Kombinasyon: Seçimin Önemli Olduğu Durumlar

Günlük hayattan giriş

Önceki derste permütasyonu öğrendik: nesneleri sıraya dizdiğimizde sıra değişince yeni bir durum ortaya çıkıyordu. Örneğin bir yarışmada birinci, ikinci ve üçüncüyü belirlemek bir sıralama işidir. Ali birinci, Ayşe ikinci olursa, bu durum Ayşe'nin birinci, Ali'nin ikinci olduğu durumdan farklıdır.

Ama hayattaki birçok seçimde sıranın hiçbir önemi yoktur. Sınıftan iki kişilik bir temsilci grubu seçerken “Ali ve Ayşe” ile “Ayşe ve Ali” aynı gruptur. Bir pizzaya üç malzeme seçerken önce mantar mı, önce mısır mı eklendiği sonucu değiştirmez. Bir futbol hocası 14 kişilik kadrodan maça çıkacak oyuncuları belirlerken de yalnızca kimlerin seçildiğine bakar.

Bu derste sıranın önemsiz olduğu bu tür seçimleri sayacağız. Bu işleme kombinasyon denir. Yeni bir formül ezberlemeyeceğiz; formülü permütasyondan kendimiz türeteceğiz. Böylece hangi soruda hangi yöntemi kullanacağınızı da “neden”iyle birlikte anlayacaksınız.

Tanım ve kural

Tanım: n farklı elemandan, sıra gözetmeksizin r tanesinin seçilmesine n'nin r'li kombinasyonu denir. C(n, r) biçiminde yazılır ve “n'nin r'lisi” diye okunur.

Formül nereden geliyor? A, B, C, D harflerinden 2 tanesini seçelim.

Sıra önemli olsaydı (permütasyon): AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC olurdu. Yani P(4, 2) = 4 × 3 = 12.

Sıra önemli olmayınca AB ile BA aynı gruptur. Her grup, kendi içinde 2! = 2 farklı biçimde sıralandığı için permütasyonda 2 kez sayılmıştır. O hâlde gerçek grup sayısı 12 ÷ 2 = 6'dır: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Genel olarak r elemanlı her grup kendi içinde r! biçimde sıralanabilir. Bu yüzden:

P(n, r) = C(n, r) × r! ve buradan C(n, r) = P(n, r) ÷ r!

P(n, r) = n! ÷ (n − r)! olduğundan, formülün tam hâli şudur:

C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!)

Pratik hesap: C(8, 3) için paya 8'den başlayıp aşağıya doğru 3 sayı yazın, paydaya 3! yazın: (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1) = 336 ÷ 6 = 56.

Önemli özellikler ve nedenleri:

• C(n, 0) = 1: Hiç eleman seçmemenin tek bir yolu vardır.
• C(n, n) = 1: Hepsini seçmenin tek bir yolu vardır.
• C(n, 1) = n: Tek eleman seçerken n farklı seçenek vardır.
• C(n, r) = C(n, n − r): r kişiyi seçmek, geride kalacak n − r kişiyi seçmekle aynı şeydir. Örneğin C(10, 8) = C(10, 2) = (10 × 9) ÷ 2 = 45.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 5 kişilik bir arkadaş grubundan 2 kişi markete gidecektir. Kaç farklı biçimde seçim yapılabilir?

Çözüm:

Markete giden iki kişinin sırası önemli değildir, bu yüzden kombinasyon kullanırız.

C(5, 2) = (5 × 4) ÷ (2 × 1)

= 20 ÷ 2

Sonuç: 10

Örnek 2: 6 kişiden (a) bir başkan ve bir yardımcı, (b) 2 kişilik bir temsilci grubu kaç farklı biçimde seçilir?

Çözüm:

(a) Görevler farklı olduğundan sıra önemlidir: P(6, 2) = 6 × 5 = 30.

(b) İki kişinin görevi aynıdır, sıra önemsizdir: C(6, 2) = 30 ÷ 2! = 15.

Görüldüğü gibi her grup permütasyonda 2 kez sayılmıştır.

Sonuç: (a) 30, (b) 15

Örnek 3: 6 kız ve 4 erkek öğrenci arasından 2 kız ve 2 erkekten oluşan 4 kişilik bir takım kaç farklı biçimde kurulur?

Çözüm:

Kızları seçmek: C(6, 2) = (6 × 5) ÷ 2 = 15.

Erkekleri seçmek: C(4, 2) = (4 × 3) ÷ 2 = 6.

Hem kızlar “ve” hem erkekler seçileceği için çarparız: 15 × 6 = 90.

Sonuç: 90

Örnek 4: 10 kişilik bir kulüpten 4 kişilik bir proje ekibi kurulacaktır. Ali ekipte mutlaka yer alacak, Veli ise yer almayacaktır. Kaç farklı ekip kurulabilir?

Çözüm:

Ali zaten seçildi; geriye 3 kişilik yer kaldı.

Veli seçilemeyeceği için Ali ve Veli dışındaki 10 − 2 = 8 kişiden seçim yapılır.

C(8, 3) = (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1) = 336 ÷ 6 = 56.

Sonuç: 56

Örnek 5 (en az): 5 kız ve 4 erkek arasından 3 kişilik bir komite seçilecektir. Komitede en az 1 kız bulunan kaç farklı seçim yapılabilir?

Çözüm:

“En az 1” içeren sorularda en kolay yol: tüm seçimlerden istenmeyen durumu çıkarmaktır.

Tüm seçimler: C(9, 3) = (9 × 8 × 7) ÷ 6 = 504 ÷ 6 = 84.

İstenmeyen durum, hiç kız olmaması, yani 3 kişinin de erkek olmasıdır: C(4, 3) = 4.

84 − 4 = 80.

Sonuç: 80

Örnek 6 (en çok): Aynı 5 kız ve 4 erkek arasından 4 kişilik bir ekip seçilecektir. Ekipte en çok 1 erkek olacaksa kaç farklı seçim yapılabilir?

Çözüm:

“En çok 1 erkek” demek, 0 erkek ya da 1 erkek demektir. Durumları ayrı ayrı sayıp toplarız.

0 erkek (4 kız): C(5, 4) = C(5, 1) = 5.

1 erkek + 3 kız: C(4, 1) × C(5, 3) = 4 × 10 = 40.

Toplam: 5 + 40 = 45.

Sonuç: 45

Örnek 7 (geometri): Düzlemde 8 nokta vardır ve bunlardan yalnızca 4 tanesi aynı doğru üzerindedir. Köşeleri bu noktalardan olan kaç üçgen çizilebilir?

Çözüm:

Üçgen için 3 nokta seçmek gerekir; noktaların sırası önemsizdir.

Tüm üçlüler: C(8, 3) = 56.

Aynı doğru üzerindeki 4 noktadan seçilen üçlüler üçgen oluşturmaz: C(4, 3) = 4.

56 − 4 = 52.

Sonuç: 52

Sık yapılan hatalar

• r! ile bölmeyi unutmak: C(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336 yazmak yanlıştır. Bu, permütasyondur. Doğrusu: 336 ÷ 3! = 56.
• “En az 1” sorusunda çift saymak: 5 kız ve 4 erkekten 3 kişilik komite için “önce 1 kız seç, sonra kalan 8 kişiden 2 kişi seç” deyip C(5, 1) × C(8, 2) = 5 × 28 = 140 bulmak yanlıştır. Çünkü aynı komite birden fazla kez sayılır. Doğrusu: 84 − 4 = 80.
• “Ve” ile “veya”yı karıştırmak: Seçimler birlikte yapılıyorsa (kızlar ve erkekler) sonuçlar çarpılır. Birbirinden ayrı durumlar söz konusuysa (0 erkek veya 1 erkek) sonuçlar toplanır.
• Görev farkını gözden kaçırmak: “Başkan, sekreter, sayman” gibi farklı görevler varsa sıra önemlidir ve permütasyon kullanılır. “3 kişilik komite” ifadesinde ise kombinasyon kullanılır.
• Büyük r ile uğraşmak: C(12, 10) hesabında 10 sayı çarpmak hem uzun sürer hem de hata riskini artırır. C(12, 10) = C(12, 2) = 66 yazmak daha güvenlidir.

Sınav taktiği (TYT/AYT): Kombinasyon soruları genellikle doğrudan seçim, takım veya komite kurma, “en az / en çok” ve geometri (doğru, üçgen) biçiminde gelir. Böyle bir soruya ortalama 1 ile 1,5 dakika ayırmayı hedefleyin. Şıkları elerken şu iki yolu kullanabilirsiniz: Kısıtlı bir seçimin sonucu kısıtsız seçimden büyük olamaz. Ayrıca aynı soru permütasyonla çözülünce çıkan sayı, kombinasyon sonucunun r! katıdır. Şıklarda bu sayıyı görürseniz büyük ihtimalle tuzak şıktır.

Alıştırma

• 1) C(6, 2) kaçtır?
• 2) C(7, 4) kaçtır?
• 3) C(12, 10) kaçtır?
• 4) 9 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı biçimde seçilir?
• 5) 5 öğretmen ve 6 öğrenci arasından 2 öğretmen ve 3 öğrenciden oluşan bir kurul kaç farklı biçimde oluşturulur?
• 6) 10 soruluk bir sınavda öğrenci 7 soru cevaplayacaktır. İlk 2 soru zorunlu ise kaç farklı seçim yapabilir?
• 7) Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 6 nokta vardır. Bu noktalardan ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir?
• 8) 3 kız ve 5 erkek arasından 3 kişilik bir ekip seçilecektir. Ekipte en az 1 kız olan kaç seçim vardır?
• 9) 7 kişilik bir kulüpten bir başkan ve bir sekreter kaç farklı biçimde seçilir?
• 10) C(n, 2) = 28 ise n kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) 15: (6 × 5) ÷ 2 = 15.
• 2) 35: C(7, 4) = C(7, 3) = 210 ÷ 6 = 35.
• 3) 66: C(12, 10) = C(12, 2) = 132 ÷ 2 = 66.
• 4) 84: C(9, 3) = 504 ÷ 6 = 84.
• 5) 200: C(5, 2) × C(6, 3) = 10 × 20 = 200.
• 6) 56: Kalan 8 sorudan 5 soru seçilir, C(8, 5) = C(8, 3) = 56.
• 7) 15: Her doğru 2 noktayla belirlenir, C(6, 2) = 15.
• 8) 46: C(8, 3) − C(5, 3) = 56 − 10 = 46.
• 9) 42: Görevler farklı olduğundan permütasyon kullanılır, P(7, 2) = 7 × 6 = 42.
• 10) 8: n(n − 1) ÷ 2 = 28 olduğundan n(n − 1) = 56 = 8 × 7, yani n = 8.

Dersin özeti

• Kombinasyon, sıranın önemsiz olduğu seçimlerin sayısıdır: C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!).
• Formül permütasyondan gelir: Her r elemanlı grup, permütasyonda r! kez sayıldığı için P(n, r) ÷ r! alınır.
• C(n, r) = C(n, n − r) özelliği hesapları kısaltır. Ayrıca C(n, 0) = C(n, n) = 1 ve C(n, 1) = n'dir.
• Birlikte yapılan seçimlerin sonuçları çarpılır, ayrı durumların sonuçları toplanır. “En az” sorularında tüm seçimlerden istenmeyen durumu çıkarmak genellikle en hızlı yoldur.
• Sonraki derste bu sayma araçlarını olasılık hesabında kullanacağız. Olasılık, istenen durum sayısının tüm durum sayısına oranıdır ve bu iki sayıyı çoğu zaman tam da bu derste öğrendiğimiz C(n, r) ile bulacağız.