Prizmalar ve Silindir: Yüzey Alanı ve Hacim

Tahmini süre: 16 dk

Önceki derslerde düzlemdeki şekillerle çalıştık: çokgenlerin ve dairenin alanını hesapladık. Alan, düz bir yüzeyin ne kadar yer kapladığını söylüyordu. Bu derste bir adım öteye geçip üç boyutlu cisimlere bakacağız. Öğrendiğimiz alan formüllerini burada doğrudan kullanacağız; çünkü bir cismin yüzey alanı, yüzlerinin alanlarının toplamıdır. Hacmi bulmak için de yine tabanın alanına ihtiyaç duyacağız.

Günlük hayattan giriş

Bir hediye paketlediğini düşün. Kutunun her yüzünü kaplamak için ne kadar ambalaj kâğıdı gerektiğini merak edersin. İşte bu sorunun cevabı kutunun yüzey alanıdır. Bir teneke kutunun etiketi, bir odanın duvarlarına sürülecek boya ya da bir küpün her yüzüne yapıştırılan çıkartmalar da hep yüzey alanıyla ilgilidir.

Şimdi başka bir soru soralım: Bu kutunun içine kaç tane şeker sığar? Bir akvaryum kaç litre su alır? Bir silindir biçimindeki su deposu kaç litre su taşır? Bu sorular ise cismin içinin ne kadar yer kapladığını, yani hacmini sorar.

Kısacası yüzey alanı cismin dışını kaplamakla, hacim ise cismin içini doldurmakla ilgilidir. Bu farkı akılda tutmak, hangi formülü kullanacağına karar vermeni çok kolaylaştırır.

Tanım ve kural

Hacim ve birim küp

Ayrıtları 1 cm olan küpe 1 cm³'lük birim küp denir. Bir cismin hacmi, içine kaç birim küp sığdığını gösterir. Örneğin tabanı 4 cm'ye 3 cm olan bir kutunun tabanına 4 × 3 = 12 birim küp dizilir. Bu kutu 5 cm yüksekse üst üste 5 kat yapılır: 12 × 5 = 60 birim küp. İşte bu yüzden hacim şöyle bulunur:

Hacim = Taban alanı × Yükseklik

Neden böyle? Çünkü taban alanı bir katmanda kaç birim küp olduğunu söyler; yükseklik ise kaç kat olduğunu söyler. Katman sayısı ile bir katmandaki küp sayısını çarparız. Bu düşünce tabanı üçgen olan prizmada da, tabanı daire olan silindirde de aynen geçerlidir; yalnızca taban alanı farklı hesaplanır.

Hacim birimleri

1 dm = 10 cm olduğu için 1 dm³'lük küpün içine 10 × 10 × 10 = 1000 tane 1 cm³'lük küp sığar. Yani 1 dm³ = 1000 cm³. Sıvıların ölçüsünde kullandığımız litre ise 1 dm³'e eşittir: 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³. Buna göre 1 mL = 1 cm³ olur.

Yüzey alanı ve açınım

Bir kutuyu kenarlarından kesip düz bir masaya açtığımızı düşünelim. Ortaya çıkan düz şekle açınım denir. Yüzey alanı, açınımdaki tüm parçaların alanlarının toplamıdır.

Dikdörtgenler prizmasının açınımında 6 dikdörtgen vardır ve bunlar karşılıklı eşit üç çifttir. Bu yüzden a, b, c ayrıtları için yüzey alanı 2 × (a×b + a×c + b×c) olur. Küpün 6 yüzü de eş karedir: 6 × a².

Dik prizmada iki taban ve yan yüzler vardır. Yan yüzler açıldığında tek bir büyük dikdörtgen oluşturur: eni tabanın çevresi, boyu prizmanın yüksekliğidir.

Silindirin açınımı iki daire ve bir dikdörtgenden oluşur. Etiketi çıkarılan bir teneke kutuyu düşün: etiket açılınca dikdörtgen olur. Bu dikdörtgenin eni, dairenin çevresi olan 2πr'dir, çünkü etiket kutunun etrafını tam bir tur sarar. Boyu ise silindirin yüksekliği h'dir.

Not: LGS'de genellikle π yerine 3 alınır. Bu derste de aksi söylenmedikçe π = 3 kullanacağız.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Ayrıtları 5 cm, 3 cm ve 4 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmi ve yüzey alanı kaçtır?

Çözüm:

Hacim = 5 × 3 × 4 = 60 cm³

Yüz alanları: 5 × 3 = 15, 5 × 4 = 20, 3 × 4 = 12

Toplamı: 15 + 20 + 12 = 47

Her yüzden iki tane var: 2 × 47 = 94

Hacim 60 cm³, yüzey alanı 94 cm²

Örnek 2

Bir ayrıtı 6 cm olan küpün hacmi ve yüzey alanı kaçtır?

Çözüm:

Hacim = 6 × 6 × 6 = 216 cm³

Bir yüzün alanı = 6 × 6 = 36 cm²

Yüzey alanı = 6 × 36 = 216 cm²

Hacim 216 cm³, yüzey alanı 216 cm² (Sayılar aynı çıktı ama birimler farklı!)

Örnek 3

İç ölçüleri 40 cm, 25 cm ve 30 cm olan bir akvaryum kaç litre su alır?

Çözüm:

Hacim = 40 × 25 × 30

40 × 25 = 1000, 1000 × 30 = 30 000 cm³

1 L = 1000 cm³ olduğundan 30 000 ÷ 1000 = 30

Akvaryum 30 L su alır.

Örnek 4

Tabanı dik kenarları 3 cm ve 4 cm, hipotenüsü 5 cm olan dik üçgen, yüksekliği 10 cm olan bir dik üçgen prizmanın hacmi ve yüzey alanı kaçtır?

Çözüm:

Taban alanı = (3 × 4) ÷ 2 = 6 cm²

Hacim = 6 × 10 = 60 cm³

Taban çevresi = 3 + 4 + 5 = 12 cm

Yanal alan = 12 × 10 = 120 cm²

Yüzey alanı = 2 × 6 + 120 = 132 cm²

Hacim 60 cm³, yüzey alanı 132 cm²

Örnek 5

Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 10 cm olan silindirin hacmi ve yüzey alanı kaçtır? (π = 3)

Çözüm:

Taban alanı = 3 × 5² = 3 × 25 = 75 cm²

Hacim = 75 × 10 = 750 cm³

İki taban = 2 × 75 = 150 cm²

Yanal alan = 2 × 3 × 5 × 10 = 300 cm²

Yüzey alanı = 150 + 300 = 450 cm²

Hacim 750 cm³, yüzey alanı 450 cm²

Örnek 6 (LGS tarzı)

Yarıçapı 5 cm olan silindir biçimindeki bir kap 1,2 L su almaktadır. Kabın yüksekliği kaç cm'dir? (π = 3)

Çözüm:

1,2 L = 1,2 × 1000 = 1200 cm³

Taban alanı = 3 × 25 = 75 cm²

Hacim = Taban alanı × h olduğundan 1200 = 75 × h

h = 1200 ÷ 75 = 16

Yükseklik 16 cm'dir.

LGS taktiği: Bu tür sorular genellikle 1-2 dakikada çözülmelidir. Önce birimleri eşitle (litreyi cm³'e çevir). Şıkları elerken sonucu kontrol et: 75 × 16 = 1200 mü? Evet. Bir şıkkı formüle yerleştirip denemek, yanlış şıkları hızla eler. Ayrıca birimi cm² olan bir cevap hacim sorusunda asla doğru olamaz.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: Hacmin birimini cm² yazmak. Doğrusu: Hacim üç boyutludur, birimi cm³; alan iki boyutludur, birimi cm².
• Yanlış: Prizmanın yüzey alanında 15 + 20 + 12 = 47 yazıp bırakmak. Doğrusu: Karşılıklı yüzler eşittir, toplam 2 ile çarpılır: 94.
• Yanlış: 1 L = 100 cm³ sanmak. Doğrusu: 1 L = 1 dm³ = 10 × 10 × 10 = 1000 cm³.
• Yanlış: Silindirin yanal alanını πr² × h ile bulmak. Doğrusu: Yanal yüzey açılınca eni 2πr olan dikdörtgen olur; yanal alan 2πr × h'dir.
• Yanlış: Çap verildiğinde onu yarıçap gibi kullanmak. Doğrusu: Önce çapı 2'ye böl; çap 10 cm ise r = 5 cm'dir.

Alıştırma

1) Ayrıtları 4 cm, 5 cm, 6 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç cm³'tür?

2) Bir ayrıtı 3 cm olan küpün yüzey alanı kaç cm²'dir?

3) 3,5 L kaç cm³'tür?

4) 8000 cm³ kaç litredir?

5) Ayrıtları 10 cm, 4 cm, 5 cm olan dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı kaç cm²'dir?

6) Hacmi 125 cm³ olan küpün yüzey alanı kaç cm²'dir?

7) Yarıçapı 2 cm, yüksekliği 5 cm olan silindirin hacmi kaç cm³'tür? (π = 3)

8) Yarıçapı 3 cm, yüksekliği 4 cm olan silindirin yanal alanı kaç cm²'dir? (π = 3)

9) Yarıçapı 4 cm, yüksekliği 10 cm olan silindirin yüzey alanı kaç cm²'dir? (π = 3)

10) Tabanı bir kenarı 4 cm olan kare dik prizmanın hacmi 96 cm³ ise yüksekliği kaç cm'dir?

Cevap Anahtarı

• 1) 120 cm³ — 4 × 5 × 6 çarpımını yap.
• 2) 54 cm² — Bir yüz 9 cm², altı yüz 6 × 9 = 54.
• 3) 3500 cm³ — Litreyi 1000 ile çarp.
• 4) 8 L — cm³'ü 1000'e böl.
• 5) 220 cm² — 2 × (40 + 50 + 20) = 2 × 110.
• 6) 150 cm² — 5 × 5 × 5 = 125 olduğundan ayrıt 5, yüzey 6 × 25.
• 7) 60 cm³ — 3 × 2² × 5 = 3 × 4 × 5.
• 8) 72 cm² — 2 × 3 × 3 × 4 = 72.
• 9) 336 cm² — Tabanlar 2 × 3 × 16 = 96, yanal 2 × 3 × 4 × 10 = 240, toplam 336.
• 10) 6 cm — Taban alanı 16, 96 ÷ 16 = 6.

Dersin özeti

• Yüzey alanı cismin dışını kaplar (cm²), hacim içini doldurur (cm³).
• Tüm prizmalarda ve silindirde Hacim = Taban alanı × Yükseklik; çünkü taban alanı kadar birim küp, yükseklik kadar kat üst üste dizilir.
• 1 L = 1 dm³ = 1000 cm³ ve 1 mL = 1 cm³.
• Yüzey alanı açınımdaki parçaların toplamıdır; silindirin yanal yüzeyi eni 2πr, boyu h olan bir dikdörtgendir.
• LGS'de π = 3 alınır; birimleri eşitlemeden işleme başlama.

Bir sonraki derste geometriden veriye geçeceğiz: veri grafiklerini okuyup yorumlamayı öğreneceğiz. Bu derste yaptığımız gibi orada da her sayının neyi anlattığını ve birimini dikkatle okumak en önemli beceri olacak.