🔢 ALES Sayısal — Denklemler ve Eşitsizlikler

📚 Denklemler ve Eşitsizlikler konu anlatımı

1. Temel bilgiler
2. Çözümlü örnek 1
3. Çözümlü örnek 2
4. Sık yapılan hatalar
5. Sınavda nasıl sorulur?

Denklemler ve eşitsizlikler, bilinmeyen bir sayıyı verilen koşullardan bulma işidir. ALES Sayısal bölümünde hem doğrudan sorulur hem de problem, oran ve sayı sorularının altyapısını oluşturur. Bu konuyu sağlam bilen öğrenci, testin büyük kısmında daha hızlı işlem yapar.

Temel bilgiler

• Birinci dereceden denklem: Bilinmeyen bir yanda yalnız bırakılır. Örnek: 3x − 5 = 16 ise 3x = 21, x = 7.
• Denge kuralı: Eşitliğin iki yanına aynı işlem yapılır. Karşıya geçen terim işaret değiştirir. Örnek: x + 4 = 9 ise x = 9 − 4 = 5.
• Kesirli denklem: Önce paydalar eşitlenir ya da her terim ortak katla çarpılır. Örnek: x/2 + x/3 = 10 ise 5x/6 = 10, x = 12.
• İki bilinmeyenli denklem sistemi: Yok etme ya da yerine koyma kullanılır. Örnek: x + y = 10 ve x − y = 4 taraf tarafa toplanır, 2x = 14, x = 7, y = 3.
• Eşitsizlikte yön kuralı: Negatif sayıyla çarpınca ya da bölünce işaret yön değiştirir. Örnek: −2x < 6 ise x > −3.
• Çift taraflı eşitsizlik: Üç tarafa da aynı işlem yapılır. Örnek: −1 ≤ 2x + 3 < 9 ise −4 ≤ 2x < 6, yani −2 ≤ x < 3.
• Mutlak değerli denklem: İçerisi hem artı hem eksi değere eşitlenir. Örnek: |x − 2| = 5 ise x = 7 veya x = −3.
• Mutlak değerli eşitsizlik: |x| < a ise −a < x < a olur. |x| > a ise x > a veya x < −a olur. Örnek: |x| < 3 ise −3 < x < 3.
• Aralıkları toplama: Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanır, çıkarılmaz. Örnek: 2 < x < 5 ve 1 < y < 3 ise 3 < x + y < 8.

Çözümlü örnek 1

Soru: (x − 1)/2 − (x + 2)/3 = 1 eşitliğini sağlayan x kaçtır?

• Paydaların ortak katı 6'dır. Her terimi 6 ile çarparız: 3(x − 1) − 2(x + 2) = 6.
• Parantezleri açarız: 3x − 3 − 2x − 4 = 6. Eksi işareti parantezin içindeki iki terime de dağılır.
• Sadeleştiririz: x − 7 = 6.
• Sonuç: x = 13.

Denetim: x = 13 için 12/2 − 15/3 = 6 − 5 = 1 eder, eşitlik sağlanır.

Çözümlü örnek 2

Soru: |2x − 3| ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?

• Mutlak değeri açarız: −7 ≤ 2x − 3 ≤ 7.
• Üç tarafa 3 ekleriz: −4 ≤ 2x ≤ 10.
• Üç tarafı 2'ye böleriz: −2 ≤ x ≤ 5. Pozitif sayıya böldük, yön değişmedi.
• Tam sayılar: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
• −2 ile 2 arasındakiler birbirini götürür. Geriye 3 + 4 + 5 = 12 kalır.

Denetim: Uç değerlerden x = −2 için |−7| = 7 ve x = 5 için |7| = 7 koşulu sağlar. Bir dışarıdaki x = 6 için |9| = 9 sağlamaz. Toplam 12'dir.

Sık yapılan hatalar

• Yönü çevirmemek: −3x > 12 için x > −4 yazmak yanlıştır. Negatife bölündüğü için doğrusu x < −4 olur.
• Eksiyi dağıtmamak: −2(x + 2) ifadesini −2x + 4 diye açmak yanlıştır. Doğrusu −2x − 4 olur.
• Mutlak değerde tek kök bulmak: |x − 2| = 5 için yalnız x = 7 demek eksiktir. x = −3 de köktür.
• Uç değerleri karıştırmak: ≤ işaretinde uç sayı dahildir, < işaretinde değildir. −2 ≤ x < 3 aralığında −2 sayılır, 3 sayılmaz.
• Eşitsizlikleri çıkarmak: x − y aralığı bulunurken taraf tarafa çıkarma yapılmaz. Önce y'nin eşitsizliği −1 ile çarpılıp yönü çevrilir, sonra toplanır.

Sınavda nasıl sorulur?

• Doğrudan çözüm: Kesirli ya da parantezli bir denklem verilir, x istenir.
• İfade değeri: x'in kendisi değil, 2x + 1 gibi bir ifadenin değeri sorulur. Soru kökünü son kez okuyun.
• Tam sayı sayma: Eşitsizliği sağlayan tam sayıların adedi, toplamı, en büyüğü ya da en küçüğü istenir.
• Aralık soruları: x ve y için aralık verilir, x + y ya da x − y ifadesinin alabileceği değerler sorulur.
• Sözel problem: Cümle denkleme çevrilir. Bilinmeyeni neye x dediğinizi kâğıda yazın.

Dikkat edilecekler: "Tam sayı", "pozitif", "doğal sayı" gibi sözcüklerin altını çizin. Bulduğunuz değeri yerine koyup denemek birkaç saniye sürer ve hatayı yakalar. Bu tür bir soruya bir ile bir buçuk dakika ayırmak yeterlidir. İki dakikayı geçen soruyu işaretleyip sonraya bırakın.

Bu anlatım yapay zekâ desteğiyle hazırlandı ve otomatik biçim denetiminden geçti; her satırı bir uzman okumadı. Yanlış ya da eskimiş bir bilgi görürsen bize yaz, düzeltelim.