🔢 DGS Sayısal — Kümeler, Fonksiyon, İşlem, Modüler Aritmetik

📚 Kümeler, Fonksiyon, İşlem, Modüler Aritmetik konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Kümeler, fonksiyon, işlem ve modüler aritmetik; nesneleri gruplamayı, bir kurala göre eşlemeyi ve kalanlarla hesap yapmayı öğretir. Dikey Geçiş Sınavı'nın sayısal bölümünde bu başlıklardan düzenli olarak soru gelir. Kuralları az, işlemi kısadır; iyi çalışan öğrenci buradan kolay net çıkarır.

Temel bilgiler

• Alt küme sayısı: n elemanlı bir kümenin 2ⁿ alt kümesi vardır. A = {a, b, c} için 2³ = 8 alt küme bulunur.
• Birleşimin eleman sayısı: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B). s(A) = 12, s(B) = 9, s(A ∩ B) = 4 ise birleşim 12 + 9 − 4 = 17 elemanlıdır.
• Fark kümesi: A − B, A'da olup B'de olmayan elemanlardır. A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} ise A − B = {1, 2} olur.
• Fonksiyonda değer bulma: x yerine verilen sayı yazılır. f(x) = 2x + 1 ise f(3) = 2×3 + 1 = 7 olur.
• Bileşke fonksiyon: (f∘g)(x) = f(g(x)) demektir; önce içteki hesaplanır. f(x) = 2x + 1, g(x) = x − 2 ise (f∘g)(5) = f(3) = 7 olur.
• Ters fonksiyon: f(a) = b ise f⁻¹(b) = a olur. f(x) = 2x + 1 için f(3) = 7 olduğundan f⁻¹(7) = 3 bulunur.
• İşlem: Soruda tanımlanan kural aynen uygulanır. a ∆ b = 2a + b ise 3 ∆ 4 = 2×3 + 4 = 10 olur.
• Birim eleman: Her a için a ∆ e = e ∆ a = a eşitliğini sağlayan e sayısıdır. Toplamada birim eleman 0, çarpmada 1'dir.
• Denklik: m ile bölündüğünde aynı kalanı veren sayılar denktir. 17 ile 2'nin 5'e bölümünden kalanı 2'dir; 17 ≡ 2 (mod 5) yazılır.
• Gün hesabı: Günler 7'de bir tekrar eder. Bugün salı ise 100 gün sonrası için 100 = 7×14 + 2 yazılır; salıdan 2 gün sonrası perşembedir.

Çözümlü örnek 1

Soru: 40 kişilik bir sınıfta 22 kişi İngilizce, 15 kişi Almanca biliyor. 8 kişi bu iki dilden hiçbirini bilmiyor. İki dili de bilen kaç kişidir?

• En az bir dil bilenleri bulalım: 40 − 8 = 32 kişi.
• İki dili de bilenlere x diyelim. Birleşim kuralı: 22 + 15 − x = 32.
• 37 − x = 32 olduğundan x = 5 bulunur.

Denetim: Yalnız İngilizce bilen 17, yalnız Almanca bilen 10, ikisini bilen 5, hiçbirini bilmeyen 8 kişidir; toplam 17 + 10 + 5 + 8 = 40 eder, sonuç doğrudur.

Çözümlü örnek 2

Soru: 3⁵⁰ sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

• 3'ün kuvvetlerinin 7'ye göre kalanlarını sırayla yazalım: 3¹ ≡ 3, 3² ≡ 2, 3³ ≡ 6, 3⁴ ≡ 4, 3⁵ ≡ 5, 3⁶ ≡ 1.
• Kalan 1 olduğunda döngü tamamlanır. Kalanlar 6 adımda bir tekrar eder.
• Üssü 6'ya bölelim: 50 = 6×8 + 2. Kalan 2'dir.
• Öyleyse 3⁵⁰ ≡ 3² ≡ 2 (mod 7) olur. Cevap 2'dir.

Denetim: 3⁶ = 729 = 7×104 + 1 olduğundan kalan gerçekten 1'dir; 3⁴⁸ de 1 kalanı verir ve geriye 3² = 9 kalır, 9'un 7'ye bölümünden kalan 2'dir.

Sık yapılan hatalar

• Birleşimde kesişimi çıkarmamak. Ortak elemanlar iki kez sayılır; doğrusu s(A) + s(B) − s(A ∩ B) yazmaktır.
• "Hiçbirini bilmeyen" kişileri birleşimin içine katmak. Doğrusu, önce onları toplamdan çıkarmaktır.
• Bileşkede sırayı karıştırmak. (f∘g)(x) için önce g, sonra f uygulanır; f(g(x)) ile g(f(x)) genellikle farklıdır.
• İşlem sorularında a ile b'nin yerini değiştirmek. a ∆ b = 2a + b ise 3 ∆ 4 = 10, 4 ∆ 3 = 11 olur; sıra korunmalıdır.
• Kuvvet sorusunda üssü mod sayısına bölmek. Doğrusu, üssü döngü uzunluğuna bölmektir; yukarıdaki örnekte 7'ye değil 6'ya böldük.

Sınavda nasıl sorulur?

• Kümelerde çoğunlukla iki ya da üç kümeli, sözel anlatımlı problemler gelir. Şema çizmek ve en içteki bölgeden başlamak işi kolaylaştırır.
• Fonksiyonda değer bulma, bileşke ve ters fonksiyon sorulur. Verilen eşitlikte x yerine uygun sayıyı koymak çoğu soruyu çözer.
• İşlem sorularında kural ya formülle ya da tabloyla verilir. Tanımı aynen uygulamak, kendi bildiğiniz dört işlemle karıştırmamak gerekir.
• Modüler aritmetikte kuvvetin kalanı, gün ve saat hesabı öne çıkar. Döngüyü bulmadan işleme girişmeyin.
• "En az", "en çok", "yalnız", "en az biri" sözcüklerinin altını çizin; soru çoğu zaman bu sözcükte döner.
• Bu konuların sorularına ortalama bir buçuk dakika ayırmak yeterlidir. İki dakikayı geçen soruyu işaretleyip sona bırakın.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.