Faktöriyel ve Permütasyon: Sıralamanın Önemli Olduğu Durumlar

Günlük hayattan giriş

Bir önceki derste toplama ve çarpma yoluyla sayma ilkelerini gördük: Bir iş adım adım yapılıyorsa ve her adımın seçenek sayısı belliyse, bu sayıları çarparak toplam durum sayısını buluyorduk. Bu derste o çarpma ilkesinin çok sık karşılaşılan özel bir hâlini inceleyeceğiz: nesneleri sıraya dizmek.

Günlük hayatta sıralama her yerdedir. Bir koşuda birinci, ikinci ve üçüncünün kim olacağı; bir şifrede rakamların hangi sırayla yazıldığı; bir rafa kitapların nasıl dizildiği; bir sınıfta başkan ve başkan yardımcısının seçilmesi... Bunların hepsinde sıra önemlidir. Şifre 123 ile 321 aynı değildir; birinci olmakla üçüncü olmak da aynı şey değildir.

Bu tür soruları her seferinde tek tek saymak çok uzun sürer. Örneğin 10 kitabın bir rafa kaç farklı şekilde dizilebileceğini tek tek yazarak bulmaya çalışsak günlerce uğraşırdık. Bu yüzden matematikte faktöriyel ve permütasyon adında iki kısa yazım ve hesaplama yolu kullanırız.

Tanım ve kural

Faktöriyel (n!)

1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1

Neden böyle? n farklı nesneyi yan yana n yere dizdiğimizi düşünelim. Birinci yere n nesneden herhangi biri gelebilir. İkinci yere kalan (n − 1) nesneden biri, üçüncü yere kalan (n − 2) nesneden biri gelir ve bu böyle devam eder. Son yere tek bir nesne kalır. Çarpma ilkesine göre toplam diziliş sayısı n × (n − 1) × ... × 1 = n! olur. Yani n farklı nesne n! farklı şekilde sıralanır.

Faktöriyelin çok işe yarayan bir özelliği vardır: n! = n × (n − 1)!. Örneğin 5! = 5 × 4! olur. Bu özellik, büyük faktöriyelleri sadeleştirirken bize büyük kolaylık sağlar.

0! neden 1'e eşittir?

Bu kural ilk bakışta tuhaf görünür ama iki güçlü nedeni vardır:

• Kuralın devamı: n! = n × (n − 1)! eşitliğinde n = 1 yazalım: 1! = 1 × 0!. Burada 1! = 1 olduğundan 0! = 1 olmak zorundadır.
• Sayma anlamı: Hiç nesne yoksa onları dizmenin tek bir yolu vardır: hiçbir şey yapmamak. Yani 0 nesnenin 1 dizilişi vardır.

Permütasyon P(n, r)

n farklı nesneden r tanesini seçip sıraya dizme sayısına n'nin r'li permütasyonu denir ve P(n, r) ile gösterilir (r ≤ n).

P(n, r) = n × (n − 1) × ... × (n − r + 1) = n! / (n − r)!

Neden böyle? Artık n yerin hepsini değil, sadece r yeri dolduruyoruz. Birinci yere n, ikinci yere (n − 1), ... seçenek vardır ve bu şekilde tam r tane sayı çarparız. Formüldeki n! / (n − r)! ifadesi, n!'in sonundaki gereksiz (n − r)! kısmını sadeleştirip atmanın yoludur. Örneğin P(7, 3) = 7! / 4! = 7 × 6 × 5 olur. r = n alırsak P(n, n) = n! / 0! = n! bulunur; bu da 0! = 1 kuralının neden gerekli olduğunu bir kez daha gösterir.

Özel durumlar

• Tekrarlı elemanlar: n nesneden bazıları birbirinin aynıysa (örneğin a tanesi aynı, b tanesi aynı), diziliş sayısı n! / (a! × b!) olur. Neden? Aynı nesnelerin kendi aralarında yer değiştirmesi yeni bir diziliş oluşturmaz; bu yüzden fazladan sayılan durumları a! ve b! ile bölerek çıkarırız.
• Yan yana olma: Yan yana olacak nesneleri tek bir blok (tek nesne) gibi düşünürüz. Blokla birlikte kalanları dizeriz, sonra blok içindekilerin kendi aralarındaki sıralamasıyla çarparız.
• Dairesel sıralama: n farklı nesne yuvarlak bir masaya (n − 1)! şekilde dizilir. Neden? Dairede başlangıç noktası yoktur; herkes bir sandalye kayarsa diziliş değişmez. Bu yüzden bir kişiyi sabitleyip kalan (n − 1) kişiyi sıralarız.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

Farklı renkte 5 kalem bir kutuya yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm:

1. adım: 5 farklı nesnenin tamamı sıralanıyor, bu yüzden 5! hesaplanır.

2. adım: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1

3. adım: 5 × 4 = 20, 20 × 3 = 60, 60 × 2 = 120, 120 × 1 = 120

Sonuç: 120 farklı diziliş

Örnek 2 (kolay)

7 kişilik bir kulüpten başkan, başkan yardımcısı ve sayman seçilecektir. Bir kişi yalnız bir görev alabilir. Kaç farklı seçim yapılabilir?

Çözüm:

1. adım: Görevler farklı olduğundan sıra önemlidir; bu bir P(7, 3) sorusudur.

2. adım: Başkan için 7, yardımcı için 6, sayman için 5 seçenek vardır.

3. adım: P(7, 3) = 7 × 6 × 5 = 210

Sonuç: 210 farklı seçim

Örnek 3 (orta)

0, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak rakamları birbirinden farklı kaç tane üç basamaklı sayı yazılabilir?

Çözüm:

1. adım: Yüzler basamağına 0 gelemez (yoksa sayı iki basamaklı olur). Bu basamak için 1, 2, 3, 4 olmak üzere 4 seçenek vardır.

2. adım: Onlar basamağına 0 dahil kalan 4 rakamdan biri gelebilir: 4 seçenek.

3. adım: Birler basamağına kalan 3 rakamdan biri gelir: 3 seçenek.

4. adım: 4 × 4 × 3 = 48

Sonuç: 48 sayı

Örnek 4 (orta)

ANANAS kelimesinin harfleri yer değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?

Çözüm:

1. adım: Toplam 6 harf var: A üç tane, N iki tane, S bir tane.

2. adım: Harfler farklı olsaydı 6! = 720 diziliş olurdu.

3. adım: Üç A'nın kendi arasındaki 3! = 6 ve iki N'nin kendi arasındaki 2! = 2 yer değişimi yeni kelime oluşturmaz.

4. adım: 720 / (6 × 2) = 720 / 12 = 60

Sonuç: 60 farklı kelime

Örnek 5 (orta-zor)

A, B, C, D, E adlı 5 kişi bir sıraya oturacaktır. A ile B yan yana olmak koşuluyla kaç farklı oturuş vardır? A ile B yan yana olmazsa kaç farklı oturuş vardır?

Çözüm:

1. adım: A ile B'yi tek bir blok [AB] gibi düşünelim. Artık [AB], C, D, E olmak üzere 4 birim var.

2. adım: 4 birim 4! = 24 şekilde sıralanır.

3. adım: Blok içinde AB ya da BA olabilir: 2! = 2.

4. adım: Yan yana olma durumu: 24 × 2 = 48

5. adım: Tüm oturuşlar 5! = 120 olduğundan yan yana olmama durumu: 120 − 48 = 72

Sonuç: Yan yana: 48, yan yana değil: 72

Örnek 6 (zor)

6 kişi yuvarlak bir masanın etrafına kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözüm:

1. adım: Dairesel sıralamada bir kişiyi sabitleriz; çünkü herkes aynı yöne bir sandalye kaydığında oturuş düzeni değişmez.

2. adım: Kalan 5 kişi 5! şekilde sıralanır.

3. adım: (6 − 1)! = 5! = 120

Sonuç: 120 farklı oturuş

Sınav taktiği (TYT)

TYT'de permütasyon soruları genellikle kısa hikâyeli, tek adımlı ya da iki adımlı sorulardır. Bu tür bir soruya yaklaşık 1–1,5 dakika ayırmak makul bir hedeftir. Önce kendinize şunu sorun: Sıra önemli mi? Görevler farklıysa, yerler numaralıysa, sayı ya da şifre oluşturuluyorsa sıra önemlidir. Şık elerken şunu kullanın: Yan yana dizilişli sorularda sonuç genellikle bir faktöriyelin katıdır; tekrarlı harf sorularında sonuç, harflerin tamamı farklı olsaydı çıkacak n! değerinden küçük olmalıdır. "Yan yana olmasın" sorularında cevap, "tümü eksi yan yana" ile kontrol edilebilir.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 0! = 0 → Doğrusu: 0! = 1. Çünkü 1! = 1 × 0! eşitliği ancak böyle sağlanır.
• Yanlış: (2 + 3)! = 2! + 3! = 8 → Doğrusu: (2 + 3)! = 5! = 120. Faktöriyel toplama işlemine dağıtılmaz.
• Yanlış: 6! / 3! = 2! → Doğrusu: 6! / 3! = 6 × 5 × 4 = 120. Faktöriyeller sayı gibi bölünmez; açıp sadeleştirmek gerekir.
• Yanlış: Yan yana olacak 2 kişiyi blok yapıp sadece 4! yazmak → Doğrusu: 4! × 2!. Blok içindeki kişilerin kendi aralarında yer değiştirmesi unutulmamalıdır.
• Yanlış: 5 kişinin yuvarlak masaya oturuşu 5! = 120 → Doğrusu: (5 − 1)! = 4! = 24. Dairede dönme sonucu oluşan dizilişler aynı sayılır.

Alıştırma

• 1) 6! kaçtır?
• 2) 8! / 6! işleminin sonucu kaçtır?
• 3) P(5, 2) kaçtır?
• 4) 10 atletin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı şekilde oluşabilir?
• 5) KİTAP kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
• 6) ADANA kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 5 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
• 7) 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3 rakamlarının tamamı kullanılarak kaç farklı 7 basamaklı sayı yazılabilir?
• 8) 5 kişi yuvarlak bir masaya kaç farklı şekilde oturabilir?
• 9) 6 kişi bir sıraya oturacaktır. Belirli 3 kişi yan yana olmak koşuluyla kaç farklı oturuş vardır?
• 10) 4 kişi bir sıraya oturacaktır. Belirli 2 kişi yan yana olmamak koşuluyla kaç farklı oturuş vardır?

Cevap Anahtarı

• 1) 720 — 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.
• 2) 56 — 8! = 8 × 7 × 6! olduğundan sadeleşince 8 × 7 = 56 kalır.
• 3) 20 — İlk yere 5, ikinci yere 4 seçenek: 5 × 4 = 20.
• 4) 720 — P(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720.
• 5) 120 — 5 farklı harf olduğundan 5! = 120.
• 6) 20 — 3 tane A olduğundan 5! / 3! = 120 / 6 = 20.
• 7) 210 — 7! / (2! × 2! × 3!) = 5040 / 24 = 210.
• 8) 24 — Dairesel sıralama: (5 − 1)! = 4! = 24.
• 9) 144 — Blok + 3 kişi = 4 birim: 4! × 3! = 24 × 6 = 144.
• 10) 12 — Tümü 4! = 24, yan yana olanlar 3! × 2! = 12, fark 24 − 12 = 12.

Dersin özeti

• n! = n × (n − 1) × ... × 1 ifadesi, n farklı nesnenin kaç şekilde sıralanacağını verir; 0! = 1'dir.
• n nesneden r tanesini sıralamak için P(n, r) = n! / (n − r)! kullanılır; bu, çarpma ilkesinin kısa yazılışıdır.
• Tekrarlı elemanlarda n! değeri, aynı elemanların sayılarının faktöriyellerine bölünür.
• Yan yana olma sorularında blok yöntemi kullanılır; blok içi sıralama da çarpılır. "Yan yana olmasın" için tümünden yan yana olanlar çıkarılır.
• Dairesel sıralamada n nesne (n − 1)! şekilde dizilir. Bir sonraki derste sıranın önemli olmadığı seçimleri, yani kombinasyonu öğreneceğiz; orada permütasyondaki fazla sayılan sıralamaları bölerek atacağız.