Paralelkenar, Yamuk ve Birleşik Şekillerin Alanı

Günlük hayattan giriş

Önceki derste dikdörtgenin, karenin ve üçgenin alanını hesaplamayı konuştuk. Dikdörtgenin alanını bulmak için kısa kenarla uzun kenarı çarptık. Üçgenin alanının da aynı taban ve yükseklikteki dikdörtgenin yarısı olduğunu gördük. Bu derste o bilgileri kullanacağız. Paralelkenar ve yamuk için yeni formülleri ezberlemeyeceğiz. Formüllerin, zaten bildiğimiz şekillerden nasıl çıktığını keşfedeceğiz.

Etrafına bir bak. Bazı merdiven korkuluklarının yan yüzü eğik durur ve paralelkenara benzer. Bir çatının yan duvarı ya da bazı masaların yüzeyi yamuk şeklinde olabilir. Tarlalar, bahçeler ve evlerin kat planları da çoğu zaman tek bir düzgün şekil değildir. Bunlar birkaç dikdörtgenin, üçgenin ya da yamuğun birleşmesinden oluşur.

Diyelim ki odanın zeminine parke döşenecek, fakat oda L şeklinde. Kaç metrekare parke alınacağını bulmak için şekli tanıdığımız parçalara ayırırız. Ya da büyük bir dikdörtgenden eksik kalan köşeyi çıkarırız. Bu derste bu iki yöntemi öğreneceğiz: parçalama ve eksiltme.

Tanım ve kural

Paralelkenarın alanı

Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir. Bir kenarı taban olarak seçeriz. Karşı kenardan bu tabana dik inen doğru parçasına yükseklik deriz. Yükseklik eğik kenar değildir. Her zaman tabana 90° açıyla iner.

Neden taban × yükseklik? Kâğıttan bir paralelkenar kesip bir köşesinden yüksekliği çizdiğini düşün. Bu çizgi boyunca kesersen bir dik üçgen ayrılır. O üçgeni alıp paralelkenarın öbür ucuna yapıştırırsan şekil bir dikdörtgene dönüşür. Dikdörtgenin bir kenarı paralelkenarın tabanına, diğer kenarı yüksekliğine eşittir. Bu işlemde hiçbir parça kaybolmadı ve yeni parça eklenmedi, yani alan değişmedi. Bu yüzden:

Paralelkenarın alanı = taban × yükseklik

Yamuğun alanı

Yamuk, yalnızca bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgendir. Paralel kenarlara alt taban ve üst taban deriz. İki taban arasındaki dik uzaklık yüksekliktir.

Neden (alt taban + üst taban) × yükseklik ÷ 2? Yamuğa bir köşegen çizersen şekil iki üçgene ayrılır. Birinci üçgenin tabanı alt taban, ikincisinin tabanı üst tabandır. İkisinin yüksekliği de yamuğun yüksekliğine eşittir.

Birinci üçgenin alanı = alt taban × yükseklik ÷ 2

İkinci üçgenin alanı = üst taban × yükseklik ÷ 2

Bu iki alanı topladığımızda (alt taban + üst taban) × yükseklik ÷ 2 buluruz.

Başka bir yol da var: Aynı yamuktan bir tane daha kesip ters çevirerek yanına koyarsan bir paralelkenar oluşur. Bu paralelkenarın tabanı alt taban + üst taban olur. Paralelkenar iki yamuktan oluştuğu için onun alanını 2'ye böleriz.

Birleşik şekiller

Parçalama: Şekli dikdörtgen, üçgen, yamuk gibi tanıdık parçalara ayırırsın. Her parçanın alanını bulup toplarsın.

Eksiltme: Şekli dışarıdan saran büyük bir şekil düşünürsün. Onun alanından fazladan kalan (eksik) parçaların alanını çıkarırsın.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Tabanı 8 cm, yüksekliği 5 cm olan paralelkenarın alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Adım 1: Formül: Alan = taban × yükseklik.

Adım 2: Alan = 8 × 5 = 40.

Sonuç: 40 cm²

Örnek 2: Bir paralelkenarın tabanı 12 cm, eğik kenarı 7 cm, tabana ait yüksekliği 6 cm'dir. Alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Adım 1: Eğik kenar (7 cm) tabana dik olmadığı için alan hesabında kullanılmaz. Soruyu şaşırtmak için verilmiştir.

Adım 2: Alan = taban × yükseklik = 12 × 6.

Adım 3: 12 × 6 = 72.

Sonuç: 72 cm²

Örnek 3: Bir yamuğun tabanları 10 cm ve 6 cm, yüksekliği 4 cm'dir. Alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Adım 1: Tabanları topla: 10 + 6 = 16.

Adım 2: Yükseklikle çarp: 16 × 4 = 64.

Adım 3: 2'ye böl: 64 ÷ 2 = 32.

Sonuç: 32 cm²

Örnek 4: Alanı 45 cm² olan bir yamuğun tabanları 11 cm ve 7 cm'dir. Yüksekliği kaç cm'dir?

Çözüm:

Adım 1: Tabanların toplamı: 11 + 7 = 18.

Adım 2: Formüle yaz: 18 × h ÷ 2 = 45.

Adım 3: 18 ÷ 2 = 9 olduğundan 9 × h = 45.

Adım 4: h = 45 ÷ 9 = 5.

Kontrol: (11 + 7) × 5 ÷ 2 = 90 ÷ 2 = 45 ✓

Sonuç: 5 cm

Örnek 5: L şeklindeki bir oda, 10 m × 8 m boyutlarındaki dikdörtgenin sağ üst köşesinden 4 m × 3 m'lik bir dikdörtgen çıkarılmış gibidir. Odanın alanı kaç m²'dir?

Çözüm (eksiltme):

Adım 1: Büyük dikdörtgenin alanı: 10 × 8 = 80.

Adım 2: Eksik köşenin alanı: 4 × 3 = 12.

Adım 3: 80 − 12 = 68.

Çözüm (parçalama) ile kontrol:

Adım 1: Alt parçanın genişliği 10 m, yüksekliği 8 − 3 = 5 m, alanı 10 × 5 = 50.

Adım 2: Üst parçanın genişliği 10 − 4 = 6 m, yüksekliği 3 m, alanı 6 × 3 = 18.

Adım 3: 50 + 18 = 68. İki yöntem aynı sonucu verdi.

Sonuç: 68 m²

Örnek 6: Bir ev resminde alt kısım 6 cm × 4 cm'lik bir dikdörtgen, çatı kısmı ise tabanı 6 cm, yüksekliği 3 cm olan bir üçgendir. Resmin toplam alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Adım 1: Dikdörtgenin alanı: 6 × 4 = 24.

Adım 2: Üçgenin alanı: 6 × 3 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9.

Adım 3: Toplam: 24 + 9 = 33.

Sonuç: 33 cm²

LGS ipucu

LGS'de bu konu çoğunlukla bir kat planı, bahçe ya da kâğıt katlama durumu üzerinden sorulur. Genelde şekilli ve yeni nesil bir soru olur. Soru başına ortalama 2 dakika ayırmayı hedefle. Şıkları elemek için önce kaba bir tahmin yap. Birleşik şeklin alanı, onu saran büyük dikdörtgenin alanından büyük olamaz. Bu sınırı aşan şıkları hemen ele. Yamuk sorusunda 2'ye bölmeyi unutursan tam 2 katı sonuç bulursun ve bu yanlış cevap genellikle şıklarda yer alır. Bulduğun sonucun yarısı ya da iki katı şıklarda görünüyorsa işlemini bir kez daha kontrol et.

Sık yapılan hatalar

• Eğik kenarı yükseklik sanmak: Tabanı 12, eğik kenarı 7, yüksekliği 6 olan paralelkenarda 12 × 7 = 84 yazmak yanlıştır. Doğrusu, tabana dik olan yüksekliği kullanmaktır: 12 × 6 = 72.
• Yamukta 2'ye bölmeyi unutmak: (10 + 6) × 4 = 64 yazıp bırakmak yanlıştır. Doğrusu 64 ÷ 2 = 32.
• Yamukta tabanları çarpmak: 10 × 6 × 4 ÷ 2 = 120 yazmak yanlıştır. Tabanlar toplanır: (10 + 6) × 4 ÷ 2 = 32.
• Birleşik şekilde aynı parçayı iki kez saymak: L şeklinde 10 × 8 ve 6 × 3 alanlarını toplayıp 98 bulmak yanlıştır, çünkü üst parça büyük dikdörtgenin içinde zaten sayılmıştır. Parçalar üst üste binmemelidir. Doğrusu 50 + 18 = 68.
• Birimleri karıştırmak: Bir kenar cm, öbürü m verilmişse önce ikisini de aynı birime çevir. Alan birimi her zaman karedir, yani cm² ya da m² yazılır.

Alıştırma

1) Tabanı 9 cm, yüksekliği 4 cm olan paralelkenarın alanı kaç cm²'dir?

2) Alanı 56 cm², tabanı 8 cm olan paralelkenarın yüksekliği kaç cm'dir?

3) Tabanları 9 cm ve 5 cm, yüksekliği 6 cm olan yamuğun alanı kaç cm²'dir?

4) Tabanları 13 m ve 7 m, yüksekliği 8 m olan yamuğun alanı kaç m²'dir?

5) Alanı 60 cm², yüksekliği 6 cm olan bir yamuğun bir tabanı 12 cm'dir. Diğer tabanı kaç cm'dir?

6) Tabanı 15 cm, eğik kenarı 10 cm, yüksekliği 8 cm olan paralelkenarın alanı kaç cm²'dir?

7) 12 cm × 10 cm'lik bir kartonun bir köşesinden 5 cm × 4 cm'lik bir dikdörtgen kesiliyor. Kalan kartonun alanı kaç cm²'dir?

8) Kenarı 8 cm olan bir karenin üstüne tabanı 8 cm, yüksekliği 5 cm olan bir üçgen yerleştiriliyor. Oluşan şeklin alanı kaç cm²'dir?

9) 25 m × 16 m'lik dikdörtgen bir bahçenin ortasında 6 m × 5 m'lik bir havuz var. Havuz dışında kalan çimli alan kaç m²'dir?

10) Tabanları 40 m ve 60 m, yüksekliği 30 m olan yamuk şeklindeki bir tarlanın her metrekaresine 2 kg gübre atılacak. Toplam kaç kg gübre gerekir?

Cevap Anahtarı

1) 36 cm²: 9 × 4 = 36.

2) 7 cm: 56 ÷ 8 = 7.

3) 42 cm²: (9 + 5) × 6 ÷ 2 = 84 ÷ 2 = 42.

4) 80 m²: (13 + 7) × 8 ÷ 2 = 160 ÷ 2 = 80.

5) 8 cm: (12 + x) × 6 ÷ 2 = 60 ise (12 + x) × 3 = 60, 12 + x = 20, x = 8.

6) 120 cm²: Eğik kenar kullanılmaz, 15 × 8 = 120.

7) 100 cm²: Eksiltme ile 120 − 20 = 100.

8) 84 cm²: Kare 64, üçgen 8 × 5 ÷ 2 = 20, toplam 64 + 20 = 84.

9) 370 m²: 25 × 16 = 400, havuz 6 × 5 = 30, 400 − 30 = 370.

10) 3000 kg: Alan (40 + 60) × 30 ÷ 2 = 1500 m², 1500 × 2 = 3000.

Dersin özeti

• Paralelkenardan bir üçgen kesip öbür uca taşıyınca dikdörtgen elde edilir. Bu yüzden alan = taban × yükseklik olur.
• Yamuk bir köşegenle iki üçgene ayrılır. Bu yüzden alan = (alt taban + üst taban) × yükseklik ÷ 2 olur.
• Yükseklik her zaman tabana diktir. Eğik kenar alan hesabında kullanılmaz.
• Birleşik şekillerde ya parçalama (parçaların alanlarını toplama) ya da eksiltme (büyük şekilden eksik parçayı çıkarma) yapılır. İki yöntemle bulunan sonuç aynı olmalıdır.
• Bu derste düz yüzeylerin alanını hesaplamayı öğrendik. Sonraki derslerde bu bilgiyi yeni şekillerde ve üç boyutlu cisimlerin hesaplarında kullanacağız. Bir cismin tabanının alanını bilmek, sonraki adımlar için sağlam bir temel olacak.