Fonksiyonlara Giriş: Tanım, Gösterim ve Grafik

Günlük hayattan giriş

Okuldaki içecek otomatını düşünün. Her düğmenin bir numarası var ve 12 numaralı düğmeye bastığınızda hep aynı ürün düşer. Bir gün 12'ye basınca su, ertesi gün meyve suyu gelse makineye güvenmezdiniz. Bir düğmeye basınca iki farklı ürünün birden düştüğü bir makine de bozuk sayılırdı. Otomatın doğru çalışması için her düğme tek ve belirli bir ürün vermelidir. Matematikte bu fikrin adı fonksiyondur.

Başka bir örnek: Bir taksinin açılış ücreti 20 TL olsun, her kilometre için de 15 TL alınsın (bunlar uydurduğumuz örnek sayılardır). Gidilen yolu x km ile gösterirsek ödenecek ücret 15x + 20 TL olur. 4 km giderseniz 15 × 4 + 20 = 80 TL ödersiniz. Aynı yol için taksimetre iki farklı ücret göstermez. Yani her girdiye (kilometreye) bir tek çıktı (ücret) karşılık gelir. Bu kurala f dersek, ücreti kısaca f(x) = 15x + 20 diye yazarız.

Okul numarası ile öğrenci arasındaki ilişki de buna benzer. Bir sınıfta her numara tek bir öğrenciye aittir. Bu derste bu gündelik fikri matematik diliyle tanımlayacağız. Önce fonksiyonun ne olduğunu, sonra f(x) gösterimiyle nasıl hesap yapılacağını, en son da grafiğine bakarak bir çizimin fonksiyon olup olmadığını nasıl anlayacağımızı öğreneceğiz. Bu ders, kursumuzun son dersi. Kümeler ve denklemler konusunda öğrendiklerinizin hepsini burada kullanacağız.

Tanım ve kural

Tanım: A ve B boş olmayan iki küme olsun. A'nın her elemanını B'nin yalnız bir elemanıyla eşleyen kurala A'dan B'ye bir fonksiyon denir ve f: A → B diye yazılır.

Bu tanımın içinde iki şart var:

• Şart 1: A'da eşlenmemiş eleman kalmamalı. Her girdinin bir çıktısı olmalı.
• Şart 2: A'nın bir elemanı B'de iki farklı elemanla eşlenmemeli. Her girdinin yalnız bir çıktısı olmalı.

Bu şartlar neden var? Fonksiyonun amacı "x verilince sonucu kesin olarak söylemek"tir. Bir girdinin hiç çıktısı yoksa f(x) diye bir değerden söz edemeyiz. Bir girdinin iki çıktısı varsa "f(2) kaçtır?" sorusuna tek bir cevap veremeyiz. Otomat örneğindeki gibi, kuralın güvenilir olması için bu iki şart gerekir.

Neler serbest? B kümesinde hiçbir elemanla eşlenmemiş eleman kalabilir. Otomatta satılmayan bir ürün olabilir. A'nın iki farklı elemanı da B'deki aynı elemana gidebilir. İki farklı düğme aynı ürünü verebilir. Bunlar fonksiyon olmayı bozmaz.

Üç önemli küme:

• Tanım kümesi: Girdilerin kümesi, yani A.
• Değer kümesi: Çıktıların seçilebileceği küme, yani B.
• Görüntü kümesi: Gerçekten kullanılan çıktıların kümesi. f(A) diye yazılır ve her zaman f(A) ⊆ B olur.

f(x) gösterimi: f(x), "x'in f altındaki görüntüsü" demektir. f(x) = 3x − 5 ise f(2) değerini bulmak için x gördüğümüz her yere 2 yazarız. Bu bir çarpım değildir. f(x), "f çarpı x" anlamına gelmez.

Doğrusal fonksiyon: a ve b gerçek sayılar olmak üzere f(x) = ax + b biçimindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. Grafiği bir doğrudur. Bir doğruyu çizmek için iki nokta yeter. Bu yüzden genellikle x = 0 ve y = 0 alınarak eksenleri kestiği noktalar bulunur.

Dikey doğru testi: Bir grafiği y eksenine paralel (dikey) doğrularla keselim. Herhangi bir dikey doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa bu grafik bir fonksiyon grafiği değildir. Neden? Dikey bir doğru üzerindeki bütün noktaların x değeri aynıdır. İki kesişim noktası varsa aynı x için iki farklı y bulunmuş olur. Bu da Şart 2'yi bozar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (Fonksiyon mu?)

A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} kümeleri veriliyor. Aşağıdaki bağıntılardan hangileri A'dan B'ye fonksiyondur? Fonksiyon olanın görüntü kümesini yazınız.

β₁ = {(1, a), (2, b), (3, b)}, β₂ = {(1, a), (1, c), (2, b), (3, d)}, β₃ = {(1, a), (2, c)}

Çözüm:

β₁'de 1, 2 ve 3 elemanlarının her birinin tek bir eşi var. 2 ile 3'ün aynı elemana (b) gitmesi sorun değil. Bu yüzden β₁ fonksiyondur.

β₂'de 1 elemanı hem a hem c ile eşlenmiş. Bir girdinin iki çıktısı olduğu için β₂ fonksiyon değildir.

β₃'te 3 elemanı hiçbir elemanla eşlenmemiş. A'da açıkta eleman kaldığı için β₃ fonksiyon değildir.

β₁'in görüntü kümesi, kullanılan çıktılardan oluşur: {a, b}.

Sonuç: Yalnız β₁ fonksiyondur ve görüntü kümesi {a, b}'dir.

Örnek 2 (Değer hesaplama)

f(x) = 3x − 5 olduğuna göre f(2), f(0) ve f(−1) değerlerini bulunuz.

Çözüm:

f(2) = 3 · 2 − 5 = 6 − 5 = 1

f(0) = 3 · 0 − 5 = 0 − 5 = −5

f(−1) = 3 · (−1) − 5 = −3 − 5 = −8

Sonuç: f(2) = 1, f(0) = −5, f(−1) = −8

Örnek 3 (Görüntü kümesi)

A = {−1, 0, 1, 2} olmak üzere f: A → ℤ, f(x) = x² + 1 fonksiyonu veriliyor. Tanım kümesini, değer kümesini ve görüntü kümesini yazınız.

Çözüm:

f(−1) = (−1)² + 1 = 1 + 1 = 2

f(0) = 0² + 1 = 1

f(1) = 1² + 1 = 2

f(2) = 2² + 1 = 4 + 1 = 5

Bulunan çıktılar 2, 1, 2, 5. Kümede aynı eleman bir kez yazılır.

−1 ile 1'in aynı sonuca (2) gitmesi fonksiyon olmayı bozmaz.

Sonuç: Tanım kümesi {−1, 0, 1, 2}, değer kümesi ℤ, görüntü kümesi {1, 2, 5}

Örnek 4 (Girdiyi bulma ve f(x + 1))

f(x) = 2x + 4 veriliyor. a) f(a) = 10 ise a kaçtır? b) f(x + 1) ifadesini bulunuz.

Çözüm:

a) f(a) = 2a + 4 olduğu için 2a + 4 = 10 denklemini kurarız.

Her iki taraftan 4 çıkarırız: 2a = 6

Her iki tarafı 2'ye böleriz: a = 3. Kontrol: f(3) = 2 · 3 + 4 = 10 ✓

b) x gördüğümüz yere (x + 1) yazarız: f(x + 1) = 2(x + 1) + 4

Parantezi açarız: 2x + 2 + 4 = 2x + 6

Sonuç: a = 3 ve f(x + 1) = 2x + 6

Örnek 5 (Doğrusal fonksiyonun grafiği)

f(x) = −2x + 6 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:

Grafik bir doğru olduğu için iki nokta yeter. Grafikte y = f(x) olarak alınır.

x = 0 alalım: y = −2 · 0 + 6 = 6. Grafik y eksenini (0, 6) noktasında keser.

y = 0 alalım: 0 = −2x + 6 olur, buradan 2x = 6 ve x = 3 bulunur. Grafik x eksenini (3, 0) noktasında keser.

Kontrol için bir nokta daha bulalım: x = 1 için y = −2 + 6 = 4. (1, 4) noktası da aynı doğrunun üzerinde olmalı.

Koordinat sisteminde (0, 6) ve (3, 0) noktalarını işaretleyip bir doğruyla birleştiririz. Doğru, soldan sağa giderken aşağı iner, çünkü x'in katsayısı negatiftir.

Sonuç: Grafik, (0, 6) ve (3, 0) noktalarından geçen doğrudur.

Örnek 6 (Dikey doğru testi)

Aşağıdaki çizimlerden hangileri bir fonksiyon grafiğidir? I) y = x² parabolü, II) x = 2 doğrusu, III) x = y² eğrisi

Çözüm:

I) Her x için y = x² tek bir değerdir. Hangi dikey doğruyu çizersek çizelim, grafiği yalnız bir noktada keser. Bu bir fonksiyon grafiğidir.

II) x = 2 doğrusu zaten dikey bir doğrudur. (2, 0), (2, 1), (2, 5) gibi sonsuz nokta içerir. Aynı x için sonsuz sayıda y vardır. Fonksiyon grafiği değildir.

III) x = 4 dikey doğrusunu çizelim. y² = 4 olduğu için y = 2 ya da y = −2 bulunur. Doğru grafiği (4, 2) ve (4, −2) olmak üzere iki noktada keser. Fonksiyon grafiği değildir.

Sonuç: Yalnız I fonksiyon grafiğidir.

Örnek 7 (Kuralı bulma)

f(x) = ax + b doğrusal fonksiyonunda f(1) = 5 ve f(3) = 11 olduğuna göre f(5) kaçtır?

Çözüm:

f(1) = 5 bilgisinden: a + b = 5

f(3) = 11 bilgisinden: 3a + b = 11

İkinci denklemden birinciyi çıkarırız: 3a − a = 11 − 5, yani 2a = 6 ve a = 3.

a + b = 5 denkleminde a = 3 yazarız: b = 2. Böylece f(x) = 3x + 2 olur.

Kontrol: f(1) = 3 + 2 = 5 ✓, f(3) = 9 + 2 = 11 ✓

f(5) = 3 · 5 + 2 = 15 + 2 = 17

Sonuç: f(5) = 17

Sık yapılan hatalar

• Negatif sayıyı parantezsiz yazmak: f(x) = 3x − 5 için "f(−2) = −6 + 5 = −1" yazmak yanlıştır. Doğrusu: f(−2) = 3 · (−2) − 5 = −6 − 5 = −11.
• "B'de açıkta eleman kaldı, fonksiyon değil" demek: Değer kümesinde eşlenmemiş eleman kalabilir. Doğrusu: Açıkta eleman kalmaması gereken küme tanım kümesi A'dır.
• "İki girdi aynı çıktıya gidiyor, fonksiyon değil" demek: f(−1) = f(1) = 2 olması sorun değildir. Doğrusu: Yasak olan, bir girdinin iki çıktısı olmasıdır.
• f(x + 1) ile f(x) + 1'i karıştırmak: f(x) = 2x + 4 için f(x + 1) = 2x + 5 yazmak yanlıştır. Doğrusu: f(x + 1) = 2(x + 1) + 4 = 2x + 6, f(x) + 1 ise 2x + 5'tir. Bunlar farklı ifadelerdir.
• Görüntü kümesi yerine değer kümesini yazmak: Örnek 3'te görüntü kümesine ℤ demek yanlıştır. Doğrusu: Görüntü kümesi yalnız gerçekten elde edilen çıktılardır: {1, 2, 5}.

Alıştırma

1) f(x) = 4x − 3 olduğuna göre f(2) ve f(−1) değerlerini bulunuz.

2) x = 5 doğrusu bir fonksiyon grafiği midir?

3) f(x) = x² − 2x olduğuna göre f(3) kaçtır?

4) A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6} olmak üzere β = {(1, 4), (2, 4), (3, 6)} bağıntısı A'dan B'ye fonksiyon mudur?

5) Aynı A ve B kümeleri için β = {(1, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 6)} bağıntısı A'dan B'ye fonksiyon mudur?

6) A = {−2, −1, 0, 1} olmak üzere f: A → ℤ, f(x) = x² fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.

7) f(x) = 5x + 2 ve f(a) = 17 olduğuna göre a kaçtır?

8) f(x) = 3x − 6 fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

9) f(x) = ax + b doğrusal fonksiyonunda f(0) = 4 ve f(2) = 10 olduğuna göre f(4) kaçtır?

10) f(x) = 2x − 1 olduğuna göre f(x + 3) ifadesini bulunuz.

Cevap Anahtarı

• 1) f(2) = 5, f(−1) = −7. 4 · 2 − 3 = 5 ve 4 · (−1) − 3 = −4 − 3 = −7 olur.
• 2) Hayır. Bu doğru üzerindeki tüm noktalarda x = 5'tir, yani tek bir x için sonsuz sayıda y vardır.
• 3) 3. 3² − 2 · 3 = 9 − 6 = 3 olur.
• 4) Evet. Her girdinin tek bir çıktısı var, 1 ile 2'nin aynı elemana gitmesi sorun değildir.
• 5) Hayır. 2 elemanı hem 5 hem 6 ile eşlenmiştir.
• 6) {0, 1, 4}. Çıktılar 4, 1, 0, 1'dir; tekrar eden 1 bir kez yazılır.
• 7) a = 3. 5a + 2 = 17 denkleminden 5a = 15 bulunur.
• 8) (0, −6) ve (2, 0). x = 0 için y = −6 olur, y = 0 için de 3x = 6'dan x = 2 bulunur.
• 9) 16. f(0) = b = 4, 2a + 4 = 10'dan a = 3 bulunur ve f(4) = 12 + 4 = 16 olur.
• 10) 2x + 5. 2(x + 3) − 1 = 2x + 6 − 1 = 2x + 5 olur.

Dersin özeti

• Fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesindeki yalnız bir elemanla eşleyen kuraldır. Değer kümesinde açıkta eleman kalabilir, farklı girdiler aynı çıktıya gidebilir.
• Tanım kümesi girdilerin kümesidir. Değer kümesi çıktıların seçildiği kümedir. Görüntü kümesi ise gerçekten elde edilen çıktılardır ve değer kümesinin alt kümesidir.
• f(a) değerini bulmak için x gördüğümüz her yere a yazarız. Negatif sayıları ve ifadeleri parantez içinde yazarız.
• f(x) = ax + b biçimindeki doğrusal fonksiyonların grafiği bir doğrudur. Eksenleri kestiği iki nokta çizim için yeterlidir.
• Dikey doğru testi: Bir dikey doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa grafik fonksiyon değildir, çünkü aynı x için iki y bulunur.

Kursun kapanışı: Bu dersle kursumuzu tamamladık. Mantık bölümünde önermeleri doğru kurmayı öğrendik. Kümelerde elemanları gruplamayı ve alt küme kavramını gördük. Denklemlerde bilinmeyeni adım adım bulmayı çalıştık. Fonksiyonlarda ise bu bilgilerin hepsini birlikte kullandık: Tanımı kümelerle yaptık, bir girdiyi bulmak için denklem çözdük, bir çizimin fonksiyon olup olmadığına mantıklı bir gerekçeyle karar verdik. Fonksiyonlar lisenin ilerleyen yıllarında sık sık karşınıza çıkacak. Bu yüzden "her girdiye tek çıktı" fikrini ve f(x) gösterimini iyice oturtmanız, sonraki konularda işinizi çok kolaylaştıracak.