Grafik Okuma ve Yorumlama: Sütun, Çizgi, Daire Grafiği ve Histogram

Günlük hayattan giriş

Haber sitelerinde, okul panolarında, telefonundaki adım sayar uygulamasında ya da elektrik faturanın arka yüzünde sürekli grafiklerle karşılaşırsın. Fatura üzerindeki sütunlar son aylardaki tüketimini gösterir. Hava durumu uygulamasındaki çizgi, gün içinde sıcaklığın nasıl değişeceğini anlatır. Bir anket sonucunu gösteren pasta, yani daire grafiği de hangi seçeneğin ne kadar pay aldığını tek bakışta gösterir. Grafik, çok sayıda sayıyı gözün hızlıca kavrayabileceği bir resme dönüştürür.

Bu kolaylığın bir bedeli var: Resim, sayılardan daha kolay yanıltır. Dikey ekseni sıfırdan başlamayan bir sütun grafiğinde küçük bir fark çok büyük görünebilir. Toplamları farklı iki daire grafiğini yan yana koyduğunda da yanlış bir karşılaştırma yapmak çok kolaydır. Bu yüzden grafik okumak yalnızca bakmak değildir. Eksenleri, birimleri, ölçeği ve grafiğin neyi gösterip neyi göstermediğini sorgulamak gerekir.

Bu ders, kursun son dersi. Önceki derslerde öğrendiğin sayma, olasılık, ortalama, medyan ve yayılım kavramlarını burada grafiklerin üzerinde kullanacağız. TYT'de grafik soruları genellikle bir tablo ya da grafik verip birkaç işlem ister. Bu soruların püf noktası doğru değeri okumak ve gereksiz hesaba girmemektir.

Tanım ve kural

Sütun grafiği, ayrı ayrı kategorilerin (aylar, sınıflar, ürünler) miktarlarını karşılaştırır. Sütunun yüksekliği değeri gösterir. Bu yüzden dikey eksen sıfırdan başlamalıdır. Başlamazsa sütun boyları değerlerle orantılı olmaz ve göz yanılır.

Çizgi grafiği, bir büyüklüğün zamanla nasıl değiştiğini gösterir. Noktalar sırayla birleştirilir. Çizginin dikliği değişimin hızını anlatır: Ne kadar dik yukarı çıkıyorsa artış o kadar hızlıdır. Neden? Çünkü diklik, değer farkı ÷ zaman farkı oranıdır, yani birim zamandaki değişimdir.

Daire grafiği, bir bütünün parçalara nasıl bölündüğünü gösterir. Tam daire 360°'dir ve bu, toplamın tamamına (%100'e) karşılık gelir. Bu yüzden bir dilimin payı = dilim açısı ÷ 360° olur. Daire grafiği oranı gösterir, toplam kişi sayısını tek başına göstermez. Kişi sayısını bulmak için toplamın ayrıca verilmesi gerekir.

Histogram, sayısal verileri aralıklara (sınıflara) bölüp her aralıkta kaç veri olduğunu gösterir. Sütun grafiğine benzer ama sütunlar bitişiktir, çünkü aralıklar kesintisiz bir sayı doğrusunu paylaşır. Histogramdan tek tek değerler okunamaz. Yalnızca bir değerin hangi aralıkta olduğu bilinir.

Kutu grafiği, beş sayı özetini gösterir: en küçük değer, Q1 (alt çeyrek), medyan, Q3 (üst çeyrek) ve en büyük değer. Kutu Q1'den Q3'e uzanır ve verinin ortadaki yaklaşık %50'sini içerir. Çeyrekler arası açıklık IQR = Q3 − Q1'dir. Genellikle Q1 − 1,5 × IQR değerinden küçük ya da Q3 + 1,5 × IQR değerinden büyük değerler aykırı değer sayılır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (Sütun grafiği)

Bir kırtasiyenin aylık defter satışını gösteren sütun grafiğinde değerler şöyledir: Ocak 40, Şubat 55, Mart 35, Nisan 70. Dört ayın ortalaması kaçtır ve Nisan satışı toplamın yüzde kaçıdır?

Çözüm:

Toplam: 40 + 55 + 35 + 70 = 200.

Ortalama: 200 ÷ 4 = 50.

Nisan'ın payı: 70 ÷ 200 = 0,35.

Ortalama 50, Nisan'ın payı %35'tir.

Örnek 2 (Sütun grafiğinde değişim)

Aynı grafikte Mart'tan Nisan'a satış yüzde kaç artmıştır?

Çözüm:

Artış miktarı: 70 − 35 = 35.

Yüzde değişim = artış ÷ eski değer = 35 ÷ 35 = 1.

Satış %100 artmıştır, yani iki katına çıkmıştır.

Örnek 3 (Çizgi grafiği)

Bir günün sıcaklık grafiğinde değerler şöyledir: 08.00'de 12 °C, 10.00'da 16 °C, 12.00'de 21 °C, 14.00'te 23 °C, 16.00'da 19 °C. Sıcaklık hangi iki ardışık ölçüm arasında en hızlı artmıştır ve bu aralıkta saatte kaç derece artmıştır?

Çözüm:

08.00 → 10.00: 16 − 12 = 4 °C artış.

10.00 → 12.00: 21 − 16 = 5 °C artış.

12.00 → 14.00: 23 − 21 = 2 °C artış.

14.00 → 16.00: 19 − 23 = −4 °C, yani azalış.

Aralıkların hepsi 2 saat olduğu için en büyük fark en dik çizgiyi verir: 10.00 → 12.00.

Hız: 5 ÷ 2 = 2,5.

En hızlı artış 10.00 ile 12.00 arasındadır; saatte 2,5 °C.

Örnek 4 (Daire grafiği)

480 öğrenciye en sevdiği spor sorulmuş ve sonuç daire grafiğiyle gösterilmiştir: Futbol 120°, Basketbol 90°, Voleybol 60°, Yüzme 90°. Basketbolu seçen öğrenci sayısı, voleybolu seçenlerden kaç fazladır?

Çözüm:

Kontrol: 120 + 90 + 60 + 90 = 360°, grafik tamdır.

Bir derecelik dilim 480 ÷ 360 = 4/3 öğrenciye denk gelir. Oranla gitmek daha kolaydır:

Basketbol: 90/360 = 1/4, yani 480 ÷ 4 = 120 öğrenci.

Voleybol: 60/360 = 1/6, yani 480 ÷ 6 = 80 öğrenci.

Fark: 120 − 80 = 40.

Kısa yol: Açı farkı 30°, 30/360 = 1/12 ve 480 ÷ 12 = 40.

Basketbolu seçenler 40 kişi fazladır.

Örnek 5 (Tablodan daire grafiğine dönüşüm)

40 öğrencinin en sevdiği kitap türü: Roman 18, Bilim 10, Tarih 8, Şiir 4. Bu veri daire grafiğine dönüştürülürse her dilimin açısı kaç derece olur?

Çözüm:

Bir öğrenci 360° ÷ 40 = 9°'lik dilime karşılık gelir.

Roman: 18 × 9 = 162°.

Bilim: 10 × 9 = 90°.

Tarih: 8 × 9 = 72°.

Şiir: 4 × 9 = 36°.

Kontrol: 162 + 90 + 72 + 36 = 360°.

Açılar sırasıyla 162°, 90°, 72° ve 36°'dir.

Örnek 6 (Histogram)

25 öğrencinin sınav puanlarını gösteren histogramda aralıklar ve öğrenci sayıları şöyledir (alt sınır dahil, üst sınır hariç): 40–50: 3, 50–60: 5, 60–70: 8, 70–80: 6, 80–90: 3. Kaç öğrenci 70 ve üzeri almıştır? Medyan hangi aralıktadır?

Çözüm:

70 ve üzeri: 6 + 3 = 9 öğrenci.

Toplam 25 olduğu için medyan, sıralanmış verideki 13. değerdir.

Birikimli sayılar: ilk aralıkta 3, ilk iki aralıkta 3 + 5 = 8, ilk üç aralıkta 8 + 8 = 16.

13. değer, 9. ile 16. değerler arasında, yani 60–70 aralığındadır.

9 öğrenci 70 ve üzeri almıştır; medyan 60–70 aralığındadır. Dikkat: Medyanın tam değerini histogramdan bulamayız.

Örnek 7 (Kutu grafiği)

Bir kutu grafiğinde en küçük değer 20, Q1 = 35, medyan 50, Q3 = 60, en büyük değer 90'dır. Açıklık, çeyrekler arası açıklık nedir? 90 aykırı değer midir?

Çözüm:

Açıklık: 90 − 20 = 70.

IQR: 60 − 35 = 25.

1,5 × 25 = 37,5.

Üst sınır: 60 + 37,5 = 97,5. Alt sınır: 35 − 37,5 = −2,5.

90 < 97,5 olduğu için aykırı değer değildir.

Açıklık 70, IQR 25; 90 aykırı değer değildir. Sağ bıyık (60'tan 90'a) sol bıyıktan (20'den 35'e) uzun olduğu için dağılım sağa çarpıktır.

Örnek 8 (Yanıltıcı eksen)

Bir reklam grafiğinde A markasının satışı 102, B markasının satışı 104 bin adettir. Dikey eksen 100'den başlatılmıştır. B'nin sütunu, A'nınkinin iki katı gibi görünür. Gerçek fark yüzde kaçtır?

Çözüm:

Grafikte görünen boylar: A için 102 − 100 = 2, B için 104 − 100 = 4. Göz bu yüzden iki kat görür.

Gerçek fark: 104 − 102 = 2.

Yüzde fark: 2 ÷ 102 ≈ 0,0196.

B, A'dan yalnızca yaklaşık %2 fazladır; iki kat izlenimi eksen ölçeğinden kaynaklanır.

TYT taktikleri: soru tipi, süre ve şık eleme

• Soru tipi: Genellikle bir grafik ya da tablo verilir. Toplam, fark, oran, yüzde değişim, ortalama ya da grafikler arası dönüşüm istenir. Bazen iki grafik birlikte verilir (örneğin toplam bir sütun grafiğinde, dağılım bir daire grafiğinde).
• Süre: Bir grafik sorusu için yaklaşık 1–1,5 dakika hedefle. Önce soru kökünü oku, sonra grafikte yalnızca gereken değerleri bul. Bütün grafiği baştan sona hesaplamak zaman kaybıdır.
• Eksen ve birim kontrolü: Eksen bin mi, milyon mu, yüzde mi? Birim yanlış okunursa bütün şıklar yanlış çıkar.
• Şık eleme: Önce kabaca tahmin et. Örneğin bir dilim çeyrekten biraz büyükse, cevabın toplamın %25'inden biraz fazla olması gerekir. Bu aralığın dışındaki şıkları hemen ele.
• Daire grafiğinde: Açıları sadeleştir (90° = 1/4, 60° = 1/6, 120° = 1/3, 45° = 1/8). Sayıyla uğraşmadan oranla hesapla.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: Dikey ekseni 100'den başlayan grafikte boyu iki kat olan sütunun değeri de iki kattır. Doğrusu: Önce eksenin başlangıcına bak. Gerçek değerleri okuyup oranla.
• Yanlış: İki okulun daire grafiğinde futbol dilimi aynı büyüklükte, demek ki futbolu seçen öğrenci sayısı da eşit. Doğrusu: Daire grafiği oran gösterir. Toplamlar farklıysa kişi sayıları da farklıdır.
• Yanlış: Histogramda 60–70 aralığında 8 kişi var, demek ki biri tam 65 almıştır. Doğrusu: Histogram yalnızca kaç kişinin o aralıkta olduğunu söyler, tek tek değerleri söylemez.
• Yanlış: 40'tan 50'ye çıkan değer %10 artmıştır. Doğrusu: Artış 10, eski değer 40. Yüzde artış 10 ÷ 40 = %25'tir. Yüzde değişimde her zaman eski değere bölünür.
• Yanlış: Kutu grafiğinde geniş kutu parçasında daha çok veri vardır. Doğrusu: Her çeyrekte yaklaşık %25 veri vardır. Geniş parça, verilerin orada daha dağınık olduğunu gösterir.

Alıştırma

Soru 1–2 için sütun grafiği: Dört sınıfta bir haftada okunan kitap sayısı A: 12, B: 18, C: 15, D: 9.

• 1) Dört sınıfta toplam kaç kitap okunmuştur?
• 2) B sınıfının okuduğu kitaplar toplamın kaçta kaçıdır?

Soru 3–4 için çizgi grafiği: Bir kasabanın nüfusu 2021'de 500, 2022'de 540, 2023'te 600, 2024'te 570.

• 3) En büyük artış hangi iki ardışık yıl arasındadır?
• 4) 2023'ten 2024'e nüfus yüzde kaç değişmiştir?
• 5) 250 kişilik bir anketin daire grafiğinde bir seçeneğin dilimi 72°'dir. Bu seçeneği kaç kişi işaretlemiştir?
• 6) Bir daire grafiğinde 60°'lik dilim 45 kişiyi gösteriyor. Ankete toplam kaç kişi katılmıştır?

Soru 7–8 için histogram: Otobüs bekleme süreleri (dakika, alt sınır dahil): 0–10: 4 kişi, 10–20: 10 kişi, 20–30: 7 kişi, 30–40: 3 kişi.

• 7) 20 dakikadan az bekleyen kaç kişi vardır?
• 8) Medyan hangi aralıktadır?
• 9) Bir kutu grafiğinde Q1 = 40 ve Q3 = 64'tür. IQR nedir ve üst aykırı değer sınırı kaçtır?
• 10) Dikey ekseni 50'den başlayan bir sütun grafiğinde değerler 55 ve 60'tır. Görünen boy oranı nedir, gerçek yüzde artış yaklaşık kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 54. İpucu: 12 + 18 + 15 + 9 = 54.
• 2) 1/3 (yaklaşık %33,3). İpucu: 18 ÷ 54 = 1/3.
• 3) 2022–2023. İpucu: Artışlar 40, 60 ve −30'dur; en büyüğü 60.
• 4) %5 azalış. İpucu: (570 − 600) ÷ 600 = −30 ÷ 600 = −0,05.
• 5) 50 kişi. İpucu: 72/360 = 1/5 ve 250 ÷ 5 = 50.
• 6) 270 kişi. İpucu: 60° tam dairenin 1/6'sıdır, 45 × 6 = 270.
• 7) 14 kişi. İpucu: 0–10 ve 10–20 aralıkları toplanır: 4 + 10 = 14.
• 8) 10–20 aralığı. İpucu: 24 kişide medyan 12. ve 13. değerlerin ortalamasıdır; birikimli sayılar 4 ve 14 olduğu için ikisi de 10–20'dedir.
• 9) IQR = 24, üst sınır = 100. İpucu: 64 − 40 = 24, 1,5 × 24 = 36, 64 + 36 = 100.
• 10) Görünen oran 2 kat, gerçek artış yaklaşık %9,1. İpucu: Görünen boylar 5 ve 10, gerçek artış 5 ÷ 55 ≈ 0,091.

Dersin özeti

• Sütun grafiği kategorileri, çizgi grafiği zamana göre değişimi, daire grafiği bütünün parçalarını, histogram sayısal verinin aralıklara dağılımını, kutu grafiği ise beş sayı özetini gösterir.
• Daire grafiğinde pay = açı ÷ 360°'dir. Tablodan daire grafiğine geçerken bir birimin açısı 360° ÷ toplam ile bulunur.
• Histogramdan tek tek değerler okunamaz. Medyanın hangi aralıkta olduğu birikimli sayılarla bulunur.
• Kutu grafiğinde IQR = Q3 − Q1'dir ve aykırı değer sınırları Q1 − 1,5 × IQR ile Q3 + 1,5 × IQR'dir.
• Grafik okurken her zaman ekseni, birimi ve eksenin başlangıcını kontrol et. Yüzde değişimde eski değere böl.

Kursun kapanışı

Bu kursta önce saymayı öğrendin: permütasyon ve kombinasyonla olası durumları düzenli biçimde saydın. Sonra bu sayımları olasılığa dönüştürdün. Ortalama, medyan, mod ve yayılım ölçüleriyle bir veri kümesini birkaç sayıyla özetledin. Son derste de bu özetlerin grafiklerde nasıl göründüğünü ve grafiklerin nasıl yanıltabileceğini gördün. Bu konuların ortak fikri şu: Veriye düzenli bak, neyi bildiğini ve neyi bilmediğini ayır, sonucu mantıkla kontrol et. Bu alışkanlık sana hem TYT'de hem de haberleri, reklamları ve anketleri değerlendirirken yardımcı olacak.