🔢 DGS Sayısal — Geometri

📚 Geometri konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Geometri; açı, uzunluk ve alan ilişkilerini inceleyen konudur. DGS'de Sayısal bölümün sonunda yer alır ve çoğu soru birkaç temel kuralın doğru uygulanmasıyla çözülür. Kuralları bilen ve şekli dikkatle okuyan öğrenci bu sorulardan kısa sürede net çıkarır.

Temel bilgiler

• Üçgende iç açılar: Toplamı 180° eder. İki açı 50° ve 60° ise üçüncüsü 70° olur.
• Dış açı: Kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. İç açılar 40° ve 65° ise üçüncü köşedeki dış açı 105° olur.
• Üçgen eşitsizliği: Bir kenar, diğer ikisinin farkından büyük, toplamından küçüktür. Kenarlar 4 ve 7 ise üçüncü kenar 3 ile 11 arasındadır.
• Pisagor bağıntısı: Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Sık çıkan üçlüler: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.
• Özel üçgenler: 30°-60°-90° üçgeninde kenarlar 1, √3, 2 ile orantılıdır. 45°-45°-90° üçgeninde 1, 1, √2 ile orantılıdır.
• Üçgenin alanı: Taban × yükseklik ÷ 2. Taban 10, yükseklik 6 ise alan 30 olur.
• Eşkenar üçgen: Kenarı a ise alanı a²√3/4 olur. Kenar 4 ise alan 4√3 eder.
• Dikdörtgen ve kare: Dikdörtgenin alanı kenarların çarpımıdır. Karenin köşegeni a√2 olur; kenar 5 ise köşegen 5√2 eder.
• Çember ve daire: Çevre 2πr, alan πr². Yarıçap 3 ise çevre 6π, alan 9π olur.
• Benzerlik: Benzerlik oranı k ise alanlar oranı k² olur. Kenarlar 2 katına çıkarsa alan 4 katına çıkar.
• Çokgende iç açılar toplamı: (n − 2) × 180°. Altıgende 4 × 180° = 720° eder.
• İki nokta arası uzaklık: Koordinat farklarının kareleri toplamının kareköküdür. (1, 2) ile (4, 6) arası √(3² + 4²) = 5 olur.

Çözümlü örnek 1

Soru: Bir dik üçgenin dik kenarları 6 cm ve 8 cm'dir. Bu üçgende hipotenüse ait yükseklik kaç cm'dir?

• Önce hipotenüsü bulalım: 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Hipotenüs √100 = 10 cm olur.
• Alanı dik kenarlardan hesaplayalım: 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm².
• Aynı alanı hipotenüs ve ona ait yükseklikle yazalım: 10 × h ÷ 2 = 24.
• Buradan 5h = 24, h = 24/5 = 4,8 cm bulunur.

Denetim: 10 × 4,8 ÷ 2 = 24 eder, bu da dik kenarlardan bulduğumuz alanla aynıdır.

Çözümlü örnek 2

Soru: Bir kenarı 10 cm olan karenin içine, dört kenara da teğet olan bir daire çiziliyor. Karenin içinde, dairenin dışında kalan bölgenin alanı kaç cm²'dir?

• Karenin alanı 10² = 100 cm² olur.
• Daire dört kenara teğet olduğu için çapı karenin kenarına eşittir. Çap 10 cm, yarıçap 5 cm'dir.
• Dairenin alanı π × 5² = 25π cm² olur.
• Aradaki bölge: 100 − 25π cm².

Denetim: π yaklaşık 3,14 alınırsa 25π yaklaşık 78,5 eder. Kalan alan yaklaşık 21,5 cm² olur; kareden küçük ve pozitif olduğu için sonuç mantıklıdır.

Sık yapılan hatalar

• Çapı yarıçap sanmak: Soruda çap verilmişse alan formülüne yazmadan önce ikiye bölünmelidir.
• Pisagor'u her üçgende kullanmak: Bağıntı yalnız dik üçgende geçerlidir. Dik açı işareti ya da bilgisi yoksa kullanılmaz.
• Yüksekliği yanlış kenarla eşlemek: Alan hesabında yükseklik, hangi kenara inmişse o kenarla çarpılır.
• Benzerlik oranını alana aynen taşımak: Kenar oranı 1/3 ise alan oranı 1/3 değil, 1/9 olur.
• Şekle göz kararı güvenmek: Şekiller ölçekli çizilmeyebilir. Yalnız verilen bilgiler ve işaretler kullanılır.

Sınavda nasıl sorulur?

• Açı soruları: Üçgende ve paralel doğrularda bilinmeyen açı istenir. İç açı toplamı ve dış açı kuralı çoğu zaman yeter.
• Uzunluk soruları: Dik üçgen, özel üçgen ve benzerlik üzerinden kenar bulunur. Özel üçlüleri tanımak işlemi kısaltır.
• Alan soruları: Taralı bölge sorulur. Genellikle büyük şeklin alanından küçük şeklin alanı çıkarılır.
• Koordinat soruları: İki nokta arası uzaklık, orta nokta ya da eksenlerle oluşan şeklin alanı istenir.
• Dikkat: Verilenleri şeklin üzerine yaz. İstenenin uzunluk mu, alan mı, çevre mi olduğunu son kez oku. Birimleri karıştırma.
• Süre: Bir soruya ortalama bir buçuk dakika ayır. İki dakikada yol bulamadıysan işaretle, geç ve sonra dön.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.