Sayma Kuralları: Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma

Merhaba, Olasılık ve İstatistik Temelleri kursuna hoş geldin! Bu kursta sayma yöntemlerinden başlayıp olasılığa, ortalamalara ve grafik okumaya kadar ilerleyeceğiz. Olasılık hesabının temeli, olası durumları doğru saymaktır. Bu yüzden ilk derste en temel iki araçla başlıyoruz: toplama kuralı ve çarpma kuralı. Amacımız formül ezberlemek değil, hangi durumda neden toplayıp neden çarptığımızı anlamak.

Günlük hayattan giriş

Sabah okula hazırlanırken dolabını açtığını düşün. 3 gömleğin ve 4 pantolonun var. Kaç farklı şekilde giyinebilirsin? Bir gömlek ve bir pantolon seçmen gerekiyor. Her gömleğin yanına 4 pantolonun her biri gelebilir. Tek tek yazmaya başlarsan kısa sürede sayının 3 + 4 = 7 değil, çok daha fazla olduğunu görürsün.

Şimdi farklı bir durum düşünelim: Kantindesin ve karnın aç. Kantinde 4 çeşit tost, 3 çeşit sandviç var ama yalnızca bir yiyecek alacak kadar paran var. Bu kez ya bir tost ya da bir sandviç seçeceksin. İkisini birden almayacaksın. Burada seçeneklerin sayısı 4 + 3 = 7 olur.

Telefonunun ekran kilidindeki şifre, bir bankamatik kartının PIN kodu, arabaların plakaları, bir yemek menüsünden seçim yapmak… Bunların hepsinde “Kaç farklı olasılık var?” sorusu gizlidir. Bu soruları tek tek listeleyerek cevaplamak çoğu zaman imkânsızdır; örneğin 4 haneli bir PIN kodu için 10 000 olasılık vardır. İşte sayma kuralları, listelemeden doğru sayıya ulaşmamızı sağlar.

Tanım ve kural

Toplama kuralı (“ya o ya bu”)

Bir iş, birbirinden ayrık (aynı anda gerçekleşemeyen) iki farklı yolla yapılabiliyorsa ve birinci yolda m, ikinci yolda n seçenek varsa, işin yapılabileceği toplam seçenek sayısı m + n olur.

Neden? Çünkü seçeneklerin hepsi tek bir torbada toplanır ve biz bu torbadan yalnızca bir tane çekeriz. Kantin örneğinde 4 tost ile 3 sandviçi yan yana dizersek 7 yiyecek olur; bunlardan birini seçmenin 7 yolu vardır. Ayrık olma şartı önemlidir: Bir seçenek iki grupta birden bulunuyorsa, onu iki kez saymış oluruz.

Çarpma kuralı (“hem o hem bu”)

Bir iş art arda yapılan aşamalardan oluşuyorsa ve birinci aşama m yolla, ikinci aşama (birinci aşama nasıl yapılmış olursa olsun) n yolla yapılabiliyorsa, işin tamamı m × n yolla yapılabilir. Aşama sayısı arttıkça kural aynı şekilde devam eder: m × n × k × …

Neden? Birinci aşamadaki her seçenek, ikinci aşamadaki seçeneklerin her biriyle eşleşir. 3 gömlek ve 4 pantolon örneğinde, 1. gömlek 4 pantolonla, 2. gömlek 4 pantolonla, 3. gömlek de 4 pantolonla eşleşir. Yani 4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 kombin elde ederiz. Çarpma, aslında tekrarlı toplamanın kısa yoludur.

Aşağıdaki tablo iki kuralı karşılaştırıyor:

Bir ipucu: Soruyu okurken kendine “Seçimi bir kerede mi yapıyorum, yoksa birkaç adımda mı?” diye sor. Bir kerede yapılan seçim toplamaya, adım adım yapılan seçim çarpmaya götürür. Adımlardan birinde kısıtlama varsa (örneğin “0 başa gelemez”), saymaya en kısıtlı adımdan başlamak işini kolaylaştırır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

Bir kütüphanede 6 macera romanı ve 5 bilim kurgu romanı vardır. Ali bu kitaplardan yalnızca birini ödünç alacaktır. Kaç farklı seçim yapabilir?

Çözüm:

Adım 1: Ali tek bir kitap seçecek: ya macera ya bilim kurgu. Bu bir “ya o ya bu” durumudur.

Adım 2: İki grup ayrıktır; bir kitap aynı anda iki grupta değildir.

Adım 3: Toplama kuralı: 6 + 5 = 11.

Sonuç: 11 farklı seçim.

Örnek 2 (kolay)

Elif’in 3 gömleği, 4 pantolonu ve 2 çift ayakkabısı vardır. Birer gömlek, pantolon ve ayakkabı seçerek kaç farklı kombin yapabilir?

Çözüm:

Adım 1: Elif hem gömlek hem pantolon hem ayakkabı seçecek. Bu üç aşamalı bir iştir.

Adım 2: Gömlek için 3, pantolon için 4, ayakkabı için 2 seçenek var.

Adım 3: Çarpma kuralı: 3 × 4 = 12, sonra 12 × 2 = 24.

Sonuç: 24 farklı kombin.

Örnek 3 (orta)

Bir telefonun kilit şifresi 4 haneden oluşur ve her hane 0–9 arasındaki rakamlardan biridir. Rakamlar tekrar edebilir. Kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Çözüm:

Adım 1: Şifre dört aşamada oluşur: 1. hane, 2. hane, 3. hane, 4. hane.

Adım 2: Tekrar serbest olduğu için her hanede 10 seçenek vardır (şifrede baştaki 0 sorun değildir, çünkü şifre bir sayı değil, rakam dizisidir).

Adım 3: Çarpma kuralı: 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴ = 10 000.

Sonuç: 10 000 farklı şifre.

Örnek 4 (orta)

{1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı kaç tane üç basamaklı sayı yazılabilir?

Çözüm:

Adım 1: Üç basamaklı sayıyı üç kutu gibi düşün: yüzler – onlar – birler.

Adım 2: Yüzler basamağına 5 rakamdan biri gelebilir: 5 seçenek.

Adım 3: Onlar basamağına, yüzlerde kullanılan rakam dışındaki 4 rakamdan biri gelir: 4 seçenek.

Adım 4: Birler basamağına, kullanılan iki rakam dışındaki 3 rakamdan biri gelir: 3 seçenek.

Adım 5: Çarpma kuralı: 5 × 4 × 3 = 60.

Sonuç: 60 sayı.

Örnek 5 (orta-zor)

{0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı kaç tane üç basamaklı sayı yazılabilir?

Çözüm:

Adım 1: Bu kez 0 da var. Üç basamaklı bir sayının yüzler basamağı 0 olamaz (042 aslında iki basamaklı 42 sayısıdır). En kısıtlı basamak yüzler basamağıdır; oradan başlarız.

Adım 2: Yüzler basamağı: 0 hariç {1, 2, 3, 4} → 4 seçenek.

Adım 3: Onlar basamağı: 5 rakamdan yüzlerde kullanılanı çıkarırız; artık 0 kullanılabilir → 4 seçenek.

Adım 4: Birler basamağı: kullanılan iki rakam çıkınca → 3 seçenek.

Adım 5: Çarpma kuralı: 4 × 4 × 3 = 48.

Sonuç: 48 sayı.

Örnek 6 (zor – toplama ve çarpma birlikte)

{0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı kaç tane üç basamaklı çift sayı yazılabilir?

Çözüm:

Adım 1: Sayının çift olması için birler basamağı 0, 2 veya 4 olmalı. Ancak 0 hem birler hem yüzler basamağını etkilediği için durumu ikiye ayırırız. Bu iki durum ayrıktır; sonunda toplayacağız.

Adım 2 (1. durum, birler basamağı 0): Birler: 1 seçenek. Yüzler: kalan {1, 2, 3, 4} → 4 seçenek. Onlar: kalan 3 rakam → 3 seçenek. Toplam: 1 × 4 × 3 = 12.

Adım 3 (2. durum, birler basamağı 2 veya 4): Birler: 2 seçenek. Yüzler: 0 olamaz ve birlerdeki rakam kullanılamaz; 5 − 2 = 3 seçenek. Onlar: kullanılan iki rakam dışında kalan 3 rakam (0 dahil) → 3 seçenek. Toplam: 2 × 3 × 3 = 18.

Adım 4: Durumlar ayrık olduğundan toplama kuralı: 12 + 18 = 30.

Sonuç: 30 sayı.

Örnek 7 (zor – yol problemi)

A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden C şehrine 2 farklı yol vardır. Ayrıca A’dan C’ye B’ye uğramadan giden 4 farklı yol daha vardır. A’dan C’ye kaç farklı yoldan gidilebilir?

Çözüm:

Adım 1: A’dan C’ye ya B üzerinden ya da doğrudan gidilir. Bu iki durum ayrıktır; sonunda toplanır.

Adım 2: B üzerinden gitmek iki aşamalıdır: önce A→B (3 yol), sonra B→C (2 yol). Çarpma kuralı: 3 × 2 = 6.

Adım 3: Doğrudan gitmek: 4 yol.

Adım 4: Toplama kuralı: 6 + 4 = 10.

Sonuç: 10 farklı yol.

Sık yapılan hatalar

• Aşamalı işte toplamak. Yanlış: “3 gömlek, 4 pantolon → 3 + 4 = 7 kombin.” Doğrusu: Hem gömlek hem pantolon seçildiği için çarparız: 3 × 4 = 12.
• 0’ı yüzler basamağına koymak. Yanlış: “{0, 1, 2, 3, 4} ile rakamları farklı üç basamaklı sayılar: 5 × 4 × 3 = 60.” Doğrusu: Yüzler basamağı 0 olamaz: 4 × 4 × 3 = 48.
• Tekrarlı ile tekrarsızı karıştırmak. Yanlış: “Rakamlar tekrar edebilir” denmişken 10 × 9 × 8 yazmak. Doğrusu: Tekrar serbestse her basamakta tüm seçenekler kullanılır: 10 × 10 × 10 = 1000. “Rakamları farklı” ifadesine dikkat et.
• Ayrık olmayan grupları doğrudan toplamak. Yanlış: “1’den 20’ye kadar 2’ye veya 5’e bölünen sayılar: 10 + 4 = 14.” Doğrusu: 10 ve 20 hem 2’ye hem 5’e bölünür, iki kez sayılmıştır: 10 + 4 − 2 = 12.
• Kısıtlı basamaktan başlamamak. Çift sayı veya “0 başa gelemez” gibi şartlar varken saymaya soldan rastgele başlamak, hesabı karıştırır. Önce şartlı basamakları doldur, gerekirse durumlara ayır.

Alıştırma

• 1) Bir öğrenci kulübe katılmak için 4 spor kulübü ve 5 sanat kulübünden yalnızca birini seçecektir. Kaç farklı seçim yapabilir?
• 2) 4 tişört ve 3 şorttan birer tane seçilerek kaç farklı kıyafet oluşturulabilir?
• 3) Bir lokantada 3 çorba, 5 ana yemek ve 2 tatlı vardır. Her gruptan birer tane seçilerek kaç farklı menü oluşturulabilir?
• 4) Bir bavul kilidi 3 haneden oluşur, her hane 0–9 arası bir rakamdır ve rakamlar tekrar edebilir. Kaç farklı şifre vardır?
• 5) {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarıyla (rakamlar tekrar edebilir) kaç tane üç basamaklı sayı yazılabilir?
• 6) Aynı kümenin elemanlarıyla rakamları farklı kaç tane üç basamaklı sayı yazılabilir?
• 7) {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı kaç tane üç basamaklı sayı yazılabilir?
• 8) {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı kaç tane üç basamaklı tek sayı yazılabilir?
• 9) Bir madeni para art arda 3 kez atılıyor ve her atışın sonucu (yazı ya da tura) sırasıyla not ediliyor. Kaç farklı sonuç dizisi oluşabilir?
• 10) Bir şehirden diğerine 3 otobüs firması ve 2 tren seferi ile gidilebilir. Bir yolcu gidiş için bunlardan birini, dönüş için de gidişte kullandığından farklı birini seçecektir. Kaç farklı gidiş-dönüş planı yapabilir?

Cevap Anahtarı

• 1) 11 — Tek bir kulüp seçildiği için toplama kuralı: 4 + 5 = 11.
• 2) 12 — Hem tişört hem şort seçildiği için çarpma kuralı: 4 × 3 = 12.
• 3) 30 — Üç aşamalı seçim: 3 × 5 × 2 = 30.
• 4) 1000 — Tekrar serbest, her hanede 10 seçenek: 10 × 10 × 10 = 1000.
• 5) 216 — Her basamakta 6 seçenek: 6 × 6 × 6 = 6³ = 216.
• 6) 120 — Her adımda bir rakam azalır: 6 × 5 × 4 = 120.
• 7) 100 — Yüzler 0 olamaz (5 seçenek), onlar 5, birler 4: 5 × 5 × 4 = 100.
• 8) 36 — Birler basamağına 1, 3 veya 5 (3 seçenek), sonra yüzler 4, onlar 3: 3 × 4 × 3 = 36.
• 9) 8 — Her atışta 2 sonuç: 2 × 2 × 2 = 2³ = 8.
• 10) 20 — Gidiş için 3 + 2 = 5 seçenek, dönüş için gidişte kullanılan hariç 4 seçenek: 5 × 4 = 20.

Dersin özeti

• Toplama kuralı: Ayrık gruplardan yalnızca biri seçiliyorsa (“ya o ya bu”) seçenek sayıları toplanır: m + n.
• Çarpma kuralı: İş art arda aşamalardan oluşuyorsa (“hem o hem bu”) her aşamanın seçenek sayıları çarpılır: m × n × …; çünkü her seçenek sonraki aşamanın her seçeneğiyle eşleşir.
• “Rakamları farklı” ifadesi varsa her adımda seçenek sayısı bir azalır; tekrar serbestse her adımda seçenek sayısı aynı kalır.
• Üç basamaklı sayılarda yüzler basamağı 0 olamaz; şartlı basamaklardan (0, tek/çift gibi) başla, gerekirse durumlara ayırıp sonuçları topla.
• Gruplar ayrık değilse doğrudan toplama yapma; ortak elemanları bir kez çıkar. Sınavlarda seçenekleri yazmadan önce “tek seçim mi, aşamalı seçim mi?” sorusunu sormak, hatalı şıkları hızla elemeni sağlar.