Koşullu Olasılık ve Ağaç Diyagramları

Tahmini süre: 17 dk

Önceki derste bir olayın olasılığını istenen durum sayısı ÷ tüm durum sayısı diye hesapladık. Bu kuralda hep aynı şeyi kabul ettik: Deney hakkında hiçbir ek bilgimiz yok. Bu derste soruyu değiştiriyoruz: Bir bilgi verilirse olasılık nasıl değişir?

Günlük hayattan giriş

Bir arkadaşın zar atıyor ve sonucu sana göstermiyor. Gelen sayının 4 olma olasılığını sorsan cevap 1/6 olur, çünkü altı yüzün hepsi mümkün. Şimdi arkadaşın bir ipucu veriyor: “Gelen sayı çift.” Artık 1, 3 ve 5 ihtimal dışı kaldı; geriye yalnızca 2, 4 ve 6 kaldı. Aynı soru için cevap 1/3 olur. Zar değişmedi, ama bildiklerimiz değişti. Bilgi, olası durumların listesini kısalttı.

Günlük hayat bu tür sorularla dolu. Hava bulutluysa yağmur yağma olasılığı, hiçbir bilgi yokkenki olasılıktan farklıdır. Bir öğrenci düzenli ders çalışıyorsa sınavı geçme olasılığı, tüm öğrencilere bakınca bulduğumuz olasılıktan farklıdır. Bu yüzden “... olduğu bilindiğine göre” diye başlayan sorular çok önemlidir.

Bir de aşamalı deneyler vardır: Torbadan bir top çekersin, sonra bir top daha çekersin. İkinci çekilişin olasılığı, birincide ne olduğuna bağlı olabilir. Böyle deneyleri düzenli bir şekilde çizmenin en iyi yolu ağaç diyagramıdır. Bu derste ikisini birlikte öğreneceğiz.

Tanım ve kural

Koşullu olasılık: B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının gerçekleşme olasılığına “B verildiğinde A'nın olasılığı” denir ve P(A | B) diye yazılır. Dikey çizgi “... olduğu bilindiğine göre” diye okunur.

Neden böyle hesaplanır? B'nin gerçekleştiğini biliyorsak artık B'nin dışındaki sonuçlar mümkün değildir. Yani yeni örnek uzayımız B olur. Bu yeni uzayda A'nın gerçekleşmesi için sonucun hem A'da hem B'de olması gerekir; bu da A ∩ B'dir. Bu yüzden:

P(A | B) = s(A ∩ B) / s(B) (eş olasılıklı durumlarda, s: eleman sayısı)

Pay ve paydayı tüm durum sayısına bölersek olasılık cinsinden formülü buluruz:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), burada P(B) ≠ 0 olmalı.

Bu formülü içler dışlar çarpımıyla çevirirsek çarpma kuralı çıkar: P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B). Ağaç diyagramında bir yol boyunca olasılıkları çarpmamızın sebebi tam olarak budur.

Ağaç diyagramı kuralları: Her aşama bir dal katmanıdır. Bir noktadan çıkan dalların olasılıkları toplamı 1'dir. Bir sonuca giden yol boyunca çarpılır, istenen sonuçları veren farklı yollar toplanır.

İadeli ve iadesiz çekiliş: Top geri konursa (iadeli) torba her çekilişte aynıdır, ikinci çekiliş birinciden etkilenmez. Top geri konmazsa (iadesiz) ikinci çekilişte hem toplam top sayısı hem o renkteki top sayısı değişebilir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

Bir zar atılıyor. Gelen sayının çift olduğu biliniyor. Bu sayının 2'den büyük olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Bilgi: sayı çift. Yeni örnek uzay B = {2, 4, 6}, s(B) = 3.

Bu uzayda 2'den büyük olanlar: {4, 6}, yani 2 eleman.

P = 2/3.

Sonuç: 2/3

Örnek 2 (tablo ile)

Bir sınıfta 18 kız, 12 erkek olmak üzere 30 öğrenci vardır. Kızların 6'sı, erkeklerin 4'ü gözlüklüdür. Rastgele seçilen öğrencinin gözlüklü olduğu biliniyorsa kız olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Bilgi: öğrenci gözlüklü. Artık yalnızca “Gözlüklü” sütununa bakıyoruz: toplam 10 kişi.

Bu 10 kişiden 6'sı kız.

P(kız | gözlüklü) = 6/10 = 3/5.

Sonuç: 3/5

Örnek 3 (formül ile)

P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 ve P(A ∩ B) = 0,2 olduğuna göre P(A | B) ve P(B | A) kaçtır?

Çözüm:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0,2 / 0,4 = 1/2.

P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0,2 / 0,5 = 2/5.

Sonuç: P(A | B) = 1/2, P(B | A) = 2/5. İkisinin farklı çıktığına dikkat et.

Örnek 4 (iadesiz çekiliş, ağaç diyagramı)

Bir torbada 3 kırmızı (K) ve 2 mavi (M) top vardır. Torbadan geri konmamak şartıyla art arda iki top çekiliyor. a) İkisinin de kırmızı olma olasılığı, b) toplarının farklı renkte olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

1. çekiliş: P(K) = 3/5, P(M) = 2/5.

İlk top K ise torbada 2 K, 2 M kalır: P(K) = 2/4, P(M) = 2/4.

İlk top M ise torbada 3 K, 1 M kalır: P(K) = 3/4, P(M) = 1/4.

Ağacın dört yolu:

• K → K: 3/5 × 2/4 = 6/20
• K → M: 3/5 × 2/4 = 6/20
• M → K: 2/5 × 3/4 = 6/20
• M → M: 2/5 × 1/4 = 2/20

Kontrol: 6 + 6 + 6 + 2 = 20, yani toplam 20/20 = 1.

a) KK yolu: 6/20 = 3/10

b) KM ve MK yolları toplanır: 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5

Örnek 5 (iadeli çekiliş)

Aynı torbadan (3 K, 2 M) bu kez çekilen top geri konarak iki top çekiliyor. İkisinin de kırmızı ve farklı renkte olma olasılıkları kaçtır?

Çözüm:

Top geri konduğu için her çekilişte P(K) = 3/5, P(M) = 2/5.

KK: 3/5 × 3/5 = 9/25.

KM: 3/5 × 2/5 = 6/25, MK: 2/5 × 3/5 = 6/25, toplam 12/25.

Kontrol: MM = 4/25; 9 + 12 + 4 = 25.

Sonuç: İkisi kırmızı: 9/25, farklı renk: 12/25. İadesiz durumdaki 3/10 = 0,3 ile iadeli durumdaki 9/25 = 0,36 farklıdır; iade etmek torbayı değiştirir.

Örnek 6 (zor: iki torba ve ters soru)

I. torbada 2 kırmızı, 3 beyaz; II. torbada 4 kırmızı, 1 beyaz top vardır. Bir para atılıyor; yazı gelirse I. torbadan, tura gelirse II. torbadan bir top çekiliyor. a) Topun kırmızı olma olasılığı kaçtır? b) Çekilen top kırmızı ise II. torbadan çekilmiş olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Yazı → I. torba → kırmızı: 1/2 × 2/5 = 2/10.

Tura → II. torba → kırmızı: 1/2 × 4/5 = 4/10.

a) Kırmızıya giden iki yol toplanır: 2/10 + 4/10 = 6/10 = 3/5.

b) Bilgi: top kırmızı. Yeni “uzay” kırmızı veren yollardır, olasılığı 6/10.

Bunun II. torbadan gelen kısmı 4/10.

P(II | kırmızı) = (4/10) ÷ (6/10) = 4/6 = 2/3.

Sık yapılan hatalar

• P(A | B) ile P(B | A)'yı karıştırmak. Yanlış: “Gözlüklü ise kız olma” ile “kız ise gözlüklü olma” aynıdır. Doğrusu: Örnek 2'de P(kız | gözlüklü) = 6/10, ama P(gözlüklü | kız) = 6/18 = 1/3. Paydaya her zaman bilinen olay yazılır.
• Paydaya tüm örnek uzayı yazmak. Yanlış: Örnek 1'de 2/6 = 1/3 bulmak. Doğrusu: “Çift olduğu biliniyor” dendiğinde payda 3 olur, cevap 2/3.
• İadesiz çekilişte ikinci dalı güncellememek. Yanlış: 3/5 × 3/5. Doğrusu: Bir kırmızı çıktıysa hem toplam hem kırmızı sayısı 1 azalır: 3/5 × 2/4.
• Sırayı unutmak. Yanlış: “Farklı renk” için yalnızca K → M yolunu almak (6/20). Doğrusu: M → K yolu da vardır; 6/20 + 6/20 = 12/20.
• Yolda toplamak, yollar arasında çarpmak. Doğrusu: Aynı yol üzerindeki dallar çarpılır, farklı yollar toplanır.

Alıştırma

1) Bir zar atılıyor. Gelen sayının tek olduğu biliniyorsa asal olma olasılığı kaçtır?

2) P(A ∩ B) = 0,12 ve P(B) = 0,3 ise P(A | B) kaçtır?

3) P(A) = 0,6 ve P(B | A) = 0,5 ise P(A ∩ B) kaçtır?

4) Torbada 4 kırmızı, 6 beyaz top var. İadesiz iki top çekiliyor. İkisinin de beyaz olma olasılığı kaçtır?

5) Aynı torbadan iadeli iki top çekiliyor. İkisinin de beyaz olma olasılığı kaçtır?

6) Aynı torbadan iadesiz iki top çekiliyor. Topların farklı renkte olma olasılığı kaçtır?

7) İki madenî para atılıyor. En az birinin yazı geldiği biliniyorsa ikisinin de yazı gelme olasılığı kaçtır?

8) 40 öğrencinin 16'sı 10. sınıf, 24'ü 11. sınıftır. 10. sınıflardan 10'u, 11. sınıflardan 12'si spor kulübündedir. Seçilen öğrenci spor kulübündeyse 10. sınıf olma olasılığı kaçtır?

9) I. torbada 3 kırmızı 1 beyaz, II. torbada 1 kırmızı 3 beyaz top var. Bir zar atılıyor; 1 veya 2 gelirse I. torbadan, diğer durumlarda II. torbadan top çekiliyor. Topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?

10) 9. sorudaki deneyde çekilen top kırmızı ise I. torbadan çekilmiş olma olasılığı kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 2/3: Tek sayılar {1, 3, 5}, bunlardan asal olanlar {3, 5}.
• 2) 0,4: 0,12 ÷ 0,3 = 0,4.
• 3) 0,3: Çarpma kuralı: 0,6 × 0,5 = 0,3.
• 4) 1/3: 6/10 × 5/9 = 30/90 = 1/3.
• 5) 9/25: 6/10 × 6/10 = 36/100 = 9/25.
• 6) 8/15: KB + BK = 4/10 × 6/9 + 6/10 × 4/9 = 24/90 + 24/90 = 48/90 = 8/15.
• 7) 1/3: Yeni uzay {YY, YT, TY}, bunlardan yalnızca YY istenen.
• 8) 5/11: Kulüpte 10 + 12 = 22 kişi var, 10'u 10. sınıf: 10/22 = 5/11.
• 9) 5/12: 2/6 × 3/4 + 4/6 × 1/4 = 3/12 + 2/12 = 5/12.
• 10) 3/5: (3/12) ÷ (5/12) = 3/5.

Sınav ipucu: YKS sorularında “... olduğu bilindiğine göre” ifadesi koşullu olasılık işaretidir. Önce bilinen olayı paydaya yaz. Seçeneklerde 1'den büyük bir sayı ya da paydası tüm örnek uzay olan bir kesir görürsen bu seçeneği hemen ele. Ağaç sorularında hızlı kontrol için tüm yolların toplamının 1 olduğunu doğrula.

Dersin özeti

• Bir bilgi verilince örnek uzay o bilgiye daralır: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B).
• Tablolu sorularda bilinen olayın satırına ya da sütununa bakılır; payda o satırın ya da sütunun toplamıdır.
• Ağaç diyagramında yol boyunca çarpılır, farklı yollar toplanır; bir noktadan çıkan dalların toplamı 1'dir.
• İadeli çekilişte olasılıklar değişmez; iadesiz çekilişte ikinci dal birinci sonuca göre güncellenir.
• “Sonuç biliniyor, kaynak ne?” sorularında istenen yolun olasılığı, o sonucu veren tüm yolların toplamına bölünür.

Olasılık bölümünü burada tamamlıyoruz. Kursun sonraki adımında, verileri tek bir sayıyla özetleyen ölçülere (ortalama gibi) ve grafik okumaya geçeceğiz. Bu derste kullandığımız tablo okuma becerisi orada da işine yarayacak.