Eşitsizlikler ve Mutlak Değer

Tahmini süre: 16 dk

Önceki derste birinci dereceden denklemleri çözdük: iki tarafa aynı işlemi uygulayıp tek bir x değeri bulduk. Bu derste eşittir işaretinin yerine "küçüktür" ve "büyüktür" gelince neyin değiştiğini göreceğiz. Bu kez tek bir sayı değil, bir sayı aralığı bulacağız. Mutlak değeri de sayı doğrusunda uzaklık olarak ele alacağız.

Günlük hayattan giriş

Günlük hayatta pek çok kural bir "tam değer" değil, bir "sınır" verir. Bir asansörün kapısında "En fazla 8 kişi" yazar. Bu, tam 8 kişi binmek zorunlusunuz demek değildir. 8 veya daha az kişi binebilir. Matematikte bunu k ≤ 8 diye yazarız. Ehliyet almak için en az 18 yaşında olmak gerekir, yani y ≥ 18. Otoyoldaki hız sınırı da bir eşitsizliktir: hızınız sınırı geçmemelidir. Bu durumların hepsinde cevap tek bir sayı değil, bir sayı aralığıdır.

Bir öğrencinin cebinde 100 TL olduğunu düşünelim. Tanesi 15 TL olan defterlerden kaç tane alabilir? 15x ≤ 100 yazarız. Buradan x ≤ 6,66... çıkar. Defter tam sayı olduğu için en fazla 6 defter alınabilir. Gördüğünüz gibi eşitsizlik, "en fazla ne kadar?" veya "en az ne kadar?" sorularının matematik dilidir.

Mutlak değer de hayatın içindedir. Bir fabrikada 50 mm uzunluğunda vida üretildiğini düşünelim. Hiçbir makine her vidayı tam 50 mm yapamaz. Bu yüzden "en fazla 0,2 mm sapma olabilir" gibi bir kural konur. Vidanın uzunluğu u ise bu kural |u − 50| ≤ 0,2 diye yazılır. Burada önemli olan vidanın uzun mu kısa mı olduğu değil, hedeften ne kadar uzak olduğudur. Mutlak değer tam olarak bu uzaklığı ölçer.

Tanım ve kural

1) Eşitsizlik nedir?

İki ifadenin eşit olmadığını, birinin diğerinden küçük ya da büyük olduğunu gösteren ifadeye eşitsizlik denir. Kullandığımız işaretler şunlardır: < (küçüktür), > (büyüktür), ≤ (küçük veya eşittir), ≥ (büyük veya eşittir). 2x − 5 < 7 gibi, bilinmeyenin üssü 1 olan eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.

2) Eşitsizlikte serbest olan işlemler

Her iki tarafa aynı sayıyı eklemek veya çıkarmak yönü değiştirmez. Çünkü 3 < 5 ise 3 + 10 < 5 + 10, yani 13 < 15 olur. İki sayıyı birlikte sağa kaydırdık, aralarındaki sıra bozulmadı.

Her iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpmak veya bölmek de yönü değiştirmez. 3 < 5 ise 3 × 2 < 5 × 2, yani 6 < 10 olur.

3) Negatif sayıyla çarpınca yön NEDEN değişir?

2 < 5 eşitsizliğini ele alalım. İki tarafı da −1 ile çarpalım. Sol taraf −2, sağ taraf −5 olur. Peki −2 mi büyük, −5 mi? Sayı doğrusunda −2, −5'in sağındadır. Yani −2 > −5 olur.

Neden böyle oldu? −1 ile çarpmak, her sayıyı sayı doğrusunda 0'a göre ayna gibi karşı tarafa taşır. Sağda olan sola, solda olan sağa geçer. Önceden sağda olan 5, şimdi solda kalan −5 olur. Sıra tersine döndüğü için eşitsizlik işareti de ters döner. Bu yüzden kural şudur: Bir eşitsizliğin iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişir.

4) Mutlak değer: sıfıra olan uzaklık

Bir a sayısının sayı doğrusunda 0'a olan uzaklığına a'nın mutlak değeri denir ve |a| diye yazılır. Uzaklık hiçbir zaman negatif olamaz. Bu yüzden |5| = 5 ve |−5| = 5 olur. İki sayı da 0'dan 5 birim uzaktadır.

Daha genel olarak |x − a|, x ile a sayıları arasındaki uzaklıktır. Örneğin |x − 3| = 5 ifadesi, "x, 3'e 5 birim uzaktadır" demektir. 3'ten 5 birim sağa gidersek 8'e, 5 birim sola gidersek −2'ye ulaşırız. İki cevabın çıkmasının nedeni budur.

5) Mutlak değerli ifadeler neden böyle çözülür?

|x| < 3 demek, "x'in 0'a uzaklığı 3'ten az" demektir. Bu sayılar −3 ile 3 arasında kalır: −3 < x < 3. Yani cevap tek parça bir aralıktır.

|x| > 3 demek, "x'in 0'a uzaklığı 3'ten fazla" demektir. Bu sayılar ya 3'ün sağında ya da −3'ün solundadır: x < −3 veya x > 3. Yani cevap iki ayrı parçadır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

2x − 5 < 7 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

Adım 1: İki tarafa 5 ekleyelim: 2x < 12.

Adım 2: İki tarafı pozitif sayı olan 2'ye bölelim. Yön değişmez: x < 6.

Kontrol: x = 5 alalım. 2 × 5 − 5 = 5 ve 5 < 7 doğrudur. x = 6 alalım. 2 × 6 − 5 = 7 ve 7 < 7 yanlıştır, yani 6 dahil değildir.

Sonuç: x < 6

Örnek 2 (negatif katsayı)

−3x + 4 ≥ 13 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm:

Adım 1: İki taraftan 4 çıkaralım: −3x ≥ 9.

Adım 2: İki tarafı −3'e bölelim. Negatif sayıya böldüğümüz için yön değişir: x ≤ −3.

Kontrol: x = −3 için −3 × (−3) + 4 = 9 + 4 = 13 ve 13 ≥ 13 doğrudur. x = −4 için 12 + 4 = 16 ve 16 ≥ 13 doğrudur. x = 0 için 4 ≥ 13 yanlıştır. Sonuç tutarlıdır.

Sonuç: x ≤ −3

Örnek 3 (çift taraflı eşitsizlik)

−5 < 2x + 1 ≤ 9 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?

Çözüm:

Adım 1: Üç parçadan da 1 çıkaralım: −6 < 2x ≤ 8.

Adım 2: Üç parçayı da 2'ye bölelim: −3 < x ≤ 4.

Adım 3: Bu aralıktaki tam sayıları yazalım. −3 dahil değil, 4 dahil: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4.

Adım 4: Sayalım: 7 tane.

Sonuç: 7 tam sayı

Örnek 4 (mutlak değerli denklem)

|x − 3| = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: İfade, "x ile 3 arasındaki uzaklık 5" demektir. İki durum vardır.

Adım 2: Birinci durum: x − 3 = 5 ise x = 8.

Adım 3: İkinci durum: x − 3 = −5 ise x = −2.

Kontrol: |8 − 3| = |5| = 5 ve |−2 − 3| = |−5| = 5. İkisi de doğrudur.

Sonuç: Çözüm kümesi {−2, 8}

Örnek 5 (mutlak değer, küçüktür)

|2x + 1| < 7 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının sayısını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: |A| < 7 ise −7 < A < 7 olur. Buradan −7 < 2x + 1 < 7 yazarız.

Adım 2: Üç parçadan 1 çıkaralım: −8 < 2x < 6.

Adım 3: Üç parçayı 2'ye bölelim: −4 < x < 3.

Adım 4: Tam sayılar: −3, −2, −1, 0, 1, 2. Toplam 6 tane.

Sonuç: 6 tam sayı

Örnek 6 (mutlak değer, büyük eşittir)

|x − 2| ≥ 4 eşitsizliğinin çözümünü bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: İfade, "x'in 2'ye uzaklığı en az 4" demektir. Cevap iki parça olacaktır.

Adım 2: Sağ parça: x − 2 ≥ 4 ise x ≥ 6.

Adım 3: Sol parça: x − 2 ≤ −4 ise x ≤ −2.

Kontrol: x = 6 için |4| = 4 ≥ 4 doğru. x = 0 için |−2| = 2 ≥ 4 yanlış, yani 0 çözümde değil. Bu, 0'ın iki parçanın arasında kalmasıyla uyumludur.

Sonuç: x ≤ −2 veya x ≥ 6

Sık yapılan hatalar

• Negatife bölünce yönü unutmak. Yanlış: −2x > 8 ise x > −4. Doğrusu: −2'ye bölerken yön değişir, x < −4. Kontrol: x = −5 için −2 × (−5) = 10 > 8 doğrudur.
• Mutlak değeri negatif bir sayıya eşitlemek. Yanlış: |x| = −5 ise x = 5 veya x = −5. Doğrusu: Uzaklık negatif olamaz, bu denklemin çözümü yoktur (∅).
• Küçüktür durumunu iki parça sanmak. Yanlış: |x − 1| < 3 ise x − 1 < 3 veya x − 1 > 3. Doğrusu: −3 < x − 1 < 3, yani −2 < x < 4.
• Büyüktür durumunu tek aralık sanmak. Yanlış: |x| > 2 ise −2 < x < 2. Doğrusu: 0'a uzaklığı 2'den fazla olan sayılar dışarıdadır, x < −2 veya x > 2.
• Çift taraflı eşitsizlikte sadece ortayı değiştirmek. Yanlış: −5 < 2x + 1 ≤ 9 ifadesinde yalnızca ortadan 1 çıkarıp −5 < 2x ≤ 9 yazmak. Doğrusu: Aynı işlem üç parçaya birden uygulanır: −6 < 2x ≤ 8.

Alıştırma

1) 3x + 2 > 11 eşitsizliğini çözünüz.

2) 7 − 2x ≤ 1 eşitsizliğini çözünüz.

3) x/2 − 1 < 4 eşitsizliğini çözünüz.

4) −1 ≤ 3x − 4 < 8 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

5) |−7| + |3| − |−2| işleminin sonucu kaçtır?

6) |x + 2| = 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

7) |3x − 6| = 0 denklemini çözünüz.

8) |x − 1| ≤ 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

9) |2x − 3| > 5 eşitsizliğini çözünüz.

10) |x + 5| = −2 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Cevap Anahtarı

1) x > 3. İpucu: 2 çıkarınca 3x > 9 olur, pozitif 3'e bölünce yön değişmez.

2) x ≥ 3. İpucu: 7 çıkarınca −2x ≤ −6 olur, −2'ye bölünce yön değişir.

3) x < 10. İpucu: 1 ekleyince x/2 < 5 olur, iki tarafı 2 ile çarparız.

4) 3 tam sayı (1, 2, 3). İpucu: Üç parçaya 4 ekleyip 3'e bölünce 1 ≤ x < 4 çıkar.

5) 8. İpucu: 7 + 3 − 2 = 8.

6) {−8, 4}. İpucu: x + 2 = 6 veya x + 2 = −6 durumları ayrı çözülür.

7) x = 2. İpucu: Mutlak değeri 0 olan tek sayı 0'dır, yani 3x − 6 = 0.

8) 7 tam sayı. İpucu: −3 ≤ x − 1 ≤ 3 yazınca −2 ≤ x ≤ 4 çıkar ve −2'den 4'e kadar 7 tam sayı vardır.

9) x < −1 veya x > 4. İpucu: 2x − 3 > 5 ve 2x − 3 < −5 parçaları ayrı ayrı çözülür.

10) ∅ (boş küme). İpucu: Mutlak değer bir uzaklıktır ve negatif bir sayıya eşit olamaz.

Dersin özeti

• Eşitsizliğin iki tarafına aynı sayıyı eklemek, çıkarmak veya pozitif bir sayıyla çarpıp bölmek yönü değiştirmez.
• Negatif bir sayıyla çarpınca veya bölünce sayılar 0'a göre ayna gibi yer değiştirir; bu yüzden eşitsizliğin yönü değişir.
• |x − a|, x ile a arasındaki uzaklıktır; mutlak değer hiçbir zaman negatif olamaz.
• |A| < k ise −k < A < k (tek aralık); |A| > k ise A < −k veya A > k (iki parça).
• Bulduğunuz cevabı, sınır değerini ve aralıktan bir sayıyı yerine koyarak kontrol edin. Sonraki derste fonksiyonlara giriş yapacağız; burada öğrendiğimiz aralık düşüncesi, bir fonksiyonun hangi değerleri alabileceğini konuşurken çok işimize yarayacak.