam karede orta terimi unutmak: (a + b)² = a² + b² yazılır. Doğrusu: a² + 2ab + b².
• √(x²) = x yazmak: Doğrusu √(x²) = |x|. Örnek: √((−3)²) = 3.

Sınavda nasıl sorulur?

• İşlem sorusu: üslü ya da köklü bir ifadenin değeri istenir. Önce tabanları asal çarpanlarına çevir (4 = 2², 8 = 2³, 9 = 3²), sonra ortak çarpan parantezine al.
• Sıralama sorusu: √7, 2√2, 3 gibi sayılar karşılaştırılır. Hepsini kök içine al: √7, √8, √9.
• Üslü denklem: 3ˣ⁺¹ = 27 gibi. Tabanları eşitle, üsleri eşitle: x + 1 = 3, x = 2.
• Verilenden isteneni bulma: x + y ve x × y verilir, x² + y² sorulur. Özdeşlik kullan: x² + y² = (x + y)² − 2xy. Sayıları tek tek bulmaya çalışma.
• Sadeleştirme: kesirli cebirsel ifadede pay ve paydayı çarpanlarına ayır, sonra sadeleştir.
• Dikkat: işaretlere, parantezlere ve paydayı sıfır yapan değerlere bak.
• Süre: bu tip bir soruya bir ile bir buçuk dakika yeter. İki dakikayı geçtiysen işaretle, sonra dön.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.