Üçgenler: Çeşitleri, İç ve Dış Açılar

Günlük hayattan giriş

Önceki derste açıları tanıdık. Dar, dik, geniş ve doğru açıyı gördük, açıları nasıl ölçeceğimizi öğrendik. Bu derste açıları kullanarak geometrinin en temel şekli olan üçgeni inceleyeceğiz. Üçgen, üç kenarı ve üç köşesi olan kapalı bir şekildir. Her köşede kenarların arasında kalan bir açı vardır.

Üçgenler çevremizde çok sık görülür. Köprülerin çelik iskeletlerinde, çatı kirişlerinde, elektrik direklerinde, bisiklet kadrosunda üçgen biçimler kullanılır. Mühendisler üçgeni sever, çünkü üç kenarının uzunluğu belli olan bir üçgen bastırıldığında biçimi bozulmaz. Dört çubuktan yapılmış bir kare çerçeveyi köşesinden ittiğinizde yamulur. Üç çubuktan yapılmış bir üçgen çerçeve ise yamulmaz. Bu yüzden üçgen "sağlam" bir şekil olarak bilinir.

Bir pizza dilimini, yol kenarındaki "Dikkat" levhasını ya da bir gönyeyi düşünün. Hepsi üçgendir ama birbirine benzemezler. Bazılarının kenarları eşittir, bazılarında bir dik açı vardır. Bu derste üçgenleri kenarlarına ve açılarına göre sınıflandıracağız. İç açıların toplamının neden her zaman 180° olduğunu, dış açının nasıl bulunduğunu ve hangi üç uzunlukla üçgen çizilebileceğini öğreneceğiz.

Tanım ve kural

1) Kenarlarına göre üçgenler: Üç kenarı da eşit olan üçgene eşkenar üçgen, en az iki kenarı eşit olan üçgene ikizkenar üçgen, üç kenarı da farklı uzunlukta olan üçgene çeşitkenar üçgen denir. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir. Bu açılara taban açıları, eşit kenarların birleştiği köşedeki açıya tepe açısı denir. Eşkenar üçgenin üç açısı da eşittir.

2) Açılarına göre üçgenler: Üç açısı da 90°'den küçük olan üçgene dar açılı üçgen, bir açısı tam 90° olan üçgene dik üçgen, bir açısı 90°'den büyük olan üçgene geniş açılı üçgen denir. Bir üçgende en fazla bir dik açı ya da en fazla bir geniş açı olabilir. Bunun nedenini aşağıdaki kural açıklıyor.

3) İç açıların toplamı 180°'dir. Neden böyle olduğunu kâğıtla görebilirsiniz. Kâğıttan bir üçgen kesin ve üç köşesini yırtın. Bu üç köşeyi, sivri uçları aynı noktaya gelecek şekilde yan yana dizin. Üç açının birlikte düz bir çizgi yani doğru açı oluşturduğunu görürsünüz. Doğru açı 180°'dir. Daha düzenli bir açıklama da var: Üçgenin bir köşesinden karşı kenara paralel bir doğru çizelim. Paralel doğrularda iç ters açılar eşit olduğu için alttaki iki açı bu doğrunun üstüne taşınır. Tepedeki açıyla birlikte doğru üzerinde yan yana dizilirler ve toplamları 180° olur. Bu kural her üçgen için geçerlidir. Üçgende iki dik açı olsaydı yalnız bu ikisinin toplamı 180° ederdi ve üçüncü açıya yer kalmazdı. Bu yüzden bir üçgende iki dik açı olamaz.

4) Dış açı: Üçgenin bir kenarını köşeden dışarı doğru uzattığımızda, bu uzantı ile yanındaki kenar arasında oluşan açıya dış açı denir. Dış açı ile yanındaki iç açı aynı doğru üzerinde olduğu için toplamları 180°'dir. İç açıların üçünün toplamı da 180° olduğundan dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Üç dış açının toplamı ise 360°'dir. Çünkü üç köşede (iç + dış) toplamı 3 × 180° = 540° eder. Bundan iç açıların toplamı olan 180° çıkarılırsa 360° kalır.

5) Üçgen eşitsizliği: Bir üçgende herhangi iki kenarın uzunlukları toplamı üçüncü kenardan büyük, farkı ise üçüncü kenardan küçük olmalıdır. Nedeni şu: İki nokta arasındaki en kısa yol düz çizgidir. Bir köşeden diğerine doğrudan gitmek, üçüncü köşeye uğrayarak gitmekten her zaman daha kısadır. Kenarları a ve b olan bir üçgenin üçüncü kenarı c için şu sıralama geçerlidir: a − b < c < a + b (burada a ≥ b).

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Bir üçgenin iki iç açısı 50° ve 60°'dir. Üçüncü açı kaç derecedir? Bu üçgen açılarına göre hangi çeşittir?

Çözüm:

İç açıların toplamı 180°'dir.

Verilen iki açının toplamı: 50° + 60° = 110°.

Üçüncü açı: 180° − 110° = 70°.

Açılar 50°, 60° ve 70°'dir. Hepsi 90°'den küçüktür.

Üçüncü açı 70°'dir ve üçgen dar açılı bir üçgendir.

Örnek 2: İkizkenar bir üçgenin tepe açısı 40°'dir. Taban açıları kaçar derecedir?

Çözüm:

İkizkenar üçgende iki taban açısı birbirine eşittir.

Taban açılarının toplamı: 180° − 40° = 140°.

Bir taban açısı: 140° ÷ 2 = 70°.

Kontrol: 40° + 70° + 70° = 180°. ✓

Taban açılarının her biri 70°'dir.

Örnek 3: Bir ABC üçgeninde A açısı 45°, B açısı 65°'dir. C köşesindeki dış açı kaç derecedir?

Çözüm:

C'deki dış açı, kendisine komşu olmayan A ve B iç açılarının toplamına eşittir.

Dış açı = 45° + 65° = 110°.

Kontrol: C iç açısı 180° − 110° = 70°'dir. İç açılar 45° + 65° + 70° = 180° eder. ✓

C köşesindeki dış açı 110°'dir.

Örnek 4: Bir üçgenin iç açıları x, 2x ve 3x'tir. Açıları bulun ve üçgenin çeşidini söyleyin.

Çözüm:

İç açıların toplamını yazalım: x + 2x + 3x = 180°.

Sol tarafı toplayalım: 6x = 180°.

İki tarafı 6'ya bölelim: x = 30°.

Açılar: x = 30°, 2x = 60°, 3x = 90°.

Açılardan biri 90° olduğu için bu üçgen dik üçgendir.

Açılar 30°, 60°, 90°'dir. Üçgen bir dik üçgendir.

Örnek 5: Kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 8 cm olan bir üçgen çizilebilir mi?

Çözüm:

İki kısa kenarın toplamı, en uzun kenardan büyük olmalıdır.

3 + 4 = 7 eder.

7, 8'den küçüktür. Kısa iki kenarın uçları birbirine yetişmez.

Bu uzunluklarla üçgen çizilemez.

Örnek 6: Bir üçgenin iki kenarı 5 cm ve 8 cm'dir. Üçüncü kenar tam sayı olduğuna göre kaç farklı değer alabilir?

Çözüm:

Üçüncü kenar, iki kenarın farkından büyük olmalıdır: 8 − 5 = 3.

İki kenarın toplamından da küçük olmalıdır: 8 + 5 = 13.

Buna göre 3 < c < 13 olur.

Tam sayı değerleri: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Say: 12 − 4 + 1 = 9.

Üçüncü kenar 9 farklı tam sayı değeri alabilir.

Sık yapılan hatalar

• Hata: İkizkenar üçgende taban açısı 50° verilince tepe açısını (180° − 50°) ÷ 2 = 65° diye bulmak. Doğrusu: İki taban açısı eşittir, yani 50° + 50° = 100°. Tepe açısı 180° − 100° = 80° olur. Hesaba başlamadan önce verilen açının tepe açısı mı, taban açısı mı olduğuna bakın.
• Hata: Dış açıyı yanındaki iç açıya eşit sanmak. Doğrusu: Dış açı ile yanındaki iç açının toplamı 180°'dir. Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
• Hata: 3, 4, 7 uzunluklarıyla üçgen çizilebileceğini düşünmek, çünkü 3 + 4 = 7 eder. Doğrusu: Toplam, üçüncü kenara eşit değil ondan büyük olmalıdır. Toplam eşit olursa kenarlar düz bir çizgi üzerinde üst üste yatar, üçgen oluşmaz.
• Hata: Eşitsizlikte yalnızca bir kenar çiftini kontrol etmek, örneğin 2, 3, 10 için 10 + 3 > 2 olduğuna bakıp "olur" demek. Doğrusu: En güvenli yol, iki kısa kenarın toplamının en uzun kenardan büyük olup olmadığına bakmaktır. Bu örnekte 2 + 3 = 5 < 10 olduğu için üçgen çizilemez.
• Hata: Kenara göre ve açıya göre sınıflandırmanın birbirini dışladığını sanmak. Doğrusu: Bir üçgen aynı anda hem ikizkenar hem dik üçgen olabilir. Örneğin açıları 45°, 45° ve 90° olan üçgen böyledir. Eşkenar üçgen ise her zaman dar açılıdır.

Alıştırma

1) Bir üçgenin iki açısı 35° ve 85°'dir. Üçüncü açı kaç derecedir?

2) Eşkenar bir üçgenin bir iç açısı kaç derecedir?

3) İkizkenar bir üçgenin taban açılarından biri 50°'dir. Tepe açısı kaç derecedir?

4) Bir dik üçgenin dar açılarından biri 28°'dir. Diğer dar açı kaç derecedir?

5) Bir üçgende bir dış açı 120°'dir. Bu dış açıya komşu olmayan iç açılardan biri 50° ise diğeri kaç derecedir?

6) Bir üçgenin iç açıları 2 : 3 : 4 oranındadır. En büyük açı kaç derecedir?

7) Kenarları 4 cm, 6 cm ve 9 cm olan bir üçgen çizilebilir mi?

8) Kenarları 2 cm, 3 cm ve 6 cm olan bir üçgen çizilebilir mi?

9) Bir üçgenin iki kenarı 7 cm ve 3 cm'dir. Üçüncü kenar tam sayı ise kaç farklı değer alabilir?

10) Bir üçgenin iki dış açısı 100° ve 140°'dir. Üçüncü dış açı kaç derecedir?

Cevap Anahtarı

• 1) 60°. 180° − (35° + 85°) = 180° − 120° = 60°.
• 2) 60°. Üç açı eşit olduğu için 180° ÷ 3 = 60°.
• 3) 80°. İki taban açısı 50° + 50° = 100° eder, 180° − 100° = 80°.
• 4) 62°. 180° − 90° − 28° = 62°.
• 5) 70°. Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamıdır: 120° − 50° = 70°.
• 6) 80°. 2 + 3 + 4 = 9 parça ve 180° ÷ 9 = 20° eder, 4 × 20° = 80°.
• 7) Evet. İki kısa kenarın toplamı 4 + 6 = 10, bu da 9'dan büyüktür.
• 8) Hayır. 2 + 3 = 5 eder, 5 de 6'dan küçüktür.
• 9) 5 değer. 4 < c < 10 olduğu için c 5, 6, 7, 8 ya da 9 olabilir.
• 10) 120°. Dış açıların toplamı 360°'dir: 360° − (100° + 140°) = 120°.

LGS için ipucu: Açı sorularını çözerken önce şekildeki bilinen açıları not edin. Sonra "iç açılar 180°" ve "dış açı = komşu olmayan iki iç açının toplamı" kurallarından hangisinin en kısa yol olduğuna karar verin. Bu tür bir soruya yaklaşık 1–1,5 dakika ayırmak yeterlidir. Şıklarda üçgen eşitsizliğini sağlamayan uzunlukları ya da açı toplamını 180° yapmayan değerleri hemen eleyin. Bulduğunuz açıları toplayıp 180° ettiğini kontrol etmek, hatayı yakalamanın en hızlı yoludur.

Dersin özeti

• Üçgenler kenarlarına göre eşkenar, ikizkenar ve çeşitkenar; açılarına göre dar açılı, dik ve geniş açılı olarak sınıflandırılır.
• Her üçgende iç açıların toplamı 180°'dir, çünkü üç açı yan yana konduğunda bir doğru açı oluşturur.
• Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Dış açıların toplamı 360°'dir.
• Üçgen eşitsizliği: İki kenarın farkı < üçüncü kenar < iki kenarın toplamı.
• Bir sonraki derste bu bilgileri kullanarak dörtgenlere ve çokgenlere geçeceğiz. Her çokgen üçgenlere bölünebildiği için, iç açılar toplamını yine bu dersteki 180° kuralından bulacağız.