Olasılığa Giriş: Deney, Örnek Uzay ve Olay

Tahmini süre: 14 dk

Önceki derste sayma yöntemlerini, yani çarpma ilkesini, permütasyonu ve kombinasyonu öğrendik. Bir işin kaç farklı şekilde yapılabileceğini hesaplamayı artık biliyoruz. Bu derste o bilgiyi yeni bir amaçla kullanacağız: Bir şeyin olma şansını sayıyla ifade edeceğiz. Olasılık hesabının büyük kısmı iki soruya dayanır: “Toplam kaç durum var?” ve “Bunlardan kaçı istediğim durum?”. Bu iki soruyu yanıtlamak için sayma bilgisi gerekir.

Günlük hayattan giriş

Bir maça başlamadan önce hakem yazı tura atar ve iki takım da bu yönteme itiraz etmez. Çünkü herkes, düzgün bir paranın yazı ya da tura gelme şansının eşit olduğunu bilir. Tavla oynarken “düşeş gelir mi?” diye umutlanırız. Hava durumu uygulamasında “yağış ihtimali yüzde 70” yazısını görünce şemsiyemizi yanımıza alırız. Bu durumların hepsinde sonucu önceden kesin olarak bilemeyiz ama hangi sonucun ne kadar beklenebileceği hakkında akıl yürütebiliriz.

Olasılık, belirsizliği ölçmenin matematiksel yoludur. “Belki olur”, “büyük ihtimalle olur”, “imkânsız” gibi günlük ifadeleri 0 ile 1 arasındaki sayılara dönüştürür. 0, olayın kesinlikle gerçekleşmeyeceği; 1 ise kesinlikle gerçekleşeceği anlamına gelir. Aradaki değerler şansın ne kadar büyük olduğunu gösterir.

Olasılık sigortacılıkta, oyun tasarımında, ilaç denemelerinde, kalite kontrolde ve yapay zekâ gibi pek çok alanda kullanılır. Ancak her şey birkaç temel kavrama dayanır: deney, çıktı, örnek uzay ve olay. Bu derste bu kavramları sırayla ele alacağız.

Tanım ve kural

Deney: Sonucu önceden kesin olarak bilinemeyen ve aynı koşullarda tekrar edilebilen işlemdir. Zar atmak, para atmak, desteden kart çekmek ya da torbadan top çekmek birer deneydir.

Çıktı: Deneyin sonunda ortaya çıkabilecek tek bir sonuçtur. Zar atıldığında “4 gelmesi” bir çıktıdır.

Örnek uzay (E): Deneyin tüm olası çıktılarının kümesidir. Bir zar atıldığında E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur ve eleman sayısı s(E) = 6’dır.

Olay (A): Örnek uzayın herhangi bir alt kümesidir. Zar deneyinde “çift sayı gelmesi” olayı A = {2, 4, 6} kümesidir ve s(A) = 3’tür. Olay tek bir çıktıdan oluşuyorsa buna basit olay denir. Boş küme imkânsız olay, E’nin kendisi ise kesin olaydır.

Eş olasılıklı örnek uzay: Her çıktının gerçekleşme şansı eşitse örnek uzay eş olasılıklıdır. Hileli olmayan bir zar veya düzgün bir para bu duruma örnektir.

Kural: Eş olasılıklı bir örnek uzayda A olayının olasılığı şöyle hesaplanır:

P(A) = s(A) / s(E) = istenen durum sayısı / tüm durum sayısı

Kural neden böyle? Bir zarın 6 yüzünün her birinin gelme şansı eşittir ve bu şansların toplamı 1’dir, çünkü zar mutlaka bir yüzü üstte olacak şekilde durur. O hâlde her yüzün payı 1/6’dır. “Çift gelme” olayında 3 yüz bulunduğu için bu payı 3 kez toplarız: 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6. Formül bu toplamanın kısa yoludur.

Olasılık neden 0 ile 1 arasındadır? A olayı E’nin alt kümesi olduğundan istenen durum sayısı hiçbir zaman sıfırdan az ya da tüm durum sayısından fazla olamaz: 0 ≤ s(A) ≤ s(E). Bu eşitsizliğin her tarafını s(E) sayısına bölersek 0 ≤ P(A) ≤ 1 elde ederiz. İmkânsız olayda s(A) = 0 olduğu için olasılık 0’dır. Kesin olayda s(A) = s(E) olduğu için olasılık 1’dir. Hesap sonunda 1’den büyük ya da negatif bir sonuç bulursanız mutlaka bir hata yapmışsınızdır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

Hileli olmayan bir zar atılıyor. Üst yüze 4’ten büyük bir sayı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Örnek uzay E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, yani s(E) = 6.

Adım 2: 4’ten büyük sayılar A = {5, 6}, yani s(A) = 2.

Adım 3: P(A) = 2/6.

Adım 4: Sadeleştirirsek P(A) = 1/3 olur.

Örnek 2

Madenî bir para iki kez atılıyor. En az bir kez yazı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Her atışta 2 sonuç vardır. Çarpma ilkesine göre 2 × 2 = 4 çıktı oluşur.

Adım 2: E = {YY, YT, TY, TT}, s(E) = 4. Burada YT ile TY farklı çıktılardır, çünkü ilk ve ikinci atışın sonuçları farklıdır.

Adım 3: En az bir yazı içeren çıktılar A = {YY, YT, TY}, s(A) = 3.

Adım 4: P(A) = 3/4

Örnek 3

52 kartlık standart bir desteden rastgele bir kart çekiliyor. Destede 4 renk grubu (maça, kupa, karo, sinek) ve her grupta 13 kart vardır. Kupa ve karo kırmızı renklidir. Çekilen kartın kırmızı bir as olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: s(E) = 52.

Adım 2: Her grupta 1 as vardır. Kırmızı gruplar kupa ve karo olduğundan kırmızı as sayısı 2’dir: s(A) = 2.

Adım 3: P(A) = 2/52.

Adım 4: Pay ve payda 2’ye bölünürse P(A) = 1/26 olur.

Örnek 4

İki zar birlikte atılıyor. Üst yüzlerdeki sayıların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Birinci zar 6, ikinci zar 6 farklı sonuç verebilir. 6 × 6 = 36 sıralı ikili oluşur, yani s(E) = 36.

Adım 2: Toplamı 7 olan ikililer: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).

Adım 3: s(A) = 6.

Adım 4: P(A) = 6/36 = 1/6

Örnek 5 (sayma ile birleşik)

Ali ve Ayşe’nin de bulunduğu 5 kişilik bir gruptan rastgele 2 kişilik bir temsilci ekibi seçilecek. Ekibin Ali ve Ayşe’den oluşma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: Seçimde sıra önemli değildir, bu yüzden kombinasyon kullanılır: C(5, 2) = (5 × 4) / (2 × 1) = 10. Buna göre s(E) = 10.

Adım 2: İstenen ekip yalnızca {Ali, Ayşe} ekibidir, yani s(A) = 1.

Adım 3: P(A) = 1/10

Örnek 6 (zor, sınır durumları)

İki zar atılıyor. a) Toplamın 13 olma olasılığı kaçtır? b) Toplamın 12 veya daha küçük olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: En büyük toplam 6 + 6 = 12 olduğu için toplamın 13 olması mümkün değildir. s(A) = 0 olduğundan P = 0/36 = 0 (imkânsız olay).

Adım 2: En büyük toplam 12 olduğu için her atışta toplam 12 veya daha küçüktür. 36 çıktının hepsi uygundur: P = 36/36 = 1 (kesin olay).

Adım 3: Bu örnek, olasılığın alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin 0 ve 1 olduğunu somut olarak gösterir.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: “İki zarın toplamı 2 ile 12 arasında 11 farklı değer alır, bu yüzden toplamın 7 olma olasılığı 1/11’dir.” Doğrusu: Bu 11 toplam eş olasılıklı değildir. Eş olasılıklı olan 36 sıralı ikilidir ve doğru cevap 6/36 = 1/6’dır.
• Yanlış: “İki para atılınca sonuçlar iki yazı, bir yazı bir tura ve iki tura olur. Bir yazı bir tura gelme olasılığı 1/3’tür.” Doğrusu: “Bir yazı bir tura” sonucu YT ve TY olmak üzere iki farklı çıktıyla gerçekleşir. Olasılık 2/4 = 1/2’dir.
• Yanlış: “Torbada 3 kırmızı ve 5 mavi top var. Kırmızı çekme olasılığı 3/5’tir.” Doğrusu: Paydaya istenmeyen durumların sayısı değil, tüm durumların sayısı yazılır. Olasılık 3/(3 + 5) = 3/8’dir.
• Yanlış: “Yarın ya yağmur yağar ya yağmaz, bu durumda olasılık 1/2’dir.” Doğrusu: İki seçenek olması, bu seçeneklerin eş olasılıklı olduğu anlamına gelmez. s(A)/s(E) kuralı yalnızca eş olasılıklı örnek uzaylarda kullanılır.
• Yanlış: Olasılığı 5/4 gibi 1’den büyük bir sayı olarak bulmak. Doğrusu: İstenen durumlar, tüm durumların içindedir. Sonuç 1’i geçiyorsa sayma adımını yeniden kontrol edin.

Alıştırma

1) Bir zar atılıyor. 5 gelme olasılığı kaçtır?

2) Bir zar atılıyor. Asal sayı gelme olasılığı kaçtır?

3) Bir para 3 kez atılıyor. Örnek uzay kaç elemanlıdır?

4) Bir para 3 kez atılıyor. Tam olarak 2 yazı gelme olasılığı kaçtır?

5) 52 kartlık desteden bir kart çekiliyor. Kartın resimli (vale, kız veya papaz) olma olasılığı kaçtır?

6) Torbada 4 beyaz ve 6 siyah top var. Rastgele çekilen bir topun beyaz olma olasılığı kaçtır?

7) İki zar atılıyor. İki zarın aynı sayıyı gösterme olasılığı kaçtır?

8) İki zar atılıyor. Toplamın 10 olma olasılığı kaçtır?

9) 1’den 20’ye kadar (20 dâhil) numaralı kartlardan biri çekiliyor. Kart numarasının 3’ün katı olma olasılığı kaçtır?

10) 6 kişilik bir gruptan rastgele 2 kişi seçiliyor. Belirli iki arkadaşın birlikte seçilme olasılığı kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 1/6. 6 yüzden yalnızca biri 5’tir.
• 2) 1/2. Asal sayılar {2, 3, 5} olduğu için olasılık 3/6’dır.
• 3) 8. Çarpma ilkesine göre 2 × 2 × 2 = 8.
• 4) 3/8. Uygun çıktılar YYT, YTY ve TYY olmak üzere 3 tanedir.
• 5) 3/13. Her grupta 3 resimli kart vardır; 4 × 3 = 12 olduğundan olasılık 12/52 = 3/13’tür.
• 6) 2/5. Toplam 10 top vardır; 4/10 sadeleşince 2/5 olur.
• 7) 1/6. (1, 1)’den (6, 6)’ya kadar 6 uygun ikili vardır; 6/36 = 1/6.
• 8) 1/12. Uygun ikililer (4, 6), (5, 5) ve (6, 4) olduğu için olasılık 3/36’dır.
• 9) 3/10. 3’ün katları 3, 6, 9, 12, 15 ve 18’dir; 6/20 = 3/10.
• 10) 1/15. C(6, 2) = 15 farklı ikili vardır ve bunlardan yalnızca biri istenen ikilidir.

Dersin özeti

• Deney sonucu belirsiz bir işlemdir. Çıktı tek bir sonuç, örnek uzay tüm çıktıların kümesi, olay ise örnek uzayın bir alt kümesidir.
• Eş olasılıklı örnek uzayda P(A) = s(A) / s(E) kuralı kullanılır. Bu kural, her çıktının eşit payının toplanmasının kısa yoludur.
• 0 ≤ s(A) ≤ s(E) olduğu için 0 ≤ P(A) ≤ 1’dir. İmkânsız olayın olasılığı 0, kesin olayın olasılığı 1’dir.
• Örnek uzayı doğru saymak işin en önemli kısmıdır. İki zarda 36, üç parada 8 sıralı çıktı vardır. Seçim yapılan sorularda kombinasyon kullanılır.
• Sonraki derste bu temelin üzerine tümleyen olayı (“olmama” olasılığı) ve “veya” ile “ve” içeren olayların olasılığını hesaplamayı öğreneceğiz.