Niceleyiciler ve Matematiksel İspata Giriş

Günlük hayattan giriş

Önceki derste önermeleri, bir önermenin olumsuzunu (değilini) ve “ve”, “veya”, “ise” bağlaçlarıyla kurulan bileşik önermeleri gördük. Bu derste bir adım ileri gidiyoruz: Bir cümlenin kaç kişi ya da kaç sayı için geçerli olduğunu söyleyen kelimeleri inceleyeceğiz. Günlük konuşmada bu kelimeleri sürekli kullanırız: “Sınıftaki herkes ödevini getirdi.”, “Bazı öğrenciler geç kaldı.”, “Bu otobüsler her gün çalışır.”

Şöyle bir durum düşünelim. Arkadaşın “Sınıfımızdaki herkes futbolu sever.” diyor. Bu sözün yanlış olduğunu göstermek için ne yapmalısın? Sınıftaki herkese tek tek sormana gerek yok. Futbolu sevmeyen tek bir arkadaş bulman yeterli. Öte yandan arkadaşın “Sınıfımızda satranç oynayan biri var.” derse, bu sözün doğru olduğunu göstermek için satranç oynayan tek bir kişiyi göstermek yeter. İşte “her” ve “bazı” kelimelerinin gücü bu farkta saklıdır.

Matematikte de durum aynıdır. “Her çift sayının karesi çifttir.” gibi bir cümle sonsuz tane sayı hakkında konuşur. Bunu birkaç örnekle deneyip “oldu” diyemeyiz, çünkü denemediğimiz bir sayıda bozulabilir. Bu yüzden matematikçiler ispat yapar: Her sayı için geçerli olan genel bir akıl yürütme kurarlar. Bu derste niceleyicileri, olumsuzlarını, doğrudan ispatı ve karşı örnekle çürütmeyi öğreneceğiz.

Tanım ve kural

Açık önerme: İçinde değişken bulunan ve değişkene değer verilince doğru ya da yanlış olan ifadedir. Örneğin p(x): “x + 2 = 5” tek başına doğru ya da yanlış değildir; x = 3 için doğru, x = 4 için yanlıştır. Açık önermeyi gerçek bir önermeye dönüştürmenin bir yolu, başına bir niceleyici koymaktır.

Evrensel niceleyici (∀): “Her”, “bütün”, “tüm” anlamına gelir. “∀x ∈ A, p(x)” ifadesi “A kümesindeki her x için p(x) doğrudur.” diye okunur. Bu önermenin doğru olması için A'daki istisnasız bütün elemanların p(x)'i sağlaması gerekir.

Varlıksal niceleyici (∃): “Bazı”, “en az bir”, “vardır” anlamına gelir. “∃x ∈ A, p(x)” ifadesi “A kümesinde p(x)'i sağlayan en az bir x vardır.” diye okunur. Bu önermenin doğru olması için tek bir uygun eleman bulmak yeterlidir.

Olumsuzları neden böyle? “Her x için p(x) doğrudur.” sözü yanlışsa, bu “hiçbir x için doğru değil” demek zorunda değildir; sadece en az bir x için bozuluyor demektir. Bu yüzden:

(∀x, p(x))′ ≡ ∃x, p′(x)

Benzer şekilde “p(x)'i sağlayan en az bir x vardır.” sözü yanlışsa, hiçbir x p(x)'i sağlamıyor, yani her x için p(x) yanlıştır:

(∃x, p(x))′ ≡ ∀x, p′(x)

Kısacası olumsuz alırken niceleyici değişir (∀ ↔ ∃) ve içteki önermenin olumsuzu alınır. Önceki derste gördüğümüz gibi “x > 3” ifadesinin olumsuzu “x < 3” değil, “x ≤ 3” olur.

Doğrudan ispat: Verilen bilgiden (hipotezden) başlayıp bildiğimiz kurallarla adım adım sonuca ulaşmaktır. Sayı özelliklerinde en çok şu gösterimleri kullanırız: Bir çift tam sayı 2k, bir tek tam sayı 2k + 1 biçiminde yazılır (k bir tam sayı). Farklı sayılar için farklı harfler kullanılır.

Karşı örnekle çürütme: “Her” içeren bir önermeyi sağlamayan tek bir eleman gösterilirse önerme yanlış olur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

“∃x ∈ ℤ, x² = 4” önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm:

Bu bir “en az bir tane vardır” önermesidir; bir örnek bulmak yeterlidir.

x = 2 bir tam sayıdır ve 2² = 4 olur.

Uygun bir x bulduk.

Önerme doğrudur.

Örnek 2

“∃x ∈ ℕ, x + 5 = 3” önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm:

Denklemi çözelim: x = 3 − 5 = −2.

Denklemi sağlayan tek sayı −2'dir ve −2 bir doğal sayı değildir.

Demek ki ℕ içinde bu denklemi sağlayan hiçbir sayı yoktur.

Önerme yanlıştır.

Örnek 3

“∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0” önermesinin olumsuzunu yazınız ve hangisinin doğru olduğunu belirtiniz.

Çözüm:

∀ niceleyicisi ∃ olur.

“x² ≥ 0” ifadesinin olumsuzu “x² < 0” olur.

Olumsuz: ∃x ∈ ℝ, x² < 0.

Bir gerçek sayının karesi pozitif ya da sıfırdır (pozitif × pozitif, negatif × negatif pozitiftir; 0² = 0). Bu nedenle ilk önerme doğrudur.

Olumsuzu: ∃x ∈ ℝ, x² < 0. İlk önerme doğru, olumsuzu yanlıştır.

Örnek 4

“Her asal sayı tektir.” önermesi doğru mudur?

Çözüm:

Önerme “her” içeriyor; yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek yeterli.

2 sayısının pozitif bölenleri yalnızca 1 ve 2'dir, bu yüzden 2 asaldır.

Fakat 2 çift sayıdır.

Önerme yanlıştır; karşı örnek: 2.

Örnek 5

İki çift tam sayının toplamının çift olduğunu ispatlayınız.

Çözüm:

İki çift sayıyı a ve b olarak alalım. Farklı olabilecekleri için farklı harfler kullanırız: a = 2m, b = 2n (m ve n tam sayı).

Toplam: a + b = 2m + 2n.

2 ortak çarpan parantezine alınır: a + b = 2(m + n).

m + n bir tam sayıdır; öyleyse a + b, 2 ile bir tam sayının çarpımıdır.

a + b çifttir. İspat tamamlandı.

Örnek 6

Her tek tam sayının karesinin tek olduğunu ispatlayınız.

Çözüm:

Tek bir sayı n = 2k + 1 biçimindedir (k tam sayı).

n² = (2k + 1)² = (2k + 1)(2k + 1).

Çarpımı açalım: n² = 4k² + 2k + 2k + 1 = 4k² + 4k + 1.

İlk iki terimden 2 parantezine alalım: n² = 2(2k² + 2k) + 1.

2k² + 2k bir tam sayıdır; öyleyse n², “2 × tam sayı + 1” biçimindedir.

n² tektir. İspat tamamlandı.

Örnek 7

“Her n doğal sayısı için n² + n + 41 asal sayıdır.” önermesini inceleyiniz.

Çözüm:

n = 0 için 41, n = 1 için 43, n = 2 için 47 çıkar; hepsi asaldır. Ama birkaç örnek “her” önermesini ispatlamaz.

n = 40 deneyelim: 40² + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681.

41 × 41 = 1681 olduğundan 1681 asal değildir.

Önerme yanlıştır; karşı örnek: n = 40. Bu örnek, birçok denemede doğru çıkan bir kuralın bile genel olarak yanlış olabileceğini gösterir.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: “Her öğrenci gözlüklüdür.” önermesinin olumsuzu “Hiçbir öğrenci gözlüklü değildir.” → Doğrusu: “Bazı öğrenciler gözlüklü değildir.” (En az bir öğrencinin gözlüklü olmaması yeterlidir.)
• Yanlış: (∃x, x > 3)′ ≡ ∃x, x < 3 → Doğrusu: ∀x, x ≤ 3. Hem niceleyici değişir hem de “>” işaretinin olumsuzu “≤” olur.
• Yanlış: “2 + 4 = 6, 6 + 8 = 14, 10 + 12 = 22 çift; o hâlde iki çift sayının toplamı her zaman çifttir.” → Doğrusu: Örnekler “her” önermesini ispatlamaz; a = 2m, b = 2n ile genel ispat yapılmalıdır.
• Yanlış: İki çift sayıyı a = 2k ve b = 2k diye yazmak. → Doğrusu: Bu yazım iki sayıyı eşit kabul eder. Farklı sayılar için farklı harfler seçilmelidir: a = 2m, b = 2n.
• Yanlış: “Bir karşı örnek bulamadım, o hâlde önerme doğrudur.” → Doğrusu: Karşı örnek bulamamak ispat değildir; önermenin doğru olduğunu genel bir akıl yürütmeyle göstermek gerekir.

Alıştırma

1) “∀x ∈ ℝ, x + 1 > x” önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

2) “∃x ∈ ℕ, 2x = 7” önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

3) “∀x ∈ ℤ, x² ≥ x” önermesinin olumsuzunu yazınız.

4) “∃x ∈ ℝ, x² = −1” önermesinin olumsuzunu yazınız.

5) “Her n doğal sayısı için n² > n” önermesini bir karşı örnekle çürütünüz.

6) “4'e bölünebilen her doğal sayı 8'e de bölünebilir.” önermesini bir karşı örnekle çürütünüz.

7) İki tek tam sayının toplamının çift olduğunu ispatlayınız.

8) Bir çift tam sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımının çift olduğunu ispatlayınız.

9) Ardışık üç tam sayının toplamının 3'e bölünebildiğini ispatlayınız.

10) “∀x ∈ ℝ, (x + 1)² = x² + 1” önermesi doğru mudur? Gerekçelendiriniz.

Cevap Anahtarı

1) Doğru. Hangi gerçek sayıya 1 eklersek ekleyelim, sonuç o sayıdan 1 fazla olur.

2) Yanlış. 2x = 7 denkleminin tek çözümü x = 3,5'tir ve bu bir doğal sayı değildir.

3) ∃x ∈ ℤ, x² < x. ∀ yerine ∃ yazılır, “≥” işaretinin olumsuzu “<” olur.

4) ∀x ∈ ℝ, x² ≠ −1. ∃ yerine ∀ yazılır, “=” işaretinin olumsuzu “≠” olur.

5) Karşı örnek: n = 1 (ya da n = 0). 1² = 1 olduğundan 1 > 1 yanlıştır.

6) Karşı örnek: 4 (ya da 12, 20…). 4 sayısı 4'e bölünür ama 8'e bölünmez.

7) (2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1), yani çifttir. Tek sayıları farklı harflerle yazıp 2 parantezine alın.

8) 2k × n = 2(kn), yani çifttir. kn bir tam sayı olduğundan çarpım 2'nin katıdır.

9) n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1), yani 3'e bölünür. Sayıları n, n + 1, n + 2 diye yazıp 3 parantezine alın.

10) Yanlış; karşı örnek x = 1. (1 + 1)² = 4 ama 1² + 1 = 2 ve 4 ≠ 2.

Dersin özeti

• ∀ “her”, ∃ “en az bir” anlamına gelir; niceleyici, açık önermeyi doğruluk değeri olan bir önermeye dönüştürür.
• Olumsuz alırken niceleyici değişir ve içteki önermenin olumsuzu alınır: (∀x, p(x))′ ≡ ∃x, p′(x) ve (∃x, p(x))′ ≡ ∀x, p′(x).
• Bir “∃” önermesini doğrulamak için tek bir örnek, bir “∀” önermesini çürütmek için tek bir karşı örnek yeter.
• Bir “∀” önermesini ispatlamak için örnek vermek yetmez; çift sayıyı 2k, tek sayıyı 2k + 1 diye yazarak genel bir doğrudan ispat yapılır.
• Sonraki derslerde kümelere geçeceğiz. Bu derste kullandığımız “x ∈ A” yazımı ve “her eleman için” diye düşünme alışkanlığı, orada alt küme ve eşit küme gibi kavramları anlamamızı kolaylaştıracak.