Önermeler ve Doğruluk Değeri

Merhaba, 9. sınıf matematik kursumuza hoş geldin! Bu kursta mantıkla başlayıp kümelere, denklemlere ve fonksiyonlara geçeceğiz. İlk dersimizde matematiğin en temel taşlarından birini öğreneceğiz: önerme. Burada ezber yok. Her kuralın neden öyle olduğunu birlikte konuşacağız. Hazırsan başlayalım.

Günlük hayattan giriş

Gün içinde çok sayıda cümle kurar, çok sayıda cümle duyarız. “Kapıyı kapatır mısın?”, “Bugün pazartesi.”, “Bu şarkı harika!”, “Ankara Türkiye'nin başkentidir.” Bu cümlelere dikkatlice bakınca aralarında önemli bir fark görürüz. Bazılarına “doğru” ya da “yanlış” diyebiliriz. Bazılarına ise diyemeyiz. “Kapıyı kapatır mısın?” sorusu doğru mudur, yanlış mıdır? Bu soru anlamsızdır, çünkü soru bir bilgi vermez, bir şey ister.

“Bu şarkı harika!” cümlesi de ilginçtir. Sen şarkıyı harika bulabilirsin, arkadaşın hiç sevmeyebilir. İkiniz de haklısınız, çünkü bu bir zevk meselesidir. Herkesin kabul edeceği tek bir doğruluk değeri yoktur. Buna karşın “Ankara Türkiye'nin başkentidir.” cümlesi için herkes aynı cevabı verir: doğru.

Hakem bir golü verirken, mahkeme bir kararı açıklarken, bir bilgisayar programı “şifre doğru mu?” diye kontrol ederken hep aynı soruyu sorar: Bu ifade doğru mu, yanlış mı? Mantık, işte bu soruyu düzenli ve kurallı biçimde cevaplamamızı sağlar. Bilgisayarların içindeki devreler bile yalnızca iki durumla çalışır: açık (1) ve kapalı (0). Bu derste öğreneceğin “1 ve 0” düşüncesi, teknolojinin temelinde de yatar.

Tanım ve kural

Önerme: Kesin olarak doğru ya da kesin olarak yanlış olduğu söylenebilen, hüküm bildiren ifadedir.

Tanımdaki iki noktaya dikkat et. Birincisi, ifade bir hüküm bildirmelidir. Yani bir şey hakkında “şöyledir” ya da “şöyle değildir” demelidir. İkincisi, bu hüküm herkes için aynı sonucu vermelidir: ya doğru ya yanlış. İkisi birden olamaz, ikisinin arası da olamaz.

Önermeleri genellikle küçük harflerle gösteririz: p, q, r, s gibi. Örneğin p: “7 bir asal sayıdır.”

Önerme olmayan ifadeler şunlardır:

• Soru cümleleri: “Saat kaç?” Bir şey sorar, hüküm bildirmez.
• Emir ve istek cümleleri: “Kitabını aç.” Bir şey ister, doğru ya da yanlış olamaz.
• Ünlem ve duygu cümleleri: “Ne güzel bir gün!”
• Kişiden kişiye değişen yargılar: “Matematik çok eğlencelidir.” Kimine göre doğru, kimine göre yanlıştır.
• Değişken içeren ve değişkenin değeri verilmemiş ifadeler: “x + 3 = 5.” x'in ne olduğunu bilmeden doğru mu yanlış mı diyemeyiz.

Doğruluk değeri: Bir önerme doğruysa doğruluk değeri 1 (veya D), yanlışsa 0 (veya Y) ile gösterilir. p önermesi doğruysa p ≡ 1 yazarız. Buradaki “≡” işareti “denktir” diye okunur.

Çok önemli bir nokta: Yanlış bir ifade de önermedir! “5 < 2” yanlıştır ama kesin olarak yanlış olduğunu söyleyebiliyoruz. O hâlde bu ifade bir önermedir ve doğruluk değeri 0'dır. Önerme olmanın şartı doğru olmak değil, doğruluk değerinin belirlenebilmesidir.

Önermenin olumsuzu (değili): Bir p önermesinin hükmünü tersine çeviren önermeye p'nin olumsuzu denir ve p′ ile gösterilir. “p değil” diye okunur.

Kural basittir: p doğruysa p′ yanlıştır, p yanlışsa p′ doğrudur. Neden? Çünkü p ile p′ aynı durum hakkında birbirine zıt iki hüküm verir. Bir sayı ya asaldır ya da asal değildir. İkisi aynı anda doğru olamaz, ikisi aynı anda yanlış da olamaz. Bu yüzden biri 1 ise öteki mutlaka 0'dır.

Olumsuzun olumsuzunu alırsak ne olur? p′ zaten p'nin tersidir. Onu bir kez daha tersine çevirirsek başa döneriz. Yani (p′)′ ≡ p. Günlük dilde de “Yağmur yağmıyor değil.” demek, “Yağmur yağıyor.” demektir.

Matematiksel sembollerin olumsuzları da şöyledir:

Çözümlü örnekler

Örnek 1: “Ankara Türkiye'nin başkentidir.” ifadesi önerme midir? Önermeyse doğruluk değeri nedir?

Çözüm:

Adım 1: İfade bir hüküm bildiriyor: “başkentidir.”

Adım 2: Bu hüküm herkes için aynıdır ve doğrudur.

Sonuç: Önermedir, doğruluk değeri 1'dir.

Örnek 2: Aşağıdakilerden hangileri önerme değildir? a) “Pencereyi aç.” b) “Kaç yaşındasın?” c) “Bir haftada 7 gün vardır.”

Çözüm:

Adım 1: a) Emir cümlesidir, doğru ya da yanlış olamaz. Önerme değildir.

Adım 2: b) Soru cümlesidir, hüküm bildirmez. Önerme değildir.

Adım 3: c) Hüküm bildirir ve kesin olarak doğrudur. Önermedir.

Sonuç: a ve b önerme değildir.

Örnek 3: p: “2 + 3 < 4” önermesinin doğruluk değerini bulunuz. p′ önermesini yazıp doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: 2 + 3 = 5 olur.

Adım 2: 5 < 4 yanlıştır. O hâlde p ≡ 0.

Adım 3: “<” işaretinin olumsuzu “≥” işaretidir. p′: “2 + 3 ≥ 4.”

Adım 4: 5 ≥ 4 doğrudur. O hâlde p′ ≡ 1.

Sonuç: p ≡ 0; p′: “2 + 3 ≥ 4” ve p′ ≡ 1.

Örnek 4: “x + 3 = 5” ifadesi önerme midir?

Çözüm:

Adım 1: x = 2 alırsak 2 + 3 = 5 olur ve ifade doğru olur.

Adım 2: x = 4 alırsak 4 + 3 = 7 ≠ 5 olur ve ifade yanlış olur.

Adım 3: x'in değeri verilmediği için ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu kesin olarak söyleyemeyiz.

Sonuç: Bu ifade önerme değildir.

Örnek 5: p: “12 sayısı 5'e tam bölünür.” olsun. p′ ve (p′)′ önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: 12 ÷ 5 = 2 olur ve 2 kalır. Kalan 0 olmadığı için 12 sayısı 5'e tam bölünmez. O hâlde p ≡ 0.

Adım 2: p′: “12 sayısı 5'e tam bölünmez.” p yanlış olduğu için p′ ≡ 1.

Adım 3: (p′)′ ≡ p olduğu için (p′)′ ≡ 0.

Sonuç: p′ ≡ 1 ve (p′)′ ≡ 0.

Örnek 6: p: “−3 > −1” önermesinin olumsuzunu yazınız ve p′ önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Sayı doğrusunda −3, −1'in solundadır. Bu yüzden −3 < −1 olur. O hâlde p ≡ 0.

Adım 2: “>” işaretinin olumsuzu “≤” işaretidir. p′: “−3 ≤ −1.”

Adım 3: −3 < −1 olduğu için −3 ≤ −1 de doğrudur. O hâlde p′ ≡ 1.

Sonuç: p′: “−3 ≤ −1” ve p′ ≡ 1.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: “5 < 2 yanlış olduğu için önerme değildir.” Doğrusu: Yanlış olduğunu kesin olarak söyleyebildiğimiz için önermedir. Doğruluk değeri 0'dır.
• Yanlış: “Hava sıcaktır.” önermesinin olumsuzu “Hava soğuktur.” Doğrusu: Olumsuz “Hava sıcak değildir.” olur. Hava ılık da olabilir. Olumsuz almak zıt anlamlı kelime bulmak değildir, hükmü değillemektir.
• Yanlış: “a < b” ifadesinin olumsuzu “a > b” olur. Doğrusu: Olumsuzu “a ≥ b” olur, çünkü eşitlik durumu da “küçük değil” durumuna girer.
• Yanlış: “Matematik dersi zevklidir.” bir önermedir. Doğrusu: Bu kişiden kişiye değişen bir yargıdır, önerme değildir.
• Yanlış: “p ≡ 1 ise (p′)′ ≡ 0 olur.” Doğrusu: İki kez olumsuz almak başa döndürür. (p′)′ ≡ p ≡ 1 olur.

Alıştırma

1) “İstanbul bir ülkedir.” önerme midir? Önermeyse doğruluk değeri nedir?

2) “Saat kaç?” önerme midir?

3) “√16 = 4” önermesinin doğruluk değeri nedir?

4) “Bu film çok güzel.” önerme midir?

5) “3² = 6” önermesinin doğruluk değeri nedir?

6) p: “15 bir çift sayıdır.” p′ önermesini yazınız ve doğruluk değerini bulunuz.

7) p: “7 > 9” önermesinin olumsuzunu sembolle yazınız ve doğruluk değerini bulunuz.

8) p ≡ 1 ise (p′)′ önermesinin doğruluk değeri nedir?

9) “x + 2 = 7” ifadesi önerme midir?

10) p: “Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°dir.” p′ önermesinin doğruluk değeri nedir?

Cevap Anahtarı

• 1) Önermedir, doğruluk değeri 0. İstanbul bir şehirdir, ülke değildir. Hüküm kesin olarak yanlıştır.
• 2) Önerme değildir. Soru cümleleri hüküm bildirmez.
• 3) 1. 4 × 4 = 16 olduğu için √16 = 4 doğrudur.
• 4) Önerme değildir. Beğeni kişiden kişiye değişir.
• 5) 0. 3² = 3 × 3 = 9 olur, 6 olmaz.
• 6) p′: “15 bir çift sayı değildir.” ve p′ ≡ 1. 15 tek sayı olduğu için p ≡ 0, dolayısıyla p′ ≡ 1.
• 7) p′: “7 ≤ 9” ve p′ ≡ 1. “>” işaretinin olumsuzu “≤” işaretidir ve 7 ≤ 9 doğrudur.
• 8) 1. İki kez olumsuz almak başa döndürür: (p′)′ ≡ p.
• 9) Önerme değildir. x'in değeri bilinmeden doğru mu yanlış mı olduğu söylenemez.
• 10) 0. p doğru olduğu için olumsuzu yanlıştır.

Dersin özeti

• Önerme, kesin olarak doğru ya da kesin olarak yanlış olduğu söylenebilen, hüküm bildiren ifadedir.
• Soru, emir, ünlem cümleleri, kişiye göre değişen yargılar ve değeri verilmemiş değişken içeren ifadeler önerme değildir.
• Doğru önermenin doğruluk değeri 1, yanlış önermenin doğruluk değeri 0'dır. Yanlış bir ifade de önerme olabilir.
• p′, p önermesinin olumsuzudur. p ≡ 1 ise p′ ≡ 0, p ≡ 0 ise p′ ≡ 1 olur. Ayrıca (p′)′ ≡ p'dir.
• Sembollerde olumsuz alırken dikkat et: “=” işaretinin olumsuzu “≠”, “<” işaretinin olumsuzu “≥”, “>” işaretinin olumsuzu “≤” olur.