🔢 DGS Sayısal — Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık

📚 Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Permütasyon, kombinasyon ve olasılık; sayma ve şans hesabıdır: bir işin kaç farklı biçimde yapılabileceğini ve bir olayın gerçekleşme payını buluruz. DGS'nin sayısal bölümünde bu konu, formül ezberinden çok düzenli düşünmeyi ölçer. Kuralları bilen ve soruyu dikkatle okuyan öğrenci bu soruları kısa sürede çözer.

Temel bilgiler

• Çarpma kuralı: Art arda yapılan işlerin seçenek sayıları çarpılır. 3 gömlek ve 4 pantolonla 3 × 4 = 12 farklı kıyafet olur.
• Toplama kuralı: "Ya da" ile ayrılan, birlikte olamayan durumlar toplanır. Bir kente 3 otobüs ya da 2 tren seferiyle 3 + 2 = 5 yoldan gidilir.
• Faktöriyel: n! = n × (n−1) × … × 1. Örnek: 5! = 120. Ayrıca 0! = 1 kabul edilir.
• Permütasyon (sıralama): Sıra önemlidir. P(n, r) = n! / (n−r)!. 5 kişiden başkan ve yardımcı seçimi P(5, 2) = 5 × 4 = 20 yolla yapılır.
• Kombinasyon (seçme): Sıra önemsizdir. C(n, r) = n! / (r! × (n−r)!). 5 kişiden 2 kişilik ekip C(5, 2) = 10 yolla seçilir. Ayrıca C(n, r) = C(n, n−r) olur.
• Tekrarlı permütasyon: Aynı olan nesnelerin faktöriyeline bölünür. ARABA sözcüğünün harfleri 5! / 3! = 20 farklı biçimde dizilir.
• Dairesel sıralama: n kişi yuvarlak masaya (n−1)! yolla oturur. 5 kişi için 4! = 24.
• Olasılık: İstenen durum sayısı ÷ tüm durum sayısı. Sonuç 0 ile 1 arasındadır. Bir zarda asal sayı gelme olasılığı 3/6 = 1/2 olur.
• Tümleyen: Bir olayın olmama olasılığı 1 − olma olasılığıdır. Zarda 6 gelmeme olasılığı 1 − 1/6 = 5/6.
• Bağımsız olaylar: Olasılıklar çarpılır. İki madenî paranın ikisinin de yazı gelme olasılığı 1/2 × 1/2 = 1/4.

Çözümlü örnek 1

Soru: 5 mühendis ve 4 teknikerin bulunduğu bir gruptan 3 kişilik bir ekip kurulacaktır. Ekipte en az bir tekniker bulunması koşuluyla kaç farklı ekip kurulabilir?

• Ekipte sıra önemli değildir; kombinasyon kullanırız.
• Koşulsuz tüm ekipler: C(9, 3) = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 84.
• Hiç tekniker olmayan ekipler, yalnız mühendislerden kurulur: C(5, 3) = 10.
• En az bir teknikerli ekipler: 84 − 10 = 74.

Denetim: Tek tek sayarsak 1 teknikerli 4 × C(5, 2) = 40, 2 teknikerli C(4, 2) × 5 = 30, 3 teknikerli C(4, 3) = 4 ekip vardır; 40 + 30 + 4 = 74 eder, sonuç tutuyor.

Çözümlü örnek 2

Soru: Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi ve 2 yeşil bilye vardır. Torbadan geri atılmadan art arda 2 bilye çekiliyor. Çekilen iki bilyenin aynı renkte olma olasılığı kaçtır?

• Tüm durumlar: 9 bilyeden 2 bilye, C(9, 2) = 36.
• İkisi de kırmızı: C(4, 2) = 6.
• İkisi de mavi: C(3, 2) = 3.
• İkisi de yeşil: C(2, 2) = 1.
• İstenen durumlar: 6 + 3 + 1 = 10.
• Olasılık: 10/36 = 5/18.

Denetim: Farklı renkli çekilişler 4 × 3 + 4 × 2 + 3 × 2 = 26 tanedir; 10 + 26 = 36 ettiği için hiçbir durum eksik ya da fazla sayılmamıştır.

Sık yapılan hatalar

• Sıranın önemsiz olduğu yerde permütasyon kullanmak. Ekip, kurul, grup seçiminde kombinasyon; görev, sıra, şifre, dizilişte permütasyon kullanılır.
• "Ve" ile "ya da"yı karıştırmak. Birlikte yapılan işler çarpılır, ayrı durumlar toplanır.
• "En az bir" sorularında durumları tek tek sayıp birini unutmak. Doğrusu, tümünden "hiç olmayan" durumu çıkarmaktır.
• Geri atılmadan çekilişte paydayı sabit tutmak. Her çekilişte hem toplam hem ilgili renk bir azalır.
• Sayıların basamaklarında 0'ı başa yazmak. Yüzler basamağına 0 gelemez; önce kısıtlı basamak doldurulur.

Sınavda nasıl sorulur?

• Rakamlarla sayı yazma: tek, çift, rakamları farklı, belli bir sayıdan büyük gibi koşullar eklenir.
• Sözcük ve kişi dizilişleri: belli iki kişi yan yana olsun ya da olmasın koşulu sık görülür. Yan yana olanlar tek kişi gibi düşünülür.
• Koşullu ekip seçimi: "en az", "en çok", "belli biri mutlaka olsun" ifadelerinin altını çiz.
• Torba, zar ve para olasılıkları: "geri atılarak" mı "geri atılmadan" mı, önce buna bak.
• Soruyu okurken kendine iki şey sor: sıra önemli mi, tekrar var mı?
• Sonucu sadeleştirmeyi unutma; olasılık 1'den büyük çıkarsa mutlaka hata vardır.
• Bir soruya bir buçuk, en çok iki dakika ayır. İki dakikada yol bulamadıysan işaretle, geç ve sona bırak.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.