🔢 ALES Sayısal — Kümeler, Fonksiyon, İşlem

📚 Kümeler, Fonksiyon, İşlem konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Kümeler, fonksiyon ve işlem; nesneleri gruplamayı, bir kuralı uygulamayı ve tanımlanan yeni bir işlemi takip etmeyi ölçen konulardır. ALES Sayısal bölümünde bu konular az formül, çok dikkat ister. Kuralı doğru okuyan öğrenci bu soruları kısa sürede çözer.

Temel bilgiler

• Alt küme sayısı: n elemanlı bir kümenin 2ⁿ alt kümesi vardır. Örnek: A = {a, b, c} için 2³ = 8 alt küme, 8 − 1 = 7 öz alt küme vardır.
• Birleşimin eleman sayısı: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B). Örnek: s(A) = 7, s(B) = 5, s(A ∩ B) = 2 ise s(A ∪ B) = 10 olur.
• Fark kümesi: A − B, A'da olup B'de olmayan elemanlardır. s(A − B) = s(A) − s(A ∩ B). Örnek: yukarıdaki kümelerde s(A − B) = 7 − 2 = 5.
• Fonksiyon: Her x değerine tek bir sonuç veren kuraldır. Örnek: f(x) = 2x + 1 ise f(3) = 7.
• Bileşke: (f∘g)(x) = f(g(x)). Önce içteki g uygulanır. Örnek: f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² ise (f∘g)(2) = f(4) = 9.
• Ters fonksiyon: f(a) = b ise f⁻¹(b) = a olur. Örnek: f(x) = 2x + 1 için f⁻¹(x) = (x − 1)/2, yani f⁻¹(7) = 3.
• İşlem: Soruda verilen kural neyse o uygulanır. Örnek: a ∆ b = 2a + b ise 3 ∆ 4 = 10, ama 4 ∆ 3 = 11. Sıra önemlidir.
• Etkisiz ve ters eleman: a ∗ e = a eşitliğini sağlayan e etkisiz elemandır. Örnek: a ∗ b = a + b − 3 için e = 3. Bu işlemde a'nın tersi 6 − a olur, çünkü a + (6 − a) − 3 = 3.

Çözümlü örnek 1

Soru: 40 kişilik bir toplulukta 24 kişi İngilizce, 15 kişi Almanca biliyor. 8 kişi bu iki dilden hiçbirini bilmiyor. Yalnız İngilizce bilen kaç kişidir?

Çözüm:

• En az bir dil bilenler: 40 − 8 = 32 kişi.
• İki dili de bilenlere x diyelim. 24 + 15 − x = 32 olur.
• 39 − x = 32, buradan x = 7 bulunur.
• Yalnız İngilizce bilenler: 24 − 7 = 17 kişi.

Denetim: Yalnız Almanca bilen 15 − 7 = 8 kişidir. 17 + 7 + 8 + 8 = 40 eder, toplam tutuyor.

Çözümlü örnek 2

Soru: Gerçek sayılarda a ∗ b = a + b + 2 işlemi ve f(x) = 3x − 2 fonksiyonu veriliyor. f(2 ∗ k) = 19 olduğuna göre k kaçtır?

Çözüm:

• Önce işlemi yazalım: 2 ∗ k = 2 + k + 2 = k + 4.
• Bunu fonksiyona koyalım: f(k + 4) = 3(k + 4) − 2 = 3k + 10.
• 3k + 10 = 19 ise 3k = 9 olur.
• k = 3 bulunur.

Denetim: 2 ∗ 3 = 2 + 3 + 2 = 7 ve f(7) = 21 − 2 = 19 eder, verilen değerle aynıdır.

Sık yapılan hatalar

• Kesişimi iki kez saymak. Doğrusu: iki kümenin toplamından kesişim bir kez çıkarılır.
• "Hiçbirini bilmeyenleri" unutmak. Doğrusu: önce toplamdan bunlar çıkarılır, sonra birleşim formülü kurulur.
• Bileşkede sırayı karıştırmak. Doğrusu: (f∘g)(x) için önce g, sonra f uygulanır.
• İşlemde a ile b'nin yerini değiştirmek. Doğrusu: kural değişmeli değilse a ∆ b ile b ∆ a farklıdır; soldaki sayı a'nın yerine yazılır.
• Etkisiz elemanı ezberden 0 ya da 1 sanmak. Doğrusu: her işlemde a ∗ e = a eşitliğinden yeniden bulunur.

Sınavda nasıl sorulur?

• Küme problemleri: Dil bilenler, spor yapanlar gibi iki ya da üç gruplu sözel sorular gelir. Venn şeması çizin ve en içteki bölgeden başlayın.
• Fonksiyon soruları: Değer bulma, bileşke ve ters fonksiyon istenir. Bilinmeyeni bulduktan sonra yerine koyup denetleyin.
• İşlem soruları: Yeni bir sembol tanımlanır. Bazen kural tabloyla verilir. Sembol sizi korkutmasın, yalnızca kuralı harf harf uygulayın.
• Dikkat: "Yalnız", "en az", "en çok" sözcüklerinin altını çizin. Sorulan şeyi son satırda bir kez daha okuyun.
• Süre: Bu tip bir soruya ortalama bir buçuk dakika ayırın. İki dakikayı geçen soruyu işaretleyip sonraya bırakın.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.