🔢 DGS Sayısal — Denklem, Eşitsizlik, Mutlak Değer

📚 Denklem, Eşitsizlik, Mutlak Değer konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Denklem, eşitsizlik ve mutlak değer, bilinmeyeni bulma ve bir sayının hangi aralıkta olduğunu belirleme işidir. Dikey Geçiş Sınavı'nın sayısal bölümünde bu konu hem doğrudan sorulur hem de problemlerin ve fonksiyon sorularının altyapısını oluşturur. Kuralları azdır, ama işaret hatası çok yapılır.

Temel bilgiler

• Birinci dereceden denklem: Bilinmeyen bir tarafta yalnız bırakılır. Örnek: 3x − 5 = 16 ise 3x = 21, x = 7.
• Eşitsizlikte yön: İki taraf negatif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse yön değişir. Örnek: −2x < 6 ise x > −3.
• Eşitsizlikleri toplama: Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanır, çıkarılmaz. Örnek: 1 < x < 4 ve 2 < y < 5 ise 3 < x + y < 9.
• Kare alma: Aralık sıfırı içeriyorsa karenin en küçük değeri 0 olur. Örnek: −3 < x < 2 ise 0 ≤ x² < 9.
• Mutlak değerin anlamı: Sayının sıfıra uzaklığıdır, negatif olamaz. Örnek: |−5| = 5. |a − b| ise a ile b arasındaki uzaklıktır.
• Mutlak değerli denklem: a > 0 iken |x| = a ise x = a ya da x = −a. Örnek: |x − 2| = 5 ise x = 7 ya da x = −3.
• Küçüktür tipi: |x| < a ise −a < x < a. Örnek: |x − 1| < 3 ise −2 < x < 4.
• Büyüktür tipi: |x| > a ise x > a ya da x < −a. Örnek: |x| > 4 ise x > 4 ya da x < −4.
• Negatife eşit olamaz: |x + 1| = −2 denkleminin çözümü yoktur.

Çözümlü örnek 1

Soru: |2x − 3| ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?

• Küçüktür tipidir, ifade iki sınır arasına alınır: −7 ≤ 2x − 3 ≤ 7.
• Her tarafa 3 eklenir: −4 ≤ 2x ≤ 10.
• Her taraf 2'ye bölünür: −2 ≤ x ≤ 5.
• Tam sayılar: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
• −2, −1, 0, 1, 2 birbirini götürür, toplamı 0'dır. Geriye 3 + 4 + 5 = 12 kalır.

Denetim: x = 5 için |7| = 7 sağlar, x = 6 için |9| = 9 sağlamaz; x = −2 için |−7| = 7 sağlar, x = −3 için |−9| = 9 sağlamaz. Cevap 12'dir.

Çözümlü örnek 2

Soru: x ve y gerçel sayılardır. −2 < x < 3 ve 1 < y < 4 olduğuna göre 2x − 3y ifadesi kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

• Önce 2x bulunur: −4 < 2x < 6.
• Sonra −3y bulunur. Negatifle çarpıldığı için yön değişir: −12 < −3y < −3.
• İki eşitsizlik taraf tarafa toplanır: −16 < 2x − 3y < 3.
• Uçlar dahil değildir. Tam sayılar −15'ten 2'ye kadardır.
• Sayısı: 2 − (−15) + 1 = 18.

Denetim: En küçük sınır x = −2 ve y = 4 ile −4 − 12 = −16, en büyük sınır x = 3 ve y = 1 ile 6 − 3 = 3 çıkar; ikisi de alınamaz, aradaki 18 tam sayı alınır.

Sık yapılan hatalar

• Yönü değiştirmemek: −3x > 12 için x > −4 yazmak yanlıştır. Doğrusu x < −4'tür.
• Eşitsizlikleri çıkarmak: x − y aranırken taraf tarafa çıkarma yapılmaz. Doğrusu, y'nin eşitsizliği −1 ile çarpılır, yön değiştirilir, sonra toplanır.
• Kare alırken uçların karesini almak: −3 < x < 2 için 4 < x² < 9 yazmak yanlıştır. Doğrusu 0 ≤ x² < 9'dur.
• Mutlak değerde tek kök bulmak: |x − 2| = 5 için yalnız x = 7 demek eksiktir. x = −3 de köktür.
• Uçları saymak ya da unutmak: < ile ≤ karıştırılır. Tam sayı sayarken uçların dahil olup olmadığına bakılmalıdır.

Sınavda nasıl sorulur?

• Tam sayı sayma ve toplama: Bir eşitsizliği sağlayan tam sayıların sayısı ya da toplamı istenir.
• Aralık bulma: x ve y'nin aralıkları verilir, bir ifadenin en büyük ya da en küçük tam sayı değeri sorulur.
• Mutlak değerli denklem: Köklerin toplamı ya da çarpımı istenir.
• Sıralama: a, b, c arasında verilen bilgilere göre doğru sıralama aranır. Bu tipte uygun sayılar deneyerek şık elemek işe yarar.
• Dikkat edilecekler: "Tam sayı" mı "gerçel sayı" mı dendiğine bakın. Sorunun x'i mi yoksa bir ifadenin değerini mi istediğini okuyun. Bulduğunuz değeri yerine koyup deneyin.
• Süre: Bu konudan bir soruya bir ile bir buçuk dakika ayırmak uygundur. İki dakikayı geçen soruyu işaretleyip sonraya bırakın.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.