🔢 ALES Sayısal — Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık

📚 Permütasyon, Kombinasyon, Olasılık konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Permütasyon, kombinasyon ve olasılık, bir işin kaç farklı biçimde yapılabileceğini ve bir olayın gerçekleşme şansını sayarak bulmayı öğretir. ALES'in sayısal bölümünde bu konu genellikle kısa bir hikâye içinde sorulur: komisyon seçimi, sıralama, torbadan top çekme. Formül azdır; asıl iş, sorunun sıralama mı yoksa seçme mi istediğini doğru okumaktır.

Temel bilgiler

• Çarpma kuralı: Art arda yapılan işlerin seçenek sayıları çarpılır. 3 gömlek ve 4 pantolonla 3 × 4 = 12 farklı giyim olur.
• Toplama kuralı: "Ya o ya bu" durumlarında, ortak eleman yoksa sayılar toplanır. 3 romandan ya da 4 şiir kitabından bir kitap 3 + 4 = 7 yolla seçilir.
• Faktöriyel: n! = n × (n−1) × … × 1 demektir ve n farklı nesnenin sıralanış sayısıdır. 5! = 120 ve 0! = 1'dir.
• Permütasyon (sıra önemli): P(n, r) = n! / (n−r)! formülüyle bulunur. 5 kişiden başkan ve yardımcı P(5, 2) = 5 × 4 = 20 yolla seçilir.
• Tekrarlı permütasyon: Aynı nesneler varsa, toplam faktöriyel tekrar edenlerin faktöriyeline bölünür. ARABA sözcüğünün harfleri 5! / 3! = 20 farklı biçimde dizilir.
• Kombinasyon (sıra önemsiz): C(n, r) = n! / (r! × (n−r)!) formülüyle bulunur. 5 kişiden 2 kişilik ekip C(5, 2) = 10 yolla kurulur. Ayrıca C(n, r) = C(n, n−r) olur.
• Olasılık: İstenen durum sayısı ÷ tüm durum sayısı. Sonuç 0 ile 1 arasındadır. Bir zarda asal sayı gelme olasılığı 3/6 = 1/2'dir.
• Tümleyen: Bir olayın olmama olasılığı 1 − P(A) olur. İki parada en az bir yazı gelme olasılığı 1 − 1/4 = 3/4'tür.
• Bağımsız olaylar: Birbirini etkilemeyen olayların olasılıkları çarpılır. İki zarın ikisinin de 6 gelme olasılığı 1/6 × 1/6 = 1/36'dır.

Çözümlü örnek 1

Soru: Bir bölümde 5 kadın ve 4 erkek araştırma görevlisi vardır. Bu kişiler arasından, içinde en az bir erkek bulunan 3 kişilik bir komisyon kaç farklı biçimde seçilebilir?

Çözüm:

• Komisyonda sıra yoktur, bu yüzden kombinasyon kullanırız.
• Koşulsuz tüm seçimler: C(9, 3) = (9 × 8 × 7) / (3 × 2 × 1) = 84.
• İstenmeyen durum hiç erkek olmamasıdır, yani üçü de kadındır: C(5, 3) = 10.
• İstenen sayı: 84 − 10 = 74.

Denetim: Tek tek sayarsak 1 erkekli 4 × C(5, 2) = 40, 2 erkekli C(4, 2) × 5 = 30, 3 erkekli C(4, 3) = 4 seçim vardır; toplam 40 + 30 + 4 = 74 eder ve sonuç tutar.

Çözümlü örnek 2

Soru: Bir torbada 4 kırmızı, 3 mavi ve 2 sarı top vardır. Torbadan geri bırakılmadan rastgele 2 top çekiliyor. Çekilen topların aynı renkte olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

• Tüm durumlar: 9 toptan 2 top C(9, 2) = 36 yolla çekilir.
• İkisi de kırmızı: C(4, 2) = 6.
• İkisi de mavi: C(3, 2) = 3.
• İkisi de sarı: C(2, 2) = 1.
• İstenen durumlar: 6 + 3 + 1 = 10.
• Olasılık: 10/36 = 5/18.

Denetim: Farklı renkli çekimler 4 × 3 + 4 × 2 + 3 × 2 = 26 tanedir; 26 + 10 = 36 ettiği için sayım eksiksizdir ve sonuç 5/18'dir.

Sık yapılan hatalar

• Sıralama ile seçmeyi karıştırmak: Ekip, komisyon, grup seçiminde permütasyon kullanılmaz. Görevler farklıysa (başkan, sekreter) permütasyon, görev ayrımı yoksa kombinasyon kullanılır.
• "En az bir" sorusunda tek durumu saymak: Yalnız "bir tane" olanı bulup bırakmak yanlıştır. Doğrusu, tüm durumlardan "hiç olmayan" durumu çıkarmaktır.
• Geri bırakmayı gözden kaçırmak: Top geri konmuyorsa ikinci çekimde hem toplam hem ilgili renk bir azalır. Geri konuyorsa sayılar değişmez.
• Toplama ile çarpmayı karıştırmak: "Ve" ile bağlanan adımlar çarpılır, "ya da" ile ayrılan durumlar toplanır.
• Özdeş nesneleri farklı saymak: Tekrar eden harf ya da nesne varsa, tekrar sayısının faktöriyeline bölmek gerekir.

Sınavda nasıl sorulur?

• Soru tipleri: Kişi seçme, yan yana ya da yuvarlak masada sıralama, rakamlarla sayı yazma, sözcük harflerini dizme, torba, zar ve para soruları öne çıkar.
• Koşul sözcükleri: "En az", "en çok", "yan yana", "farklı", "geri bırakılmadan" sözcüklerinin altını çiz. Sorunun bütün yükünü bunlar taşır.
• Sayı yazma soruları: Rakamların tekrar edip etmeyeceğine ve sıfırın başa gelemeyeceğine bak.
• Olasılık soruları: Önce tüm durumları, sonra istenen durumları say. Kesri en sade hâle getir.
• Süre: Bir soruya ortalama bir buçuk dakika ayır. İki dakikayı geçen soruyu işaretle, sona bırak.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.