Dörtgenler ve Çokgenler: Kenar, Köşegen ve Açı Toplamları

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derste üçgenleri inceledik ve en önemli bilgiyi öğrendik: Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180°'dir. Bu derste bu bilgiyi bir anahtar gibi kullanacağız. Dörtgenleri, beşgenleri, altıgenleri ve daha fazla kenarı olan şekilleri üçgenlere ayıracak, açı toplamlarını ezberlemeden bulacağız.

Günlük hayattan giriş

Etrafına bir bak: Defterin, kapı, pencere ve ekranın dikdörtgen biçimindedir. Satranç tahtasındaki her kare bir karedir. Bazı merdiven korkuluklarında ve çatı kirişlerinde yamuk biçimleri, bazı yer karolarında eşkenar dörtgenler görürsün. Futbol toplarının bazılarının dikişleri beşgen ve altıgen parçalardan oluşur. Arılar peteklerini düzgün altıgen gözlerden yapar.

Bu şekiller rastgele seçilmez. Örneğin bir yer ustası karoları boşluk bırakmadan döşemek isterse, bir köşede buluşan açıların toplamının tam 360° olması gerekir. Düzgün altıgenin bir iç açısı 120°'dir; üç altıgen bir köşede buluşunca 3 × 120° = 360° eder ve arada boşluk kalmaz. İşte petek gözlerinin bu kadar düzenli birleşmesinin nedeni budur.

Bu derste önce dörtgen çeşitlerini karşılaştıracağız, sonra herhangi bir çokgenin iç açıları toplamını bulmayı öğreneceğiz. Kuralı ezberlemek yerine nereden geldiğini göreceğiz; böylece unutsan bile yeniden bulabileceksin.

Tanım ve kural

1) Dörtgen çeşitleri

Dört kenarı, dört köşesi ve dört açısı olan kapalı şekle dörtgen denir. Bir dörtgeni bir köşegenle ikiye bölersen iki üçgen elde edersin. Her üçgenin açıları toplamı 180° olduğundan her dörtgenin iç açıları toplamı 180° + 180° = 360° olur.

Neden paralelkenarda komşu açıların toplamı 180°? Paralelkenarın açılarına a, b, a, b diyelim (karşılıklı açılar eşit). Toplam 360° olduğundan a + b + a + b = 360°, yani 2 × (a + b) = 360°. Buradan a + b = 180° çıkar.

Dikkat: Kare aynı zamanda bir dikdörtgendir (dört açısı 90°). Kare aynı zamanda bir eşkenar dörtgendir (dört kenarı eşit). Dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgen aynı zamanda birer paralelkenardır. Yani kare, bu ailenin en çok özelliğe sahip üyesidir.

2) Çokgenlerde iç açılar toplamı

n kenarlı bir çokgenin bir köşesini seç. Bu köşeden kendisine ve iki komşusuna köşegen çizemezsin; geriye kalan n − 3 köşeye köşegen çizebilirsin. Bu köşegenler çokgeni n − 2 tane üçgene böler. Her üçgen 180° getirdiği için:

İç açılar toplamı = (n − 2) × 180°

Çokgenin tüm kenarları ve tüm açıları eşitse ona düzgün çokgen denir. Düzgün çokgende açıların hepsi eşit olduğu için toplamı açı sayısına böleriz:

Düzgün çokgenin bir iç açısı = (n − 2) × 180° ÷ n

Toplam köşegen sayısı: Her köşeden n − 3 köşegen çıkar, n köşe vardır. Ama her köşegen iki ucundan iki kez sayılır. Bu yüzden köşegen sayısı = n × (n − 3) ÷ 2 olur.

Dış açılar: Bir köşedeki iç açı ile dış açı yan yana bir doğru oluşturur, yani toplamları 180°'dir. n köşede bu toplam n × 180° eder. İç açılar (n − 2) × 180° tuttuğu için dış açılar toplamı n × 180° − (n − 2) × 180° = 2 × 180° = 360° olur. Bu değer kenar sayısına bağlı değildir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: Bir dörtgenin üç iç açısı 80°, 95° ve 110°'dir. Dördüncü açı kaç derecedir?

Çözüm:

Dörtgenin iç açıları toplamı 360°'dir.

Bilinen açıları toplayalım: 80° + 95° + 110° = 285°.

Kalan açı: 360° − 285° = 75°.

Dördüncü açı 75°'dir.

Örnek 2: Bir paralelkenarın bir açısı 65°'dir. Diğer açıları bulunuz.

Çözüm:

Karşılıklı açılar eşit olduğundan karşısındaki açı da 65°'dir.

Komşu açıların toplamı 180° olduğundan komşu açı 180° − 65° = 115°'dir.

Kontrol: 65° + 115° + 65° + 115° = 360° ✓

Açılar 65°, 115°, 65°, 115°'dir.

Örnek 3: Bir beşgenin iç açıları toplamı kaç derecedir? Beşgen düzgün ise bir iç açısı kaç derecedir?

Çözüm:

n = 5 olduğundan üçgen sayısı 5 − 2 = 3'tür.

İç açılar toplamı: 3 × 180° = 540°.

Düzgün beşgende 5 açı eşittir: 540° ÷ 5 = 108°.

Toplam 540°, bir iç açı 108°'dir.

Örnek 4: Bir altıgenin toplam kaç köşegeni vardır?

Çözüm:

Her köşeden 6 − 3 = 3 köşegen çizilir.

6 köşe için 6 × 3 = 18 sayılır.

Her köşegen iki kez sayıldığı için 18 ÷ 2 = 9.

Altıgenin 9 köşegeni vardır.

Örnek 5: İç açıları toplamı 1260° olan çokgen kaç kenarlıdır?

Çözüm:

(n − 2) × 180° = 1260° olmalı.

Üçgen sayısını bulalım: 1260 ÷ 180 = 7, yani n − 2 = 7.

Buradan n = 7 + 2 = 9.

Çokgen 9 kenarlıdır (dokuzgen).

Örnek 6: Bir iç açısı 140° olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

Çözüm:

İç açı ile dış açı toplamı 180° olduğundan bir dış açı 180° − 140° = 40°'dir.

Dış açılar toplamı 360° ve hepsi eşit olduğundan kenar sayısı 360° ÷ 40° = 9'dur.

Kontrol: (9 − 2) × 180° = 1260°, 1260° ÷ 9 = 140° ✓

Çokgen 9 kenarlıdır.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: Beşgenin iç açıları toplamı 5 × 180° = 900°. Doğrusu: Beşgen 3 üçgene ayrılır; toplam (5 − 2) × 180° = 540°.
• Yanlış: Düzgün olmayan bir beşgenin her açısı 108°'dir. Doğrusu: Toplamı açı sayısına bölmek yalnızca düzgün çokgende doğrudur; düzgün olmayan çokgende açılar farklı olabilir.
• Yanlış: Her dörtgenin köşegenleri eşittir. Doğrusu: Köşegenler karede, dikdörtgende ve ikizkenar yamukta eşittir; paralelkenar ve eşkenar dörtgende genelde eşit değildir.
• Yanlış: Kare eşkenar dörtgen değildir. Doğrusu: Karenin dört kenarı eşit olduğu için kare, açıları 90° olan özel bir eşkenar dörtgendir.
• Yanlış: Yedigenin bir köşesinden 5 köşegen çizilir. Doğrusu: Bir köşeden n − 3 = 4 köşegen çizilir; n − 2 = 5 ise oluşan üçgen sayısıdır.

LGS için ipucu

LGS'de bu konu genellikle bir yer döşemesi, pencere veya petek gibi bir bağlamla sorulur ve bir soruya ortalama 1-2 dakika ayırmak yeterlidir. Şıkları elerken şu kontrolleri yap: İç açılar toplamı her zaman 180°'nin katıdır; düzgün çokgende bir iç açı 180°'den küçüktür ve kenar sayısı arttıkça büyür; dış açı 360°'yi tam bölmelidir. Bu kurallara uymayan şıkları hemen elersin.

Alıştırma

1) Bir altıgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

2) Bir sekizgenin iç açıları toplamı kaç derecedir?

3) Düzgün sekizgenin bir iç açısı kaç derecedir?

4) Bir dörtgenin açıları 90°, 70°, 120° ve x'tir. x kaç derecedir?

5) Bir paralelkenarın bir açısı 48°'dir. Bu açının komşu açısı kaç derecedir?

6) İç açıları toplamı 900° olan çokgen kaç kenarlıdır?

7) Düzgün on ikigenin bir iç açısı kaç derecedir?

8) Bir yedigenin bir köşesinden kaç köşegen çizilebilir?

9) Bir beşgenin toplam kaç köşegeni vardır?

10) Bir dış açısı 30° olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

Cevap Anahtarı

1) 720° — (6 − 2) × 180° = 4 × 180° = 720°.

2) 1080° — (8 − 2) × 180° = 6 × 180° = 1080°.

3) 135° — 1080° ÷ 8 = 135°.

4) 80° — 360° − (90° + 70° + 120°) = 360° − 280° = 80°.

5) 132° — Komşu açılar toplamı 180° olduğundan 180° − 48° = 132°.

6) 7 kenar — 900 ÷ 180 = 5 üçgen, n = 5 + 2 = 7.

7) 150° — (12 − 2) × 180° = 1800°, 1800° ÷ 12 = 150°.

8) 4 — Bir köşeden n − 3 = 7 − 3 = 4 köşegen çizilir.

9) 5 — 5 × (5 − 3) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5.

10) 12 kenar — Dış açılar toplamı 360° olduğundan 360° ÷ 30° = 12.

Dersin özeti

• Her dörtgen iki üçgene ayrılır; bu yüzden iç açıları toplamı 360°'dir. Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit, komşu açılar toplamı 180°'dir.
• Kare hem dikdörtgenin hem de eşkenar dörtgenin özel bir hâlidir; bunların hepsi birer paralelkenardır. Yamukta yalnızca iki kenar paraleldir.
• n kenarlı bir çokgen bir köşeden çizilen köşegenlerle n − 2 üçgene ayrılır; iç açılar toplamı (n − 2) × 180°'dir.
• Düzgün çokgende bir iç açı, toplamın n'e bölümüdür. Dış açılar toplamı ise her çokgende 360°'dir.
• Köşegen sayısı n × (n − 3) ÷ 2 ile bulunur.

Bir sonraki derste bu şekillerin alanlarını hesaplayacağız. Burada öğrendiğin bölme fikri orada da işine yarayacak: Paralelkenarı dikdörtgene, yamuğu üçgenlere dönüştürerek alan formüllerinin nereden geldiğini göreceğiz.