Bileşik Önermeler: Ve, Veya, İse, Ancak ve Ancak

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derste önermenin ne olduğunu gördük: doğru ya da yanlış diye kesin olarak söylenebilen bir cümle. Doğru olana 1, yanlış olana 0 değeri verdik ve bir önermenin değilini (p′) aldık. Bu derste önermeleri birbirine bağlayıp daha büyük önermeler kuracağız.

Günlük hayattan giriş

Bir otoparkın girişinde şöyle bir yazı olsun: "Aboneyseniz ve kartınız yanınızdaysa bariyer açılır." Bariyer ancak iki şart birlikte sağlanırsa açılır. Kartınızı evde unuttuysanız abone olmanız yetmez. İşte bu, mantıktaki ve bağlacıdır.

Bir kafede ise şöyle yazıyor olabilir: "Öğrenci belgesi veya müze kartı gösterene indirim." Burada iki belgeden biri yeterlidir. İkisini birden gösterirseniz de indirim alırsınız. Bu da veya bağlacıdır. Bir de verilen sözler var: "Ödevini bitirirsen maça gidebilirsin." Bu bir ise cümlesidir, yani bir şarta bağlı söz. "Sadece ve sadece kayıtlıysan sınava girebilirsin" gibi iki yönlü cümleler ise ancak ve ancak bağlacına örnektir.

Günlük dilde bu kelimeleri bazen gevşek kullanırız. Matematikte ise her bağlacın anlamı kesindir. Bu kesinliği sağlamak için doğruluk tablosu kullanırız. Doğruluk tablosu, iki önermenin alabileceği bütün değer ikililerini tek tek yazıp sonucu gösteren bir tablodur. İki önerme olduğunda 2 × 2 = 4 durum vardır.

Tanım ve kural

1) Ve bağlacı (p ∧ q): İki önerme de doğruysa sonuç doğrudur, diğer bütün durumlarda yanlıştır. Neden? "Ve" iki şartı birlikte ister. Bir şart bile bozulursa iddia yanlış olur.

2) Veya bağlacı (p ∨ q): Önermelerden en az biri doğruysa sonuç doğrudur. Yalnızca ikisi de yanlışsa sonuç yanlıştır. Neden? "Veya" iki seçenekten en az birinin gerçekleşmesini ister. Matematikteki veya, ikisinin birlikte doğru olmasını da kapsar.

3) İse bağlacı (p ⇒ q): "p ise q" diye okunur. p'ye hipotez (şart), q'ya hüküm (sonuç) denir. Sonuç yalnızca p doğru ve q yanlış olduğunda yanlıştır. Neden? Bunu bir söz gibi düşünelim: "Sınavdan 90 alırsan sana kitap alacağım." Sen 90 aldın ve kitap alındıysa söz tutulmuştur (1 ⇒ 1 = 1). Sen 90 aldın ama kitap alınmadıysa söz bozulmuştur (1 ⇒ 0 = 0). 90 alamadıysan söz zaten devreye girmemiştir, kitap alınsa da alınmasa da kimse sözünü bozmuş sayılmaz. Bu yüzden 0 ⇒ 1 = 1 ve 0 ⇒ 0 = 1 olur.

4) Ancak ve ancak bağlacı (p ⇔ q): "p ancak ve ancak q" diye okunur. İki önermenin doğruluk değeri aynıysa sonuç doğrudur, farklıysa yanlıştır. Neden? p ⇔ q aslında (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) demektir. İki yönlü söz, ancak iki taraf aynı değeri aldığında bozulmaz.

5) De Morgan kuralları:

• (p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′
• (p ∨ q)′ ≡ p′ ∧ q′

Neden? "Hem yorgunum hem açım" cümlesi yanlışsa, iki durumdan en az biri sağlanmıyordur: "Yorgun değilim veya aç değilim." "Çay veya kahve içtim" yanlışsa hiçbirini içmemişimdir: "Çay içmedim ve kahve içmedim." Yani değil alınırken her önermenin değili alınır ve ve ile veya yer değiştirir.

6) Koşullu önermenin karşıtı, tersi ve karşıt tersi: p ⇒ q önermesinden üç yeni önerme üretilir.

Karşıt ters neden denk? p ⇒ q yalnızca "p doğru, q yanlış" durumunda yanlıştır. q′ ⇒ p′ ise yalnızca q′ doğru, p′ yanlış olduğunda, yani yine "q yanlış, p doğru" durumunda yanlıştır. İkisi aynı durumda yanlış, diğer durumlarda doğru olduğu için denktir. Ayrıca şu denkliği de bilmek işe yarar: p ⇒ q ≡ p′ ∨ q. Tablodan bakarsan ikisi de yalnızca p = 1, q = 0 olduğunda 0 olur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: p: "5 çift sayıdır." q: "3 tek sayıdır." p ∧ q ve p ∨ q önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.

Çözüm:

5 çift değildir, bu yüzden p = 0.

3 tek sayıdır, bu yüzden q = 1.

p ∧ q = 0 ∧ 1 = 0 (ve bağlacında biri yanlışsa sonuç yanlıştır).

p ∨ q = 0 ∨ 1 = 1 (veya bağlacında biri doğruysa yeterlidir).

Sonuç: p ∧ q = 0, p ∨ q = 1

Örnek 2: p = 1, q = 0, r = 1 olduğuna göre (p ∨ q) ∧ r ve (p ∧ q) ∨ r′ önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.

Çözüm:

Önce parantez içi: p ∨ q = 1 ∨ 0 = 1.

(p ∨ q) ∧ r = 1 ∧ 1 = 1.

İkinci önerme için parantez içi: p ∧ q = 1 ∧ 0 = 0.

r′ = 1′ = 0.

(p ∧ q) ∨ r′ = 0 ∨ 0 = 0.

Sonuç: (p ∨ q) ∧ r = 1, (p ∧ q) ∨ r′ = 0

Örnek 3: p: "2 + 2 = 5", q: "Ankara, Türkiye'nin başkentidir." p ⇒ q ve q ⇒ p önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.

Çözüm:

2 + 2 = 4 olduğu için p = 0.

q doğrudur, q = 1.

p ⇒ q = 0 ⇒ 1 = 1 (hipotez yanlışsa koşullu önerme doğrudur).

q ⇒ p = 1 ⇒ 0 = 0 (doğrudan yanlışa gidilemez).

Sonuç: p ⇒ q = 1, q ⇒ p = 0

Örnek 4: "Bugün yağmur yağıyor ve hava soğuk." önermesinin değilini yazınız.

Çözüm:

p: "Bugün yağmur yağıyor." q: "Hava soğuk." Önerme p ∧ q biçimindedir.

De Morgan kuralına göre (p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′.

p′: "Bugün yağmur yağmıyor." q′: "Hava soğuk değil."

Sonuç: "Bugün yağmur yağmıyor veya hava soğuk değil."

Örnek 5: "Bir doğal sayı 4'e bölünüyorsa 2'ye bölünür." önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazıp doğruluk değerlerini bulunuz.

Çözüm:

p: "Sayı 4'e bölünür." q: "Sayı 2'ye bölünür." Verilen önerme p ⇒ q ve doğrudur, çünkü 4'ün her katı çifttir.

Karşıtı (q ⇒ p): "Sayı 2'ye bölünüyorsa 4'e bölünür." 6 sayısı 2'ye bölünür ama 4'e bölünmez. Yanlış.

Tersi (p′ ⇒ q′): "Sayı 4'e bölünmüyorsa 2'ye bölünmez." 6 sayısı 4'e bölünmez ama 2'ye bölünür. Yanlış.

Karşıt tersi (q′ ⇒ p′): "Sayı 2'ye bölünmüyorsa 4'e bölünmez." Tek sayılar 4'e bölünemez. Doğru.

Sonuç: Karşıtı yanlış, tersi yanlış, karşıt tersi doğru (tıpkı asıl önerme gibi).

Örnek 6: (p ⇒ q)′ önermesinin en sade denk hâlini bulunuz.

Çözüm:

p ⇒ q ≡ p′ ∨ q olduğunu biliyoruz.

Değilini alalım: (p′ ∨ q)′.

De Morgan: (p′ ∨ q)′ ≡ (p′)′ ∧ q′.

Bir önermenin değilinin değili kendisidir: (p′)′ ≡ p.

Sonuç: (p ⇒ q)′ ≡ p ∧ q′ (yani "p ise q" iddiasını çürütmek için p'nin doğru, q'nun yanlış olduğunu göstermek gerekir).

Örnek 7: p ⇒ q önermesi yanlış olduğuna göre (p ∨ r) ⇒ (q ∧ r) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.

Çözüm:

Koşullu önerme yalnızca 1 ⇒ 0 durumunda yanlıştır. O hâlde p = 1, q = 0.

p ∨ r = 1 ∨ r = 1 (r ne olursa olsun, çünkü p = 1).

q ∧ r = 0 ∧ r = 0 (r ne olursa olsun, çünkü q = 0).

(p ∨ r) ⇒ (q ∧ r) = 1 ⇒ 0 = 0.

Sonuç: 0 (yanlış)

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: "p yanlışsa p ⇒ q de yanlıştır." Doğrusu: Hipotez yanlışsa koşullu önerme her zaman doğrudur: 0 ⇒ 1 = 1 ve 0 ⇒ 0 = 1.
• Yanlış: (p ∧ q)′ ≡ p′ ∧ q′. Doğrusu: De Morgan'da bağlaç değişir: (p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′.
• Yanlış: "p ⇒ q doğruysa karşıtı q ⇒ p de doğrudur." Doğrusu: Karşıt her zaman denk değildir. Denk olan karşıt terstir: q′ ⇒ p′.
• Yanlış: "1 ∨ 1 = 0, çünkü veya ikisinden yalnız birini seçmek demektir." Doğrusu: Matematikteki veya ikisinin birlikte doğru olmasını da kapsar: 1 ∨ 1 = 1.
• Yanlış: "0 ⇔ 0 = 0, çünkü iki önerme de yanlış." Doğrusu: ⇔ değerlerin aynı olup olmadığına bakar: 0 ⇔ 0 = 1.

Alıştırma

1–7. soruları p = 1, q = 0, r = 0 değerlerine göre çözünüz.

1) p ∧ q önermesinin doğruluk değeri nedir?

2) p ∨ q önermesinin doğruluk değeri nedir?

3) q ⇒ r önermesinin doğruluk değeri nedir?

4) p ⇒ q önermesinin doğruluk değeri nedir?

5) p ⇔ r önermesinin doğruluk değeri nedir?

6) p′ ∧ q′ önermesinin doğruluk değeri nedir?

7) (p ∨ q) ⇒ r önermesinin doğruluk değeri nedir?

8) "Sayı pozitiftir ve çifttir." önermesinin değilini yazınız.

9) "Bir üçgen eşkenar ise ikizkenardır." önermesinin karşıt tersini yazınız ve doğruluk değerini belirtiniz.

10) p ⇒ q önermesi yanlış olduğuna göre (r ∨ q) ⇒ p önermesinin doğruluk değeri nedir?

Cevap Anahtarı

• 1) 0 — Ve bağlacında q = 0 olduğu için 1 ∧ 0 = 0.
• 2) 1 — Veya bağlacında p = 1 yeterlidir: 1 ∨ 0 = 1.
• 3) 1 — Hipotez yanlış olduğundan 0 ⇒ 0 = 1.
• 4) 0 — Doğrudan yanlışa gidilen tek durum: 1 ⇒ 0 = 0.
• 5) 0 — Değerler farklı olduğu için 1 ⇔ 0 = 0.
• 6) 0 — p′ = 0 ve q′ = 1 olduğundan 0 ∧ 1 = 0.
• 7) 0 — p ∨ q = 1 olduğundan 1 ⇒ 0 = 0.
• 8) "Sayı pozitif değildir veya çift değildir." — De Morgan ile her önermenin değili alınır ve "ve" yerine "veya" gelir.
• 9) "Bir üçgen ikizkenar değilse eşkenar değildir." Doğru. — Karşıt ters q′ ⇒ p′ biçimindedir ve asıl önerme doğru olduğu için o da doğrudur.
• 10) 1 — p ⇒ q yanlışsa p = 1'dir ve hükmü doğru olan koşullu önerme her zaman doğrudur.

Dersin özeti

• p ∧ q yalnızca ikisi de doğruyken doğru, p ∨ q yalnızca ikisi de yanlışken yanlıştır.
• p ⇒ q yalnızca 1 ⇒ 0 durumunda yanlıştır. Ayrıca p ⇒ q ≡ p′ ∨ q ve (p ⇒ q)′ ≡ p ∧ q′.
• p ⇔ q, iki önermenin doğruluk değeri aynıysa doğrudur.
• De Morgan: (p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′ ve (p ∨ q)′ ≡ p′ ∧ q′. Değil alınınca bağlaç değişir.
• p ⇒ q önermesinin karşıtı q ⇒ p, tersi p′ ⇒ q′, karşıt tersi q′ ⇒ p′'dür. Asıl önermeye her zaman denk olan yalnızca karşıt terstir.

Bu derste önermeleri bağlaçlarla birleştirmeyi ve doğruluk tablolarıyla sonuçlarını bulmayı öğrendik. Bir sonraki derste bu mantık araçlarını kullanmaya devam edeceğiz. "Her" ve "bazı" gibi ifadeler içeren önermeler, kümeler konusunda da karşımıza çıkacak.