Çevre ve Alan: Dikdörtgen, Kare ve Üçgen

Önceki derste çokgenleri tanıdık: kenarlarını, köşelerini ve iç açılarını inceledik. Bu derste aynı şekillerin iki farklı ölçüsünü öğreneceğiz: şeklin etrafını ölçen çevre ve içini ölçen alan. Sonraki derslerde bu fikri başka şekillere ve üç boyutlu cisimlerin hacmine taşıyacağız.

Günlük hayattan giriş

Bahçenizin etrafına tel çit çekeceğinizi düşünün. Kaç metre tel almanız gerektiğini bulmak için bahçenin kenarlarını tek tek ölçüp toplarsınız. İşte bu toplam, bahçenin çevresidir. Çevre bir uzunluktur; bu yüzden birimi cm, m veya km olur.

Şimdi aynı bahçenin tamamına çim ekeceğinizi düşünün. Bu sefer kenarlarla değil, bahçenin içini kaplayan yüzeyle ilgilenirsiniz. Kaç paket çim tohumu gerektiğini belirleyen şey bahçenin alanıdır. Alan bir yüzey ölçüsüdür; birimi cm², m², dönüm veya hektardır. Odanın zeminine fayans döşemek, duvarı boyamak, bir tarlanın büyüklüğünü söylemek hep alan hesabıdır.

Çevre ile alan sıkça karıştırılır ama farkı basittir: Çevre şeklin kenarı boyunca yürüdüğünüz yol, alan ise şeklin içini kaplayan halı gibidir. İki şeklin çevresi aynı olup alanı farklı olabilir; bunu bu derste örneklerle göreceğiz.

Tanım ve kural

Çevre: Bir çokgenin bütün kenar uzunluklarının toplamıdır. Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eşit olduğu için iki uzun kenar ve iki kısa kenar vardır. Bu yüzden dikdörtgenin çevresi 2 × (uzun kenar + kısa kenar) olur. Karenin dört kenarı eşit olduğu için çevresi 4 × kenar olur.

Alan ve birim kare: Alanı ölçmek için kenarı 1 cm olan küçük bir kare düşünürüz. Bu kareye 1 santimetrekare (1 cm²) denir. Bir şeklin alanı, içine bu birim karelerden kaç tane sığdığıdır.

Dikdörtgenin alanı neden uzun kenar × kısa kenar? Kenarları 5 cm ve 3 cm olan bir dikdörtgeni birim karelerle döşeyelim. Her sırada 5 birim kare olur ve toplam 3 sıra vardır. Toplam kare sayısı 5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 olur. Yani alan = 15 cm². Toplamayı kısaltmak için çarpma kullanırız; formülün nedeni budur.

Kare: Kare, kenarları eşit bir dikdörtgendir. Bu yüzden alanı kenar × kenar = kenar² olur. Kenarı 4 cm olan karenin alanı 4² = 16 cm²'dir.

Üçgenin alanı neden taban × yükseklik ÷ 2? Önce bir dikdörtgeni köşegeni boyunca kesin. Birbirinin tıpatıp aynısı olan iki dik üçgen elde edersiniz. Her biri dikdörtgenin tam yarısıdır. Demek ki dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Dik olmayan bir üçgen için de aynı fikir çalışır. Üçgenin tepe noktasından tabana dik bir çizgi indirin; bu çizgiye yükseklik denir. Yükseklik, üçgeni iki dik üçgene ayırır. Şimdi üçgeni, tabanı ve yüksekliği aynı olan bir dikdörtgenin içine yerleştirin. Her dik üçgen, dikdörtgenin kendi tarafındaki parçasının yarısını kaplar. Parçaların yarıları toplanınca bütünün yarısı olur. Sonuç: Üçgenin alanı = taban × yükseklik ÷ 2.

Dikkat: Yükseklik her zaman tabana dik olan uzunluktur. Üçgenin eğik duran yan kenarı yükseklik değildir (dik üçgende dik kenarlar hariç).

Alan birimleri neden 100'er değil 10 000'er büyür? 1 m = 100 cm'dir. 1 m² ise kenarı 1 m olan karedir; yani 100 cm × 100 cm = 10 000 cm². Kenar 100 kat büyüyünce alan 100 × 100 = 10 000 kat büyür. Tarım arazilerinde ise dönüm ve hektar kullanılır: 1 dönüm = 1000 m², 1 hektar = 10 000 m² = 10 dönüm.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

Kenarları 8 cm ve 5 cm olan bir dikdörtgenin çevresini ve alanını bulunuz.

Çözüm:

Çevre = 2 × (8 + 5)

Çevre = 2 × 13 = 26 cm

Alan = 8 × 5 = 40 cm²

Çevre 26 cm, alan 40 cm².

Örnek 2

Kenarı 7 m olan kare şeklindeki bir odanın çevresini ve alanını bulunuz.

Çözüm:

Çevre = 4 × 7 = 28 m

Alan = 7 × 7 = 7² = 49 m²

Çevre 28 m, alan 49 m².

Örnek 3

Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm olan bir dik üçgende dik kenarlar 6 cm ve 8 cm'dir. Üçgenin çevresini ve alanını bulunuz.

Çözüm:

Çevre = 6 + 8 + 10 = 24 cm

Dik üçgende dik kenarlardan biri taban, diğeri yükseklik olur.

Alan = 6 × 8 ÷ 2

Alan = 48 ÷ 2 = 24 cm²

Çevre 24 cm, alan 24 cm². Sayılar aynı çıktı ama birimler farklı: biri uzunluk (cm), diğeri yüzey (cm²). Bu yüzden çevre ile alan karşılaştırılamaz.

Örnek 4

Tabanı 12 cm, bu tabana ait yüksekliği 5 cm olan bir üçgenin alanını bulunuz.

Çözüm:

Alan = taban × yükseklik ÷ 2

Alan = 12 × 5 ÷ 2

Alan = 60 ÷ 2 = 30 cm²

Alan 30 cm².

Örnek 5

Çevresi 36 cm olan bir karenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Karenin 4 kenarı eşittir, bu yüzden bir kenar = 36 ÷ 4 = 9 cm.

Alan = 9 × 9 = 81 cm²

Alan 81 cm².

Örnek 6

Kenarları 80 m ve 50 m olan dikdörtgen biçimli bir tarlanın alanı kaç m²'dir? Bu alan kaç dönüm ve kaç hektardır?

Çözüm:

Alan = 80 × 50 = 4000 m²

1 dönüm = 1000 m² olduğundan 4000 ÷ 1000 = 4 dönüm.

1 hektar = 10 000 m² olduğundan 4000 ÷ 10 000 = 0,4 hektar.

4000 m² = 4 dönüm = 0,4 hektar.

Örnek 7

Kenarları 10 m ve 6 m olan dikdörtgen bir bahçenin bir bölümüne, tabanı 10 m ve yüksekliği 6 m olan üçgen biçiminde çiçek tarhı yapılıyor. Geriye kalan bölüme çim ekilecektir. Çim ekilecek alan kaç m²'dir?

Çözüm:

Bahçenin alanı = 10 × 6 = 60 m²

Çiçek tarhının alanı = 10 × 6 ÷ 2 = 30 m²

Çim alanı = 60 − 30 = 30 m²

Çim ekilecek alan 30 m². Tabanı ve yüksekliği dikdörtgenle aynı olan üçgenin, dikdörtgenin tam yarısı olduğunu burada da görüyoruz.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: Dikdörtgenin çevresi 26 cm². Doğrusu: Çevre bir uzunluktur; 26 cm yazılır. Kare işareti (²) yalnızca alanda kullanılır.
• Yanlış: Tabanı 12 cm, yüksekliği 5 cm olan üçgenin alanı 12 × 5 = 60 cm². Doğrusu: Üçgen, aynı taban ve yükseklikteki dikdörtgenin yarısıdır: 60 ÷ 2 = 30 cm².
• Yanlış: Üçgenin eğik yan kenarını yükseklik olarak almak. Doğrusu: Yükseklik, tepe noktasından tabana indirilen dik uzunluktur.
• Yanlış: 1 m² = 100 cm². Doğrusu: 1 m² = 100 cm × 100 cm = 10 000 cm².
• Yanlış: Kenarı 5 cm olan karenin alanı 4 × 5 = 20 cm². Doğrusu: 4 × 5 = 20 cm çevredir; alan 5 × 5 = 25 cm²'dir.

Alıştırma

1) Kenarları 9 cm ve 4 cm olan dikdörtgenin çevresi kaç cm'dir?

2) Aynı dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?

3) Kenarı 11 cm olan karenin alanı kaç cm²'dir?

4) Tabanı 14 cm, yüksekliği 6 cm olan üçgenin alanı kaç cm²'dir?

5) Çevresi 48 cm olan karenin alanı kaç cm²'dir?

6) Alanı 72 cm² olan bir dikdörtgenin kısa kenarı 6 cm'dir. Bu dikdörtgenin çevresi kaç cm'dir?

7) 3 m² kaç cm²'dir?

8) 25 000 m²'lik bir arazi kaç dönüm, kaç hektardır?

9) Alanı 35 cm², tabanı 10 cm olan bir üçgenin bu tabana ait yüksekliği kaç cm'dir?

10) Boyutları 5 m ve 4 m olan dikdörtgen bir odanın zemini, kenarı 50 cm olan kare fayanslarla boşluksuz döşenecektir. Kaç fayans gerekir?

Cevap Anahtarı

• 1) 26 cm. İpucu: 2 × (9 + 4) = 2 × 13 = 26.
• 2) 36 cm². İpucu: 9 × 4 = 36.
• 3) 121 cm². İpucu: 11 × 11 = 121.
• 4) 42 cm². İpucu: 14 × 6 = 84, 84 ÷ 2 = 42.
• 5) 144 cm². İpucu: Kenar 48 ÷ 4 = 12, alan 12 × 12 = 144.
• 6) 36 cm. İpucu: Uzun kenar 72 ÷ 6 = 12, çevre 2 × (12 + 6) = 36.
• 7) 30 000 cm². İpucu: 1 m² = 10 000 cm² olduğundan 3 × 10 000 = 30 000.
• 8) 25 dönüm, 2,5 hektar. İpucu: 25 000 ÷ 1000 = 25 ve 25 000 ÷ 10 000 = 2,5.
• 9) 7 cm. İpucu: Taban × yükseklik = 35 × 2 = 70, yükseklik = 70 ÷ 10 = 7.
• 10) 80 fayans. İpucu: 5 m = 500 cm'ye 500 ÷ 50 = 10, 4 m = 400 cm'ye 400 ÷ 50 = 8 fayans sığar; 10 × 8 = 80.

LGS taktiği: Alan sorularında önce birimlerin aynı olup olmadığına bakın (Soru 10'daki gibi m ve cm karışık olabilir). Şıklarda birim yanlış olan (çevre için cm², alan için cm) ya da ÷ 2 unutulmuş sonucu (doğru cevabın tam iki katı) veren seçenekler genellikle çeldiricidir; bunları hemen eleyin. Bu tür bir soruya yaklaşık 1–1,5 dakika ayırmak yeterlidir.

Dersin özeti

• Çevre, kenar uzunluklarının toplamıdır ve birimi cm, m gibi uzunluk birimidir; alan, şeklin iç yüzeyidir ve birimi cm², m² gibi kare birimdir.
• Dikdörtgenin alanı uzun kenar × kısa kenardır, çünkü birim kareler sıralar hâlinde dizilir; karenin alanı kenar²'dir.
• Üçgenin alanı taban × yükseklik ÷ 2'dir, çünkü her üçgen aynı taban ve yükseklikteki dikdörtgenin tam yarısıdır.
• Yükseklik, tabana dik olan uzunluktur; eğik kenar yükseklik değildir.
• 1 m² = 10 000 cm², 1 dönüm = 1000 m², 1 hektar = 10 000 m² = 10 dönümdür.