Olasılık Kuralları: Tümleyen, Birleşim ve Bağımsız Olaylar

Günlük hayattan giriş

Önceki derste olasılığın temel tanımını gördük: Tüm durumların eşit olasılıklı olduğu bir deneyde bir olayın olasılığı, istenen durum sayısı ÷ tüm durum sayısı ile bulunur. Bu tanımla tek bir olayı rahatça hesaplayabiliyoruz. Ama günlük hayatta sorular çoğu zaman birden fazla olayı birlikte içerir: “Yarın yağmur yağmama olasılığı nedir?”, “Bu öğrenci ya basketbol ya da voleybol oynuyor mu?”, “Hem otobüsü yakalayıp hem de sınava zamanında girer miyim?”

Bir hava durumu uygulaması yağış olasılığını %30 olarak gösteriyorsa, yağmur yağmama olasılığının %70 olduğunu hemen söyleriz. Farkında olmadan tümleyen kuralını kullanmış oluruz. Bir sınıfta hem matematik kulübüne hem de satranç kulübüne üye olan öğrencileri sayarken iki kez saymamaya dikkat ederiz. Bu da birleşim kuralının ta kendisidir. Bir parayı atıp ardından zar attığımızda paranın sonucu zarı etkilemez. Bu durumda da bağımsız olaylar ve çarpma kuralı devreye girer.

Bu derste bu üç kuralı ezberlemeyeceğiz. Her birinin neden doğru olduğunu sayma mantığıyla göstereceğiz. Kuralların hepsi aslında “durumları doğru saymak” fikrinden çıkıyor. Sayma derslerinde öğrendiğimiz kombinasyonu da bu derste olasılık sorularında araç olarak kullanacağız.

Tanım ve kural

1) Tümleyen olay: A bir olay olsun. A’nın gerçekleşmediği bütün durumlardan oluşan olaya A’nın tümleyeni denir ve A' ile gösterilir. Örnek uzaydaki her sonuç ya A’nın içindedir ya da A'nün içindedir. İkisinde birden olamaz, ikisinin dışında da kalamaz. Bu yüzden n(A) + n(A') = n(E) olur. İki tarafı n(E)’ye bölersek P(A) + P(A') = 1 bulunur. Buradan da P(A') = 1 − P(A) gelir.

2) Ayrık olaylar ve toplama kuralı: A ile B’nin ortak elemanı yoksa, yani A ∩ B = ∅ ise bu olaylara ayrık olaylar denir. Böyle olaylarda “A veya B” olayının durum sayısı n(A) + n(B) olur. Bu yüzden P(A ∪ B) = P(A) + P(B) yazılır.

3) Genel birleşim kuralı: A ile B’nin ortak elemanları varsa, n(A) + n(B) toplamında bu ortak elemanlar iki kez sayılmış olur: bir kez A’nın içinde, bir kez de B’nin içinde. Fazladan sayılan kısmı bir kez çıkarmamız gerekir: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Her terimi n(E)’ye bölersek P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) elde ederiz. Ayrık olaylarda P(A ∩ B) = 0 olduğundan 2. kural, bu genel kuralın özel bir hâlidir.

4) Bağımsız olaylar ve çarpma kuralı: Bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız denir. Para atıp zar atma örneğini düşünelim. Toplam 2 × 6 = 12 eşit olasılıklı sonuç vardır. “Yazı ve 6” sonucu bunlardan yalnızca biridir, olasılığı 1/12’dir. Bu da 1/2 × 1/6 sonucuna eşittir. Genel olarak, bağımsız olaylar için P(A ∩ B) = P(A) × P(B) yazılır. Neden çarpma yapıyoruz? Çünkü saymanın çarpma ilkesine göre iki aşamalı bir deneyin sonuç sayısı, aşamaların sonuç sayılarının çarpımıdır.

TYT/AYT için taktik

• Bu konudan gelen sorular çoğunlukla kısa hesap sorularıdır. Soru başına 1,5–2 dakika hedefleyin.
• Soruda “en az bir” geçiyorsa hemen tümleyeni düşünün: 1 − (hiç olmaması).
• Şık eleme: Olasılık 0 ile 1 arasında olmalıdır. 1’den büyük ya da negatif çıkan şıklar doğrudan elenir. “Veya” olayının olasılığı, olaylardan her birinin olasılığından küçük olamaz. “Ve” olayının olasılığı ise her birinden büyük olamaz.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (tümleyen): Bir zar atılıyor. Zarın 6 gelmeme olasılığı kaçtır?

Çözüm:

A: “6 gelmesi” olsun. P(A) = 1/6 olur.

İstenen olay A'dır. P(A') = 1 − 1/6 hesaplanır.

Sonuç: 5/6

Örnek 2 (ayrık olaylar): Bir zar atılıyor. Zarın çift sayı veya 5 gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Çift sayılar {2, 4, 6} kümesidir, olasılığı 3/6’dır. 5 gelmesinin olasılığı 1/6’dır.

5 çift sayı değildir. Bu yüzden olaylar ayrıktır ve olasılıklar doğrudan toplanır.

3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3

Örnek 3 (genel birleşim): 1’den 20’ye kadar (20 dâhil) numaralanmış kartlardan biri rastgele çekiliyor. Kartın 2’ye veya 3’e bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

2’ye bölünenler: 2, 4, …, 20. Toplam 10 sayı vardır.

3’e bölünenler: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Toplam 6 sayı vardır.

Hem 2’ye hem 3’e bölünenler 6’ya bölünen sayılardır: 6, 12, 18. Toplam 3 sayı vardır. Bu sayılar iki kez sayıldı.

n(A ∪ B) = 10 + 6 − 3 = 13

P = 13/20

Örnek 4 (bağımsız olaylar): Bir para ve bir zar birlikte atılıyor. Paranın yazı, zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm:

P(yazı) = 1/2 olur.

Zardaki asal sayılar 2, 3 ve 5’tir. P(asal) = 3/6 = 1/2 olur.

Para ve zar birbirini etkilemez, yani olaylar bağımsızdır. Bu yüzden olasılıklar çarpılır: 1/2 × 1/2.

Sonuç: 1/4

Örnek 5 (en az bir, tümleyen ve çarpma birlikte): Bir basketbolcunun her serbest atışta isabet olasılığı 0,7’dir ve atışlar birbirinden bağımsızdır. 3 atışta en az bir isabet olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

“En az bir isabet” olayının tümleyeni “hiç isabet olmaması”dır.

Bir atışta ıska olasılığı 1 − 0,7 = 0,3 olur.

Üç atışın üçünde de ıska olasılığı: 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,027

İstenen olasılık: 1 − 0,027 = 0,973

Örnek 6 (sayma ile birleşik olasılık): Bir torbada 4 kırmızı ve 6 mavi top vardır. Torbadan geri konmadan 2 top çekiliyor. İki topun da aynı renkte olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

10 toptan 2 top seçme sayısı: C(10, 2) = (10 × 9) ÷ 2 = 45

İkisinin de kırmızı olduğu seçimlerin sayısı: C(4, 2) = (4 × 3) ÷ 2 = 6

İkisinin de mavi olduğu seçimlerin sayısı: C(6, 2) = (6 × 5) ÷ 2 = 15

“İkisi kırmızı” ile “ikisi mavi” olayları ayrıktır, bu yüzden toplanır: 6 + 15 = 21

P = 21/45 = 7/15

Örnek 7 (aynı torba, en az biri kırmızı): Aynı torbadan geri konmadan çekilen 2 toptan en az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

Tümleyen olay “hiç kırmızı olmaması”, yani iki topun da mavi olmasıdır. Olasılığı 15/45’tir.

1 − 15/45 = 30/45 = 2/3

Kontrol edelim: Bir kırmızı ve bir mavi seçme sayısı 4 × 6 = 24’tür. İki kırmızı seçme sayısı 6’dır. Toplam 24 + 6 = 30 olur ve 30/45 = 2/3 çıkar. Sonuç doğrudur.

Sık yapılan hatalar

• Ortak elemanları iki kez saymak: 1–20 sorusunda 10/20 + 6/20 = 16/20 demek yanlıştır. Doğrusu, 6, 12 ve 18 bir kez çıkarılarak bulunan 13/20’dir.
• Ayrık ile bağımsızı karıştırmak: Ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemez. Olasılıkları sıfırdan büyük iki ayrık olay bağımsız olamaz, çünkü biri olursa diğerinin olasılığı 0’a düşer. “Veya” kelimesi toplamayı, “ve” kelimesi (bağımsızlık varsa) çarpmayı gösterir.
• “En az bir” sorusunda olasılıkları toplamak: 3 atışta en az bir isabet için 0,7 + 0,7 + 0,7 = 2,1 bulmak yanlıştır, çünkü olasılık 1’i geçemez. Doğrusu 1 − 0,3³ = 0,973’tür.
• Geri koymadan çekişte olasılığı sabit sanmak: 4 kırmızı ve 6 mavi toptan iki kırmızı çekme olasılığını 4/10 × 4/10 diye hesaplamak yanlıştır. İlk top çekildikten sonra torbada 3 kırmızı ve 9 top kalır. Doğrusu 4/10 × 3/9 = 2/15’tir. Bu sonuç C(4,2)/C(10,2) = 6/45 = 2/15 ile aynıdır.
• Tümleyeni ters sanmak: P(A) = 0,25 iken P(A')’yi 1/0,25 = 4 olarak bulmak yanlıştır. Doğrusu 1 − 0,25 = 0,75’tir.

Alıştırma

1) P(A) = 0,35 ise P(A') kaçtır?

2) Bir zar atılıyor. Zarın 3’ten büyük gelmeme olasılığı kaçtır?

3) P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 ve P(A ∩ B) = 0,2 ise P(A ∪ B) kaçtır?

4) A ve B ayrık olaylardır. P(A) = 1/3 ve P(B) = 1/4 ise P(A ∪ B) kaçtır?

5) 1’den 30’a kadar (30 dâhil) sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının 3’e veya 5’e bölünebilme olasılığı kaçtır?

6) İki para birlikte atılıyor. İkisinin de tura gelme olasılığı kaçtır?

7) A ve B bağımsız olaylardır. P(A) = 0,6 ve P(B) = 0,5 ise P(A ∪ B) kaçtır?

8) Bir zar 2 kez atılıyor. En az bir kez 6 gelme olasılığı kaçtır?

9) Bir torbada 3 kırmızı ve 5 beyaz top vardır. Torbadan geri konmadan 2 top çekiliyor. İkisinin de beyaz olma olasılığı kaçtır?

10) Aynı torbadan geri konmadan çekilen 2 toptan en az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 0,65: 1 − 0,35 hesaplanır.
• 2) 1/2: 3’ten büyük gelmeme olayı {1, 2, 3} kümesidir, yani 3/6 = 1/2.
• 3) 0,7: 0,4 + 0,5 − 0,2 = 0,7.
• 4) 7/12: Olaylar ayrık olduğundan 4/12 + 3/12 = 7/12.
• 5) 7/15: 3’e bölünen 10, 5’e bölünen 6, 15’e bölünen 2 sayı vardır. 10 + 6 − 2 = 14 ve 14/30 = 7/15.
• 6) 1/4: Paralar bağımsız olduğundan 1/2 × 1/2 = 1/4.
• 7) 0,8: Bağımsızlıktan P(A ∩ B) = 0,3 olur, sonra 0,6 + 0,5 − 0,3 = 0,8.
• 8) 11/36: Hiç 6 gelmeme olasılığı (5/6)² = 25/36’dır, 1 − 25/36 = 11/36.
• 9) 5/14: C(5,2) = 10 ve C(8,2) = 28 olduğundan 10/28 = 5/14.
• 10) 9/14: Tümleyeni “ikisi de beyaz” olayıdır, 1 − 5/14 = 9/14.

Dersin özeti

• Bir olay ya gerçekleşir ya da gerçekleşmez. Bu yüzden P(A) + P(A') = 1 ve P(A') = 1 − P(A) olur. “En az bir” sorularında tümleyen en kısa yoldur.
• Ayrık olaylarda P(A ∪ B) = P(A) + P(B) yazılır. Ortak eleman varsa iki kez sayılan kısım bir kez çıkarılır: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Bağımsız olaylarda P(A ∩ B) = P(A) × P(B) olur. Bu kural saymanın çarpma ilkesinden gelir.
• Geri koymadan yapılan çekişlerde olasılık her adımda değişir. Kombinasyonla saymak ya da kalan top sayısını güncellemek aynı sonucu verir.
• Sonraki derste olasılıktan istatistiğe geçeceğiz. Verileri ortalama gibi ölçülerle özetlemeyi öğreneceğiz. Bu derste kullandığımız “doğru sayma” ve “parça ÷ bütün” düşüncesi orada da işimize yarayacak.