Kümelerde Temel Kavramlar

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde mantığın dilini öğrendik: bir önermenin doğru mu yanlış mı olduğuna karar verdik, “ve”, “veya”, “ise” bağlaçlarıyla önermeleri birleştirdik. Bu derste o dili kullanacağımız yeni bir alana geçiyoruz: kümeler. Kümeler, matematiğin neredeyse bütün konularının üzerine kurulduğu temel dildir. Sayı kümeleri, denklemlerin çözüm kümeleri, fonksiyonların tanım ve değer kümeleri hep bu dille yazılır.

Aslında kümeleri her gün kullanıyoruz. Sınıf listesi bir kümedir: Listede bir öğrenci ya vardır ya yoktur, arası yoktur. Market sepetin de bir kümedir: Sepete iki kez “ekmek” yazman sepetteki ürün çeşidini artırmaz. Telefonundaki “favori kişiler” de rehberindeki kişilerin bir parçasıdır; matematikte buna alt küme diyeceğiz.

Bir örnek daha: Bir pizzacıda mantar, mısır ve zeytin olmak üzere üç ek malzeme var. Her malzeme için yalnızca iki seçeneğin var: koyarsın ya da koymazsın. Hiçbir şey koymadığın sade pizza da bir seçenektir. Kaç farklı pizza yapılabilir? Bu dersin sonunda bu sorunun cevabının neden 2 × 2 × 2 = 8 olduğunu ve bunun “alt küme sayısı” kuralıyla aynı şey olduğunu göreceksin.

Tanım ve kural

Küme: Ne olduğu kesin olarak belli, birbirinden farklı nesnelerin topluluğudur. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir. Buradaki kilit kelime kesin olarak belli. “Sınıfımızdaki uzun boylu öğrenciler” bir küme belirtmez; çünkü “uzun” kişiden kişiye değişir. “Sınıfımızda boyu 170 cm'den uzun olan öğrenciler” ise bir kümedir; çünkü herkes aynı listeyi yazar.

Eleman: Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman denir. “2, A kümesinin elemanıdır” ifadesi 2 ∈ A biçiminde yazılır. “5, A kümesinin elemanı değildir” ifadesi ise 5 ∉ A biçiminde yazılır.

Kümenin üç gösterim biçimi:

• Liste yöntemi: Elemanlar süslü parantez içinde, aralarına virgül konarak yazılır. Örnek: A = {1, 2, 3}.
• Ortak özellik yöntemi: Elemanları anlatan kural yazılır. Örnek: A = {x | x bir doğal sayı ve 1 ≤ x ≤ 3}. “|” işaretini “öyle ki” diye okuruz.
• Venn şeması: Kapalı bir eğri çizilir, elemanlar eğrinin içine birer nokta ile yazılır. Kümeler arası ilişkileri görmek için çok kullanışlıdır.

Eleman sayısı: A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir. Kümede bir eleman iki kez yazılsa da bir kez sayılır. Neden? Çünkü küme bir nesnenin “içeride olup olmadığı” ile ilgilenir, kaç kez yazıldığıyla değil. {1, 1, 2} ile {1, 2} aynı kümedir ve eleman sayısı 2'dir. Yine aynı sebeple elemanların sırası da önemli değildir: {1, 2} = {2, 1}.

Boş küme: Hiç elemanı olmayan kümedir; ∅ ya da { } ile gösterilir ve s(∅) = 0'dır. Dikkat: {∅} boş küme değildir! Bu kümenin içinde bir eleman vardır (o eleman da boş kümedir), yani s({∅}) = 1. Aynı şekilde {0} da boş değildir; içinde 0 sayısı vardır.

Eşit kümeler: Elemanları tamamen aynı olan kümelere eşit kümeler denir ve A = B yazılır. Denk kümeler ise yalnızca eleman sayıları eşit olan kümelerdir ve A ≡ B yazılır. Eşit olan her iki küme denktir; ama denk olan kümeler eşit olmak zorunda değildir: {1, 2} ile {a, b} denktir, eşit değildir.

Alt küme: A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa A, B'nin alt kümesidir ve A ⊂ B yazılır. Örnek: {1, 2} ⊂ {1, 2, 3}. Buradan iki önemli sonuç çıkar:

• Her küme kendisinin alt kümesidir: A ⊂ A. Çünkü A'nın her elemanı zaten A'dadır.
• Boş küme her kümenin alt kümesidir: ∅ ⊂ A. Neden? “∅ ⊂ A olmasın” diyebilmek için ∅'nin içinde A'da olmayan bir eleman göstermemiz gerekirdi. Ama ∅'de hiç eleman yok; böyle bir eleman gösterilemez. Bu yüzden ifade doğrudur.

Bir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerine öz alt küme denir.

n elemanlı bir kümenin neden 2ⁿ alt kümesi vardır? Bir alt küme kurduğunu düşün. Kümenin her elemanına tek tek sorarsın: “Seni alt kümeye alayım mı, almayayım mı?” Her eleman için tam 2 seçenek vardır. Bu seçimler birbirinden bağımsızdır. Birinci eleman için 2, ikinci için 2, … n'inci için 2 seçenek olduğundan toplam seçim sayısı 2 × 2 × … × 2 (n tane) = 2ⁿ olur. Her farklı seçim farklı bir alt küme verir. Hiçbir elemanı almazsan ∅, hepsini alırsan kümenin kendisi oluşur. Pizza örneğindeki 8, işte bu 2³'tür.

Öz alt küme sayısı ise kümenin kendisini çıkardığımız için 2ⁿ − 1 olur.

Tabloya dikkat et: Kümeye bir eleman eklenince alt küme sayısı iki katına çıkar. Çünkü eski alt kümelerin her biri iki kez kullanılır: bir kez yeni eleman olmadan, bir kez yeni elemanla birlikte.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay): A = {x | x bir rakam ve x < 4} kümesini liste yöntemiyle yazınız ve s(A) değerini bulunuz.

Çözüm:

Rakamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9'dur.

Bunlardan 4'ten küçük olanlar: 0, 1, 2, 3.

0 da bir rakamdır, unutma!

A = {0, 1, 2, 3} ve s(A) = 4

Örnek 2 (kolay): “MATEMATİK” kelimesinin harflerinden oluşan kümenin eleman sayısı kaçtır?

Çözüm:

Harfleri sırayla yazalım: M, A, T, E, M, A, T, İ, K.

Tekrar edenleri bir kez alalım: M, A, T, E, İ, K.

Kümede tekrar eden eleman bir kez sayılır.

Eleman sayısı 6'dır.

Örnek 3 (orta): {a + 1, 5} = {3, b} olduğuna göre a + b toplamı kaçtır? (a + 1 ≠ 5 olduğu biliniyor.)

Çözüm:

Eşit kümelerin elemanları aynıdır.

Soldaki kümede 5 var; o hâlde sağdaki kümede de 5 olmalı. 3 ≠ 5 olduğundan b = 5.

Sağdaki kümede 3 var; o hâlde soldaki kümede de 3 olmalı. 5 ≠ 3 olduğundan a + 1 = 3, yani a = 2.

Kontrol: {2 + 1, 5} = {3, 5} ve {3, 5}. Kümeler eşit.

a + b = 2 + 5 = 7

Örnek 4 (orta): A = {a, b, c} kümesinin bütün alt kümelerini yazınız. Alt küme ve öz alt küme sayılarını bulunuz.

Çözüm:

0 elemanlı alt küme: ∅ (1 tane)

1 elemanlı alt kümeler: {a}, {b}, {c} (3 tane)

2 elemanlı alt kümeler: {a, b}, {a, c}, {b, c} (3 tane)

3 elemanlı alt küme: {a, b, c} (1 tane)

Toplam: 1 + 3 + 3 + 1 = 8. Kuralla kontrol: 2³ = 8. Sonuç tutuyor.

Öz alt kümeler, kümenin kendisi dışındakilerdir: 8 − 1 = 7.

Alt küme sayısı 8, öz alt küme sayısı 7'dir.

Örnek 5 (orta-zor): A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde 1 bulunur ama 2 bulunmaz?

Çözüm:

1 için karar önceden verilmiş: kesinlikle alınacak. Seçenek yok.

2 için de karar verilmiş: kesinlikle alınmayacak. Seçenek yok.

Geriye serbest kalan elemanlar: 3, 4, 5. Yani 3 eleman.

Her birinin 2 seçeneği var: 2 × 2 × 2 = 2³ = 8.

Cevap: 8

Örnek 6 (zor): Bir kümenin öz alt küme sayısı 63'tür. Bu kümenin eleman sayısı kaçtır?

Çözüm:

Eleman sayısına n diyelim. Öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1'dir.

2ⁿ − 1 = 63

2ⁿ = 64

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶ olduğundan n = 6.

Kümenin eleman sayısı 6'dır.

Örnek 7 (zor): Bir kümeye 2 yeni eleman eklenince alt küme sayısı 48 artıyor. Kümenin başlangıçtaki eleman sayısı kaçtır?

Çözüm:

Başlangıçta n eleman olsun. Alt küme sayısı 2ⁿ.

2 eleman eklenince alt küme sayısı 2ⁿ⁺² olur. Bu da 2ⁿ × 4 demektir.

Artış: 4 × 2ⁿ − 2ⁿ = 3 × 2ⁿ.

3 × 2ⁿ = 48, buradan 2ⁿ = 16, yani n = 4.

Kontrol: 2⁶ − 2⁴ = 64 − 16 = 48. Doğru.

Başlangıçtaki eleman sayısı 4'tür.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: “{∅} boş kümedir, s({∅}) = 0.” Doğrusu: {∅} kümesinin bir elemanı vardır, o da ∅'dir. s({∅}) = 1. Boş kutunun içine boş bir kutu koyarsan dıştaki kutu artık boş değildir.
• Yanlış: “{1, 1, 2, 2, 2} kümesinin eleman sayısı 5'tir.” Doğrusu: Tekrar eden elemanlar bir kez sayılır; küme {1, 2}'dir ve eleman sayısı 2'dir.
• Yanlış: “2 ⊂ {1, 2}” veya “{2} ∈ {1, 2}”. Doğrusu: ∈ bir eleman ile küme arasında, ⊂ ise iki küme arasında kullanılır. Doğru yazımlar: 2 ∈ {1, 2} ve {2} ⊂ {1, 2}.
• Yanlış: “Öz alt kümeler boş küme ve kümenin kendisi dışındakilerdir, sayısı 2ⁿ − 2'dir.” Doğrusu: Öz alt küme tanımında yalnızca kümenin kendisi çıkarılır; ∅ bir öz alt kümedir. Sayı 2ⁿ − 1'dir.
• Yanlış: “Alt küme sayısı 2 × n'dir; 5 elemanlı kümenin 10 alt kümesi vardır.” Doğrusu: Her eleman için seçenekler çarpılır, toplanmaz: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵ = 32.

Alıştırma

• 1) A = {x | x bir asal sayı ve x < 12} kümesini liste yöntemiyle yazınız ve s(A) değerini bulunuz.
• 2) “KALEMLİK” kelimesinin harflerinden oluşan kümenin eleman sayısı kaçtır?
• 3) B = {∅, 0, {0}} kümesinin eleman sayısı kaçtır?
• 4) {3, a − 2} = {b, 7} olduğuna göre a · b çarpımı kaçtır? (a − 2 ≠ 3)
• 5) A = {1, 2, 3, 4} kümesinin kaç alt kümesi vardır?
• 6) B = {a, b, c, d, e, f} kümesinin öz alt küme sayısı kaçtır?
• 7) Alt küme sayısı 128 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır?
• 8) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde 3 elemanı bulunur?
• 9) A = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde a bulunur ama b bulunmaz?
• 10) Bir kümeye 1 eleman eklenince alt küme sayısı 32 artıyor. Kümenin başlangıçtaki eleman sayısı kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) A = {2, 3, 5, 7, 11}, s(A) = 5 — 1 asal değildir, 12'den küçük asal sayıları tek tek yaz.
• 2) 6 — K, A, L, E, M, L, İ, K harflerinden tekrar edenleri atınca K, A, L, E, M, İ kalır.
• 3) 3 — ∅, 0 ve {0} birbirinden farklı üç ayrı elemandır.
• 4) 27 — 7 soldaki kümede de olmalı, a − 2 = 7'den a = 9 ve 3 sağda olmalı, b = 3; 9 · 3 = 27.
• 5) 16 — 4 elemanlı kümenin alt küme sayısı 2⁴ = 16'dır.
• 6) 63 — 6 eleman için 2⁶ − 1 = 64 − 1 = 63.
• 7) 7 — 2ⁿ = 128 = 2⁷ olduğundan n = 7.
• 8) 32 — 3 kesin alınır, geriye kalan 5 serbest eleman için 2⁵ = 32.
• 9) 8 — a ve b için karar verilmiş, kalan c, d, e için 2³ = 8.
• 10) 5 — 2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ = 2ⁿ olduğundan 2ⁿ = 32 ve n = 5.

Dersin özeti

• Küme, kesin olarak belli ve birbirinden farklı nesnelerin topluluğudur; liste, ortak özellik ya da Venn şeması ile gösterilir. Elemanların sırası ve tekrarı kümeyi değiştirmez.
• s(A), A'nın eleman sayısıdır. Boş kümenin eleman sayısı 0'dır; ama {∅} ve {0} boş küme değildir, her birinin 1 elemanı vardır.
• Elemanları aynı olan kümeler eşittir (A = B), yalnızca eleman sayıları aynı olan kümeler denktir (A ≡ B).
• A'nın her elemanı B'de ise A ⊂ B'dir. Her küme kendisinin, boş küme de her kümenin alt kümesidir. ∈ eleman için, ⊂ küme için kullanılır.
• n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ, öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1'dir; çünkü her eleman için “al” ya da “alma” diye 2 seçenek vardır. Bir sonraki derste bu temel kavramları kullanarak kümelerle işlem yapmaya, yani kümeleri birleştirmeye, kesiştirmeye ve aralarındaki farkı bulmaya geçeceğiz.