Açılar: Ölçme, Çeşitleri ve Açı İlişkileri

Kursumuza hoş geldin! Bu kursta açılardan başlayıp çokgenlere, alana, hacme ve veri grafiklerine kadar geometrinin ve ölçmenin temel konularını adım adım öğreneceğiz. Kuralları ezberlemeyeceğiz; her kuralın neden öyle olduğunu birlikte keşfedeceğiz. İlk dersimizin konusu, geometrinin temel taşlarından biri olan açılar.

Tahmini süre: 14 dk

Günlük hayattan giriş

Bir kapıyı açtığında kapı, duvarla arasında bir açıklık oluşturur. Kapıyı biraz açarsan açıklık küçüktür, sonuna kadar açarsan büyür. Saatin akrebi ile yelkovanı arasında da her an bir açıklık vardır: saat 3'te bu açıklık bir kare köşesi gibi durur, saat 6'da ise iki kol düz bir çizgi oluşturur. İşte bu açıklıklara açı diyoruz.

Açılar hayatımızın her yerindedir. Marangoz bir masanın ayaklarını tablaya dik açıyla takar ki masa sallanmasın. Kaykay rampası yapan biri rampanın eğimini ayarlarken açıyı kullanır. Bir yol haritasında iki caddenin kesiştiği köşelerde de açılar oluşur. Tren raylarını düşün: iki ray birbirine paraleldir ve onları kesen bir yol geçtiğinde her iki rayda da aynı açılar oluşur. Bu dersin sonunda bunun nedenini açıklayabileceksin.

Bu derste açıyı tanıyacak, iletkiyle ölçmeyi öğrenecek, açı çeşitlerini ayırt edecek ve açılar arasındaki ilişkileri (tümler, bütünler, ters açılar, paralel doğrularda oluşan açılar) keşfedeceğiz.

Tanım ve kural

Açı nedir?

Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının oluşturduğu şekle açı denir. Ortak başlangıç noktasına köşe, ışınlara da açının kolları denir. Örneğin köşesi B, kolları [BA ve [BC olan açı ABC açısı diye okunur ve köşe harfi her zaman ortada yazılır.

Açının büyüklüğü kolların uzunluğuna bağlı değildir; yalnızca kolların birbirinden ne kadar açıldığına bağlıdır. Kolları uzatsan da açı değişmez. Açıları derece (°) ile ölçeriz. Bir tam dönüş 360° kabul edilir.

İletkiyle ölçme

1. İletkinin merkez noktasını açının köşesine yerleştir.

2. İletkinin 0° çizgisini açının bir koluyla çakıştır.

3. 0°'dan başlayan ölçeği takip ederek diğer kolun geçtiği sayıyı oku.

İletkide iki sıra sayı vardır (biri soldan, biri sağdan başlar). Hangi kolu 0°'a denk getirdiysen, o 0°'dan başlayan sırayı okumalısın. Ayrıca gözle kontrol et: açı dar görünüyorsa sonuç 90°'dan küçük olmalıdır.

Açı çeşitleri

Açı ilişkileri ve nedenleri

Tümler açılar: Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıdır. Neden 90°? Çünkü birlikte bir dik açıyı tamamlarlar. 30°'lik bir açının tümleri 90° − 30° = 60°'dir.

Bütünler açılar: Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıdır. Birlikte bir doğru açıyı (düz çizgiyi) bütünlerler. 70°'lik açının bütünleri 180° − 70° = 110°'dir.

Ters açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu, köşeleri ortak ve kolları birbirinin uzantısı olan karşılıklı açılardır. Ters açılar eşittir. Nedeni: Bir doğru üzerindeki komşu açılar bütünlerdir. a açısı ile yanındaki b açısı 180° eder; b açısı ile onun öbür yanındaki c açısı da 180° eder. O hâlde a + b = b + c, yani a = c olur.

Paralel iki doğru ve bir kesen: Paralel iki doğruyu üçüncü bir doğru kestiğinde 8 açı oluşur.

• Yöndeş açılar: Her iki kesişim noktasında aynı konumda bulunan açılardır (ikisi de sağ üstte gibi). Eşittirler. Neden? Paralel doğrulardan birini kesen boyunca kaydırırsan (öteleme) öteki doğrunun tam üstüne oturur; açılar üst üste gelir, dolayısıyla eşittir.
• İç ters açılar: Paralel doğruların arasında kalan, kesenin farklı taraflarındaki açılardır. Eşittirler. Neden? Bir iç ters açı, diğerinin yöndeşinin ters açısıdır; yöndeş açılar eşit, ters açılar eşit olduğuna göre bunlar da eşittir.
• Dış ters açılar: Paralel doğruların dışında kalan, kesenin farklı taraflarındaki açılardır. Aynı mantıkla eşittirler.

Paralel doğrularda oluşan 8 açının hepsi ya birbirine eşittir ya da bütünlerdir. Yani tek bir açıyı bilirsen 8 açının hepsini bulabilirsin!

Çözümlü örnekler

Örnek 1

35°, 90°, 120° ve 180°'lik açıların çeşitlerini yazınız.

Çözüm:

35° sayısı 0° ile 90° arasında olduğu için dar açıdır.

90° tam dik açıdır.

120° sayısı 90° ile 180° arasında olduğu için geniş açıdır.

180° doğru açıdır.

Sonuç: dar, dik, geniş, doğru.

Örnek 2

28°'lik bir açının tümleri kaç derecedir? 47°'lik bir açının bütünleri kaç derecedir?

Çözüm:

Tümler açıların toplamı 90° olduğundan: 90° − 28° = 62°.

Bütünler açıların toplamı 180° olduğundan: 180° − 47° = 133°.

Tümleri 62°, bütünleri 133°.

Örnek 3

Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan biri 65°'dir. Diğer üç açıyı bulunuz.

Çözüm:

65°'lik açının ters açısı da 65°'dir (ters açılar eşittir).

65°'lik açının komşusu onunla bütünlerdir: 180° − 65° = 115°.

115°'lik açının ters açısı da 115°'dir.

Kontrol: 65 + 115 + 65 + 115 = 360 ✓ (bir noktanın etrafı tam açıdır).

Açılar: 65°, 115°, 65°, 115°.

Örnek 4

Ters açılardan birinin ölçüsü 4x − 10, diğerinin ölçüsü 2x + 30 derecedir. x kaçtır ve açının ölçüsü nedir?

Çözüm:

Ters açılar eşit olduğundan: 4x − 10 = 2x + 30.

Her iki taraftan 2x çıkaralım: 2x − 10 = 30.

Her iki tarafa 10 ekleyelim: 2x = 40, yani x = 20.

Açı: 4 × 20 − 10 = 70°. Kontrol: 2 × 20 + 30 = 70° ✓

x = 20, açı 70°.

Örnek 5

İki bütünler açının ölçüleri 2x + 20 ve x + 10 derecedir. Açıların ölçülerini bulunuz.

Çözüm:

Bütünler açıların toplamı 180°: (2x + 20) + (x + 10) = 180.

Benzer terimleri toplayalım: 3x + 30 = 180.

30 çıkaralım: 3x = 150, yani x = 50.

Birinci açı: 2 × 50 + 20 = 120°. İkinci açı: 50 + 10 = 60°.

Kontrol: 120 + 60 = 180 ✓

Açılar 120° ve 60°.

Örnek 6

Paralel iki doğruyu bir kesen kesiyor. İç ters açılardan birinin ölçüsü 3x + 5, diğerinin ölçüsü 5x − 25 derecedir. Açının ölçüsü kaçtır?

Çözüm:

Paralel doğrularda iç ters açılar eşittir: 3x + 5 = 5x − 25.

Her iki taraftan 3x çıkaralım: 5 = 2x − 25.

25 ekleyelim: 30 = 2x, yani x = 15.

Açı: 3 × 15 + 5 = 50°. Kontrol: 5 × 15 − 25 = 50° ✓

Açı 50°.

Örnek 7

Paralel iki doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu açılardan biri 70°'dir. Bu açının yöndeşini, iç ters (ya da dış ters) açısını ve komşu açısını bulunuz.

Çözüm:

Yöndeş açılar eşittir: yöndeşi 70°.

İç ters ve dış ters açılar da eşittir: 70°.

Komşu açı onunla bütünlerdir: 180° − 70° = 110°.

Sekiz açıdan dördü 70°, dördü 110°'dir.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: 40°'lik açıyı iletkinin yanlış sırasından okuyup 140° demek. Doğrusu: 0°'ı hangi kola denk getirdiysen o 0°'dan başlayan sırayı oku; dar görünen açı 90°'dan küçük olmalıdır.
• Yanlış: Tümler ile bütünleri karıştırıp 30°'nin tümlerine 150° demek. Doğrusu: Tümler toplamı 90°, bütünler toplamı 180°'dir; 30°'nin tümleri 60°'dir.
• Yanlış: Kolları uzun çizilmiş açının daha büyük olduğunu düşünmek. Doğrusu: Açının ölçüsü kolların uzunluğuna değil, açıklığına bağlıdır.
• Yanlış: Doğrular paralel olmadığı hâlde yöndeş açıları eşit saymak. Doğrusu: Yöndeş, iç ters ve dış ters açıların eşitliği yalnızca doğrular paralelse geçerlidir.
• Yanlış: Denklemde x'i bulup cevap olarak x'i yazmak. Doğrusu: Soru açının ölçüsünü soruyorsa x'i ifadede yerine koyup açıyı hesapla.

Alıştırma

1) 73°'lik açı hangi açı çeşidindendir?

2) 54°'lik açının tümleri kaç derecedir?

3) 109°'lik açının bütünleri kaç derecedir?

4) Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan biri 82°'dir. Bu açının komşu açısı kaç derecedir?

5) Bir açının tümleri 25° ise bütünleri kaç derecedir?

6) İki tümler açıdan biri diğerinin 4 katıdır. Büyük açı kaç derecedir?

7) Paralel iki doğruda yöndeş açılardan biri 2x + 15, diğeri 75 derecedir. x kaçtır?

8) Paralel iki doğruda iç ters açılar 5x − 10 ve 3x + 20 derecedir. Açının ölçüsü kaçtır?

9) Paralel iki doğruda dış ters açılardan biri 128°'dir. Diğer dış ters açı kaç derecedir?

10) Bir açının bütünleri, tümlerinin 3 katıdır. Bu açı kaç derecedir?

Cevap Anahtarı

• 1) Dar açı — 73° sayısı 0° ile 90° arasındadır.
• 2) 36° — 90 − 54 = 36.
• 3) 71° — 180 − 109 = 71.
• 4) 98° — Komşu açılar bütünlerdir: 180 − 82 = 98.
• 5) 115° — Açı 90 − 25 = 65°, bütünleri 180 − 65 = 115°.
• 6) 72° — x + 4x = 90 ise x = 18, büyük açı 4 × 18 = 72°.
• 7) x = 30 — Yöndeş açılar eşit: 2x + 15 = 75, 2x = 60.
• 8) 65° — 5x − 10 = 3x + 20 ise x = 15, açı 5 × 15 − 10 = 65°.
• 9) 128° — Paralel doğrularda dış ters açılar eşittir.
• 10) 45° — 180 − x = 3(90 − x) ise 180 − x = 270 − 3x, 2x = 90, x = 45 (bütünleri 135°, tümleri 45°).

Dersin özeti

• Açı, başlangıç noktaları ortak iki ışının oluşturduğu şekildir; ölçüsü kolların uzunluğuna değil açıklığına bağlıdır.
• İletkiyle ölçerken merkez köşeye, 0° bir kola konur ve aynı 0°'dan başlayan sıra okunur.
• Dar (0°–90°), dik (90°), geniş (90°–180°), doğru (180°) ve tam (360°) açı çeşitleri vardır.
• Tümler açıların toplamı 90°, bütünler açıların toplamı 180°'dir; ters açılar eşittir.
• Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde yöndeş, iç ters ve dış ters açılar eşittir; oluşan 8 açının her biri ya eşit ya da bütünlerdir.