🔢 DGS Sayısal — Temel Kavramlar, Sayılar, Bölünebilme

📚 Temel Kavramlar, Sayılar, Bölünebilme konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Temel kavramlar, sayıların türlerini, basamak yapısını ve bir sayının başka bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini inceler. DGS'nin sayısal bölümünde bu konu hem doğrudan sorulur hem de problem, denklem ve üslü sayı sorularının altyapısını oluşturur. Buradaki kuralları sağlam bilen öğrenci, sonraki konularda da hız kazanır.

Temel bilgiler

• Sayı kümeleri: Doğal sayılar 0'dan başlar, sayma sayıları 1'den başlar. Tam sayılar negatifleri de içerir. Örnek: 0 bir doğal sayıdır ama sayma sayısı değildir.
• Tek ve çift sayılar: Çift sayılar 2n, tek sayılar 2n + 1 biçimindedir. Tek + tek = çift, tek × tek = tek, çift × herhangi bir tam sayı = çift. Örnek: 7 + 9 = 16, 7 × 9 = 63.
• Asal sayılar: 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayılardır. En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayıdır. Örnek: 2, 3, 5, 7, 11.
• Ardışık sayılar: 1'den n'ye kadar olan sayıların toplamı n(n + 1)/2 ile bulunur. Örnek: 1 + 2 + … + 20 = 20 × 21/2 = 210.
• Basamak çözümleme: İki basamaklı AB sayısı 10A + B demektir. Örnek: AB + BA = 11(A + B).
• Bölme işlemi: Bölünen = bölen × bölüm + kalan. Kalan, bölenden küçük olmalıdır. Örnek: 47 = 6 × 7 + 5.
• 2, 5 ve 10 ile bölünebilme: Son basamağa bakılır. Son basamak çiftse 2'ye, 0 ya da 5 ise 5'e, 0 ise 10'a bölünür. Örnek: 3470 üçüne de bölünür.
• 3 ve 9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 3'ün katıysa 3'e, 9'un katıysa 9'a bölünür. Örnek: 5112 için 5 + 1 + 1 + 2 = 9, sayı ikisine de bölünür.
• 4 ile bölünebilme: Son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'ün katı olmalıdır. Örnek: 7316 bölünür, çünkü 16 = 4 × 4.
• 11 ile bölünebilme: Rakamlar sağdan başlayarak +, −, +, − diye işaretlenir. Toplam 0 ya da 11'in katıysa sayı 11'e bölünür. Örnek: 2728 için 8 − 2 + 7 − 2 = 11.
• Bileşik bölenler: Sayı, aralarında asal çarpanlara ayrılır. 6 için 2 ve 3, 12 için 3 ve 4, 45 için 5 ve 9 kurallarına bakılır. Örnek: 5112 hem 3'e hem 4'e bölünür, öyleyse 12'ye de bölünür.

Çözümlü örnek 1

Soru: Dört basamaklı 5A2B sayısı 45 ile tam bölünmektedir. A'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm: 45 = 5 × 9 ve bu iki sayı aralarında asaldır. Sayı hem 5'e hem 9'a bölünmelidir.

• 5 kuralı: B = 0 ya da B = 5 olmalıdır.
• B = 0 ise rakamlar toplamı 5 + A + 2 + 0 = 7 + A olur. 9'un katı olması için A = 2 olmalıdır.
• B = 5 ise rakamlar toplamı 12 + A olur. 9'un katı olması için A = 6 olmalıdır.
• A'nın değerleri 2 ve 6'dır. Toplam 2 + 6 = 8.

Denetim: 5220 = 45 × 116 ve 5625 = 45 × 125 olduğundan iki sayı da 45'e tam bölünür, sonuç 8'dir.

Çözümlü örnek 2

Soru: Bir x doğal sayısı 9 ile bölündüğünde 5 kalanını veriyor. Buna göre 4x + 7 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: Kalan sorularında sayının yerine kalanı yazılabilir.

• x yerine 5 koyulur: 4 × 5 + 7 = 27.
• 27'nin 9 ile bölümünden kalan bulunur: 27 = 9 × 3 + 0.
• Kalan 0'dır.

Denetim: x = 14 seçilirse 14 = 9 × 1 + 5 koşulu sağlanır ve 4 × 14 + 7 = 63 = 9 × 7 olur, kalan gerçekten 0'dır.

Sık yapılan hatalar

• 1'i asal saymak. Doğrusu: 1 asal değildir, en küçük asal sayı 2'dir.
• 0'ı unutmak. Doğrusu: 0 çift bir doğal sayıdır, ama pozitif ya da negatif değildir.
• Rakam ile sayıyı karıştırmak. Doğrusu: rakamlar 0'dan 9'a kadardır ve çok basamaklı bir sayının ilk basamağı 0 olamaz.
• Kalanı bölenden büyük bırakmak. Doğrusu: kalan bölenden büyük ya da ona eşit çıkarsa yeniden bölünür. 9'a bölümde 14 bulunduysa kalan 5'tir.
• "Farklı" sözcüğünü atlamak. Doğrusu: soru "birbirinden farklı rakamlar" diyorsa A = B olan durumlar elenir.

Sınavda nasıl sorulur?

• Bilinmeyen rakamlı sayılar: 5A2B gibi bir sayının belli bir sayıya bölünmesi istenir. Önce son basamağı belirleyen kural uygulanır, sonra rakamlar toplamına geçilir.
• Kalan soruları: Bir sayının kalanı verilir, o sayıya bağlı bir ifadenin kalanı sorulur.
• Tek-çift ve işaret yorumları: "Hangisi her zaman çifttir?" gibi sorularda küçük sayılar deneyerek sonuca gidilir.
• Basamak çözümleme: AB ve BA gibi sayıların toplamı ya da farkı üzerinden denklem kurulur.
• Dikkat edilecekler: "Tam sayı", "doğal sayı", "pozitif", "farklı", "en az", "en çok" sözcüklerinin altını çiz. Sorunun değeri mi, değerlerin toplamını mı, kaç farklı değer olduğunu mu istediğine bak.
• Süre: Bu konunun sorularına ortalama 1-1,5 dakika ayır. İki dakikayı geçen soruyu işaretleyip sonraya bırak.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.