Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri: Ortalama, Medyan, Mod, Açıklık ve Standart Sapma

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde olasılıkla belirsizliği sayılarla ifade etmeyi öğrendik ve verilerle çalışmaya başladık. Ancak elimizde çok sayıda veri olduğunda hepsini tek tek okumak zordur. Bir sınıfın 30 öğrencisinin sınav notlarını düşün. Öğretmen velilere 30 notu tek tek söylemek yerine genellikle bir iki sayıyla özet verir: “Sınıf ortalaması 72, notlar da birbirine oldukça yakın.” Bu cümlede iki farklı bilgi vardır. Birincisi verinin merkezi, yani notların genelde hangi değer çevresinde toplandığı. İkincisi verinin yayılımı, yani notların birbirinden ne kadar uzak olduğu.

Merkezi göstermek için tek bir ölçü her zaman yeterli olmaz. Bir şirkette beş çalışan ayda 20-26 bin TL arası maaş alırken patron 185 bin TL alıyorsa, “bu şirkette ortalama maaş 50 bin TL” demek doğru bir hesaptır ama durumu yanlış anlatır. Çalışanların hiçbiri 50 bin TL almamaktadır. İşte bu yüzden ortalamanın yanında medyan ve mod kavramlarına da ihtiyaç duyarız.

Yayılım da en az merkez kadar önemlidir. Aynı ortalamaya sahip iki sınıftan birinde herkes 80 civarında not almış olabilir, diğerinde notlar 60 ile 100 arasında dağılmış olabilir. Hava durumunda da benzer bir durum vardır: Ortalama sıcaklığı aynı olan iki şehirden birinde gece-gündüz farkı çok büyük olabilir. Bu derste merkezi eğilim ölçülerini (ortalama, medyan, mod) ve yayılım ölçülerini (açıklık, çeyrekler açıklığı, standart sapma) hem hesaplamayı hem de yorumlamayı öğreneceğiz.

Tanım ve kural

Merkezi eğilim ölçüleri

Aritmetik ortalama: Tüm verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür. Ortalama = (veriler toplamı) ÷ (veri sayısı). Neden? Toplamı herkese eşit paylaştırsaydık kişi başına düşecek miktar budur. Bu yüzden ortalama her veriden etkilenir; çok büyük ya da çok küçük tek bir değer (uç değer) ortalamayı kendine doğru çeker.

Medyan (ortanca): Veriler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortada kalan değerdir. Veri sayısı tek ise ortadaki sayı medyandır. Veri sayısı çift ise ortadaki iki sayının ortalaması medyandır. Neden? Medyan verileri iki eşit gruba ayırır: Verilerin yarısı medyandan küçük veya ona eşit, yarısı büyük veya ona eşittir. En büyük değer 100 de olsa 1000 de olsa sıralamada yine en sonda kalır, ortadaki değer değişmez. Bu yüzden medyan uç değerlerden etkilenmez.

Mod (tepe değer): Veri grubunda en çok tekrar eden değerdir. Birden fazla modu olan veri grupları da vardır. Her değer eşit sayıda tekrar ediyorsa mod yoktur. Mod, sayısal olmayan veriler için de kullanılabilir. Örneğin en çok satılan ayakkabı numarası ya da en çok tercih edilen renk.

Yayılım ölçüleri

Açıklık: En büyük değer − en küçük değer. Hesaplaması kolaydır ama yalnızca iki uç değere baktığı için tek bir aşırı değer açıklığı çok büyütebilir.

Çeyrekler açıklığı: Sıralı veri medyanla iki yarıya ayrılır. Alt yarının medyanı alt çeyrek (Q1), üst yarının medyanı üst çeyrek (Q3) olur. Çeyrekler açıklığı = Q3 − Q1. Bu ölçü verinin ortadaki yarısının ne kadar geniş bir aralığa yayıldığını gösterir ve uç değerlerden etkilenmez. Bu derste veri sayısı tek olduğunda ortadaki değeri (medyanı) iki yarıya da katmayacağız.

Standart sapma: Verilerin ortalamadan ortalama olarak ne kadar uzaklaştığını gösterir. Adımlar şunlardır:

• 1. adım: Aritmetik ortalamayı bul.
• 2. adım: Her verinin ortalamadan farkını bul.
• 3. adım: Bu farkların karelerini al ve topla.
• 4. adım: Toplamı (n − 1)'e böl. Burada n veri sayısıdır.
• 5. adım: Sonucun karekökünü al.

Neden kare alıyoruz? Farkları doğrudan toplasaydık ortalamanın altındaki negatif farklar ile üstündeki pozitif farklar birbirini götürür ve toplam her zaman 0 çıkardı. Kare alınca hepsi pozitif olur. Sonra karekök alarak birimi yeniden verinin birimine döndürürüz. Okulda örneklem veriyle çalıştığımız için ders kitaplarında (n − 1)'e bölme kullanılır. Standart sapma hiçbir zaman negatif olmaz. Tüm veriler eşitse standart sapma 0 olur. Standart sapma ne kadar büyükse veriler o kadar dağınıktır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (Aritmetik ortalama)

Bir öğrencinin beş sınav notu 70, 85, 90, 65 ve 80'dir. Not ortalamasını bulalım.

Çözüm:

Notların toplamı: 70 + 85 + 90 + 65 + 80 = 390

Veri sayısı: 5

Ortalama: 390 ÷ 5 = 78

Ortalama 78'dir.

Örnek 2 (Eksik değeri bulma)

Bir öğrencinin ilk 4 sınavının ortalaması 75'tir. Beşinci sınavdan kaç alırsa 5 sınavın ortalaması 78 olur?

Çözüm:

İlk 4 sınavın toplamı: 4 × 75 = 300

5 sınavın toplamı en az şu kadar olmalı: 5 × 78 = 390

Beşinci sınav notu: 390 − 300 = 90

Beşinci sınavdan 90 almalıdır.

İpucu: Ortalama sorularında önce “toplam = ortalama × veri sayısı” eşitliğini kullanmak işi çok kolaylaştırır.

Örnek 3 (Çift sayıda veride medyan)

12, 7, 15, 9, 20, 11 verilerinin medyanını bulalım.

Çözüm:

Önce küçükten büyüğe sıralarız: 7, 9, 11, 12, 15, 20

Veri sayısı 6, yani çift. Ortada iki sayı vardır: 3. ve 4. sıradaki 11 ile 12.

Medyan: (11 + 12) ÷ 2 = 23 ÷ 2 = 11,5

Medyan 11,5'tir.

Örnek 4 (Uç değer: hangi ölçü daha iyi temsil eder?)

Bir iş yerinde 6 kişinin aylık kazancı (bin TL olarak) şöyledir: 20, 22, 22, 25, 26, 185. Ortalama, medyan ve modu bulup hangisinin çalışanların durumunu daha iyi anlattığını yorumlayalım.

Çözüm:

Toplam: 20 + 22 + 22 + 25 + 26 + 185 = 300

Ortalama: 300 ÷ 6 = 50

Veriler zaten sıralı; ortadaki iki değer 22 ve 25. Medyan: (22 + 25) ÷ 2 = 23,5

En çok tekrar eden değer 22 (2 kez). Mod: 22

Yorum: 6 kişiden 5'i 26 bin TL veya daha az kazanıyor. Ortalama olan 50 bin TL'yi kimse kazanmıyor; bu değeri tek bir uç değer (185) yukarı çekmiş. Medyan ise uç değerden etkilenmediği için çoğunluğun durumunu yansıtıyor.

Ortalama = 50, medyan = 23,5, mod = 22. Bu veriyi en iyi temsil eden ölçü medyandır.

Örnek 5 (Açıklık ve çeyrekler açıklığı)

3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 21 verileri için açıklığı ve çeyrekler açıklığını bulalım.

Çözüm:

Veriler sıralı. Açıklık: 21 − 3 = 18

Veri sayısı 9 (tek). Medyan 5. sıradaki değer: 10

Alt yarı (medyan hariç): 3, 5, 7, 8. Ortadaki iki değer 5 ve 7. Q1 = (5 + 7) ÷ 2 = 6

Üst yarı (medyan hariç): 12, 14, 15, 21. Ortadaki iki değer 14 ve 15. Q3 = (14 + 15) ÷ 2 = 14,5

Çeyrekler açıklığı: 14,5 − 6 = 8,5

Açıklık 18, çeyrekler açıklığı 8,5'tir.

Yorum: 21 değeri diğerlerinden uzak olduğu için açıklığı büyütüyor. Çeyrekler açıklığı ise verilerin ortadaki yarısının 6 ile 14,5 arasında toplandığını söylüyor.

Örnek 6 (Standart sapma)

7, 7, 10, 13, 13 verilerinin standart sapmasını bulalım.

Çözüm:

1. adım: Toplam 7 + 7 + 10 + 13 + 13 = 50, ortalama 50 ÷ 5 = 10

2. adım: Ortalamadan farklar: −3, −3, 0, 3, 3

3. adım: Farkların kareleri: 9, 9, 0, 9, 9. Toplamları: 36

4. adım: n − 1 = 5 − 1 = 4. Bölme: 36 ÷ 4 = 9

5. adım: Karekök: √9 = 3

Standart sapma 3'tür.

Örnek 7 (Aynı ortalama, farklı yayılım)

A sınıfında beş öğrencinin notları 60, 70, 80, 90, 100; B sınıfında beş öğrencinin notları 78, 79, 80, 81, 82'dir. İki sınıfı karşılaştıralım.

Çözüm:

A'nın toplamı 400, ortalaması 400 ÷ 5 = 80. B'nin toplamı 400, ortalaması da 80.

Açıklık: A için 100 − 60 = 40; B için 82 − 78 = 4.

A'nın ortalamadan farkları: −20, −10, 0, 10, 20. Kareleri: 400, 100, 0, 100, 400. Toplam 1000. 1000 ÷ 4 = 250. Standart sapma √250 ≈ 15,81

B'nin ortalamadan farkları: −2, −1, 0, 1, 2. Kareleri: 4, 1, 0, 1, 4. Toplam 10. 10 ÷ 4 = 2,5. Standart sapma √2,5 ≈ 1,58

Ortalamalar eşit (80) ama A sınıfının standart sapması (≈ 15,81) B'ninkinden (≈ 1,58) çok büyük; A sınıfındaki notlar çok daha dağınıktır, B sınıfı daha homojendir.

Sık yapılan hatalar

• Sıralamadan medyan almak: 12, 7, 15 için “ortadaki 7'dir” demek yanlıştır. Doğrusu: Önce sırala (7, 12, 15), medyan 12'dir.
• Çift sayıda veride ortadaki sayılardan birini seçmek: 2, 4, 6, 8 için medyanı 4 ya da 6 demek yanlıştır. Doğrusu: (4 + 6) ÷ 2 = 5.
• Ortalamaların ortalamasını almak: 20 kişilik sınıfın ortalaması 60, 30 kişilik sınıfın ortalaması 80 ise genel ortalama (60 + 80) ÷ 2 = 70 değildir. Doğrusu: Toplamları kullan. (20 × 60 + 30 × 80) ÷ 50 = (1200 + 2400) ÷ 50 = 3600 ÷ 50 = 72.
• Farkları kare almadan toplamak: Ortalamadan farkların toplamı her zaman 0 çıkar; “yayılım 0” sonucu yanlıştır. Doğrusu: Farkların karesini al, sonra topla.
• Mod olmayan veride modu 0 demek: 3, 5, 8, 9 verisinde her değer bir kez geçer; mod 0 değildir, bu veri grubunun modu yoktur.

Alıştırma

• 1) 8, 12, 15, 9, 6 verilerinin aritmetik ortalaması kaçtır?
• 2) 14, 3, 9, 21, 7 verilerinin medyanı kaçtır?
• 3) 5, 1, 8, 3, 10, 6 verilerinin medyanı kaçtır?
• 4) 2, 5, 5, 7, 7, 7, 9 verilerinin modu kaçtır?
• 5) 18, 4, 27, 11, 9 verilerinin açıklığı kaçtır?
• 6) 6 sayının ortalaması 15'tir. Bu sayılardan biri çıkarılınca kalan 5 sayının ortalaması 14 oluyor. Çıkarılan sayı kaçtır?
• 7) 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 15 verilerinin çeyrekler açıklığı kaçtır?
• 8) 4, 6, 8 verilerinin standart sapması kaçtır?
• 9) 15 kişilik bir grubun ortalaması 70, 10 kişilik başka bir grubun ortalaması 80'dir. İki grubun birlikte ortalaması kaçtır?
• 10) Ortalaması 20, standart sapması 4 olan bir veri grubundaki her veriye 3 eklenirse yeni ortalama ve yeni standart sapma kaç olur?

Cevap Anahtarı

• 1) 10 — Toplam 50, veri sayısı 5; 50 ÷ 5 = 10.
• 2) 9 — Sıralı hâli 3, 7, 9, 14, 21; ortadaki değer 9.
• 3) 5,5 — Sıralı hâli 1, 3, 5, 6, 8, 10; (5 + 6) ÷ 2 = 5,5.
• 4) 7 — 7 değeri üç kez tekrar ederek en sık görülen değer olur.
• 5) 23 — En büyük 27, en küçük 4; 27 − 4 = 23.
• 6) 20 — 6 × 15 = 90 ve 5 × 14 = 70 olduğundan çıkarılan sayı 90 − 70 = 20.
• 7) 6,5 — Alt yarı 2, 4, 5, 7 ile Q1 = 4,5; üst yarı 9, 10, 12, 15 ile Q3 = 11; 11 − 4,5 = 6,5.
• 8) 2 — Ortalama 6, farkların kareleri 4, 0, 4 (toplam 8); 8 ÷ 2 = 4 ve √4 = 2.
• 9) 74 — (15 × 70 + 10 × 80) ÷ 25 = (1050 + 800) ÷ 25 = 1850 ÷ 25 = 74.
• 10) Ortalama 23, standart sapma 4 — Her veri 3 kaydığı için ortalama da 3 artar, ama verilerin birbirine uzaklığı değişmediğinden standart sapma aynı kalır.

Sınav notu: TYT'de bu konudaki sorular genellikle kısa sürede çözülecek şekilde hazırlanır. Şıklarda sık görülen tuzaklar, sıralanmamış verinin ortadaki değeri ve ortalamaların doğrudan ortalamasıdır. Önce veriyi sırala, ortalama sorularında da “toplam = ortalama × sayı” eşitliğini kullan. Standart sapma sorularında şıklarda negatif bir değer varsa hemen ele; standart sapma negatif olamaz. Ayrıca her veriye aynı sayı eklendiğinde yayılım ölçülerinin (açıklık, çeyrekler açıklığı, standart sapma) değişmediğini bilirsen birçok soruyu hesap yapmadan çözebilirsin.

Dersin özeti

• Aritmetik ortalama toplamın veri sayısına bölümüdür ve uç değerlerden çok etkilenir. Medyan sıralı verinin ortasıdır ve uç değerlerden etkilenmez. Mod en çok tekrar eden değerdir.
• Maaş, ev fiyatı gibi uç değer içeren verilerde medyan, genellikle veriyi ortalamadan daha iyi temsil eder.
• Açıklık en büyük ile en küçük değerin farkıdır. Çeyrekler açıklığı (Q3 − Q1) verinin ortadaki yarısının yayılımını gösterir ve uç değerlere karşı dayanıklıdır.
• Standart sapma şöyle bulunur: Farkların karelerini topla, (n − 1)'e böl, karekök al. Standart sapma büyüdükçe veri daha dağınık olur. Asla negatif olmaz; tüm veriler eşitse 0 olur.
• Bir sonraki derste bu ölçüleri grafiklerle birlikte kullanacağız. Sütun grafiği, çizgi grafiği ve kutu grafiği gibi gösterimleri okuyup verinin merkezini ve yayılımını grafikten yorumlamayı öğreneceğiz.