Çarpma İşlemi: Tekrarlı Toplama ve Çarpım Tablosu

Tahmini süre: 15 dk

Önceki derslerde toplama ve çıkarmayı öğrendik. Toplamanın “bir araya getirmek” olduğunu gördük. Bu derste toplamanın çok işe yarayan bir kısayolunu öğreneceğiz: çarpma. Sonraki derste de çarpmanın tersi olan bölmeye geçeceğiz. Bu yüzden bugün öğreneceklerimiz, bir sonraki derste de çok işimize yarayacak.

Günlük hayattan giriş

Mutfakta annen masaya 3 tabak koydu. Her tabakta 4 kurabiye var. Toplam kaç kurabiye var? Tek tek sayabilirsin: 1, 2, 3, 4, 5... Ama daha hızlı bir yol var. Her tabakta aynı sayıda kurabiye olduğu için 4 + 4 + 4 diye toplayabiliriz. Sonuç 12 olur. İşte aynı sayıyı tekrar tekrar topladığımız bu durumun kısa yazılışına çarpma diyoruz: 3 × 4 = 12.

Çarpmayı her gün farkında olmadan kullanırız. Çoraplar çift çift satılır. 5 çift çorapta kaç tane çorap olduğunu bulmak için 2’yi 5 kere toplarız. Bir yumurta kolisinde yumurtalar sıra sıra dizilir. Sıraları ve her sıradaki yumurtayı sayarak toplamı hızlıca bulabiliriz. Sınıfınızdaki sıralarda da ikişer öğrenci oturuyorsa, sıra sayısını bilmek toplam öğrenci sayısını bulmaya yeter.

Çarpmanın en önemli şartı şudur: Gruplardaki sayılar eşit olmalıdır. Bir tabakta 4, diğerinde 2 kurabiye varsa çarpma yapamayız, toplama yaparız. Bu derste çarpmanın ne demek olduğunu, çarpım tablosunu ezberlemeden nasıl anlayabileceğimizi, 0 ve 1 sayılarının çarpmada nasıl davrandığını öğreneceğiz.

Tanım ve kural

Çarpma, eşit grupların tekrarlı toplamıdır. 3 × 4 işlemini “3 kere 4” diye okuruz. Bunun anlamı “4’ü 3 kere topla” demektir:

3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Çarpma işleminde kullanılan sayıların adları vardır. Çarpılan sayılara çarpan, bulunan sonuca çarpım denir. 3 × 4 = 12 işleminde 3 ve 4 çarpandır, 12 ise çarpımdır. Neden çarpma kullanırız? Çünkü 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 yazmak hem uzun sürer hem de hata yapmayı kolaylaştırır. Bunun yerine kısaca 10 × 4 yazarız.

Değişme özelliği: Çarpanların yerini değiştirirsek sonuç değişmez. 3 × 4 = 12 ve 4 × 3 = 12. Peki neden? Kurabiyeleri masaya 3 sıra hâlinde, her sırada 4 tane olacak şekilde dizdiğini düşün. Toplam 12 kurabiye olur. Şimdi masanın öbür ucuna geç ve aynı kurabiyelere bak. Artık 4 sıra görürsün ve her sırada 3 kurabiye vardır. Kurabiyelerin hiçbiri kaybolmadı, hiçbiri eklenmedi. Yalnızca baktığın yön değişti. Bu yüzden sonuç yine 12’dir. Bu özellik bize çok yardım eder: 2 × 9 işlemini biliyorsan 9 × 2 işlemini de bilirsin.

1 ile çarpma: 1 × 7 “7’yi 1 kere al” demektir. Yani sonuç 7’nin kendisidir. 7 × 1 ise “1’i 7 kere topla” demektir: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7. Bir sayıyı 1 ile çarpınca sayı değişmez.

0 ile çarpma: 5 × 0 “0’ı 5 kere topla” demektir: 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. 0 × 5 ise “hiç grup yok” demektir. 5 tane boş tabağın içinde hiç kurabiye yoksa toplam kurabiye 0’dır. Hiç tabak yoksa da kurabiye 0’dır. Bir sayıyı 0 ile çarpınca sonuç her zaman 0 olur.

Çarpım tablosunu örüntülerle anlamak: Çarpım tablosunu ezberlemek zorunda değilsin. İçindeki düzenleri fark edersen hatırlamak çok kolaylaşır.

• 2’ler: Bir sayıyı 2 ile çarpmak, o sayıyı kendisiyle toplamaktır (ikiye katlamak). 2 × 6 = 6 + 6 = 12.
• 4’ler: 4, 2’nin iki katıdır. Önce 2 ile çarp, sonra sonucu bir daha ikiye katla. 4 × 6: 2 × 6 = 12, 12 + 12 = 24.
• 5’ler: Sonuçlar hep 0 ya da 5 ile biter: 5, 10, 15, 20, 25, 30...
• 10’lar: Sayının sonuna bir 0 eklenir: 10 × 7 = 70.
• 9’lar: 10 ile çarpıp sayıyı bir kere çıkar: 9 × 6 = 60 − 6 = 54. Ayrıca 9’lar tablosunda sonucun rakamlarını toplarsan 9 bulursun: 18 (1 + 8 = 9), 27 (2 + 7 = 9), 36 (3 + 6 = 9).

Çözümlü örnekler

Örnek 1

4 tabağın her birinde 2 elma var. Toplam kaç elma vardır?

Çözüm:

Adım 1: 4 tane eşit grup var ve her grupta 2 elma bulunuyor.

Adım 2: Tekrarlı toplama ile yazalım: 2 + 2 + 2 + 2.

Adım 3: Topluyoruz: 2 + 2 = 4, 4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8.

Adım 4: Çarpma olarak yazalım: 4 × 2 = 8.

Sonuç: 8 elma vardır.

Örnek 2

5 × 3 işlemini tekrarlı toplama ile yazıp sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: 5 × 3, “3’ü 5 kere topla” demektir.

Adım 2: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 yazarız.

Adım 3: 3 + 3 = 6, 6 + 3 = 9, 9 + 3 = 12, 12 + 3 = 15.

Sonuç: 5 × 3 = 15

Örnek 3

6 × 0 ve 1 × 9 işlemlerinin sonuçlarını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: 6 × 0, “0’ı 6 kere topla” demektir: 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Adım 2: 1 × 9, “9’u 1 kere al” demektir. Bu da 9’un kendisidir.

Sonuç: 6 × 0 = 0 ve 1 × 9 = 9

Örnek 4

Elif, 4 × 7 işlemini hatırlayamıyor. Örüntüleri kullanarak sonucu nasıl bulabilir?

Çözüm:

Adım 1: 4 ile çarpmak, iki kere ikiye katlamak demektir.

Adım 2: Önce 2 × 7 işlemini yapalım: 7 + 7 = 14.

Adım 3: Bu sonucu bir daha ikiye katlayalım: 14 + 14 = 28.

Adım 4: Kontrol edelim: 7 + 7 + 7 + 7 = 28. Sonuçlar aynı.

Sonuç: 4 × 7 = 28

Örnek 5

9 × 6 işleminin sonucunu 10’lar tablosundan yararlanarak bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Değişme özelliğine göre 9 × 6, “9 kere 6” yani 6’yı 9 kere toplamaktır.

Adım 2: 6’yı 10 kere toplasaydık 10 × 6 = 60 bulurduk.

Adım 3: Ama biz 10 kere değil, 9 kere topluyoruz. Yani bir tane 6 fazla almışız.

Adım 4: Fazla olan 6’yı çıkaralım: 60 − 6 = 54.

Sonuç: 9 × 6 = 54

Örnek 6

Bir sınıfta 6 sıra var. Her sırada 4 öğrenci oturuyor. Bugün 3 öğrenci okula gelmedi. Sınıfta bugün kaç öğrenci vardır?

Çözüm:

Adım 1: Önce sınıftaki toplam öğrenci sayısını bulalım. 6 sıranın her birinde 4 öğrenci var: 6 × 4.

Adım 2: 2 × 4 = 8 olduğunu biliyoruz. 6 × 4 demek, üç tane 2 × 4 demektir: 8 + 8 + 8 = 24.

Adım 3: Gelmeyen 3 öğrenciyi çıkaralım: 24 − 3 = 21.

Sonuç: Sınıfta bugün 21 öğrenci vardır.

Sık yapılan hatalar

• Çarpma yerine toplama yapmak: 3 × 4 = 7 yazmak yanlıştır. 7, 3 + 4 işleminin sonucudur. Doğrusu: 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12.
• 0 ile çarpınca sayıyı aynen yazmak: 5 × 0 = 5 yazmak yanlıştır. Doğrusu: 0’ı 5 kere toplarsak 0 buluruz, yani 5 × 0 = 0.
• 1 ile çarpınca sonucu 1 yazmak: 1 × 8 = 1 yazmak yanlıştır. Doğrusu: 8’i 1 kere almak 8’dir, yani 1 × 8 = 8.
• Tekrar sayısını yanlış saymak: 4 + 4 + 4 işlemini 4 × 4 diye yazmak yanlıştır. Doğrusu: 4 sayısı 3 kere toplanmıştır, yani 3 × 4 = 12.
• Eşit olmayan grupları çarpmak: Bir kutuda 5, diğer kutuda 3 kalem varken 2 × 5 = 10 demek yanlıştır. Doğrusu: Gruplar eşit olmadığı için toplama yaparız: 5 + 3 = 8.

Alıştırma

• 1) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 işlemini çarpma olarak yazıp sonucunu bulunuz.
• 2) 3 × 6 = ?
• 3) 8 × 0 = ?
• 4) 1 × 15 = ?
• 5) 4 × 5 ve 5 × 4 işlemlerinin sonuçlarını bulunuz. Ne fark ettiniz?
• 6) 7 × 3 işlemini tekrarlı toplama ile yapınız.
• 7) 9 × 4 işleminin sonucunu 10’lar tablosundan yararlanarak bulunuz.
• 8) ? × 3 = 3 × 8 işleminde ? yerine hangi sayı gelmelidir?
• 9) Ali her gün 2 sayfa kitap okuyor. 7 günde kaç sayfa okur?
• 10) 4 paketin her birinde 8 bisküvi var. Bisküvilerden 5 tanesi yendi. Kaç bisküvi kaldı?

Cevap Anahtarı

• 1) 5 × 2 = 10: 2 sayısı 5 kere toplandığı için 5 × 2 yazılır.
• 2) 18: 6 + 6 + 6 = 18.
• 3) 0: Bir sayıyı 0 ile çarpınca sonuç her zaman 0 olur.
• 4) 15: Bir sayıyı 1 ile çarpınca sayı değişmez.
• 5) İkisi de 20: Değişme özelliğine göre çarpanların yeri değişince sonuç değişmez.
• 6) 21: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21.
• 7) 36: 10 × 4 = 40, bir tane 4 fazla olduğu için 40 − 4 = 36.
• 8) 8: Değişme özelliğine göre 8 × 3 = 3 × 8 olur.
• 9) 14 sayfa: 7 × 2 = 7 + 7 = 14.
• 10) 27 bisküvi: 4 × 8 = 32, sonra 32 − 5 = 27.

Dersin özeti

• Çarpma, eşit grupların tekrarlı toplamıdır: 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12.
• Çarpılan sayılara çarpan, sonuca çarpım denir.
• Değişme özelliği: Çarpanların yeri değişince sonuç değişmez (3 × 4 = 4 × 3).
• Bir sayıyı 1 ile çarpınca sayı değişmez. Bir sayıyı 0 ile çarpınca sonuç 0 olur.
• Çarpım tablosunu örüntülerle hatırlayabiliriz: 2’ler ikiye katlamadır, 5’ler 0 ya da 5 ile biter, 10’larda sayının sonuna 0 eklenir, 9’larda 10 ile çarpıp sayıyı bir kere çıkarırız. Bu bilgiler, bir sonraki dersteki bölme işleminin de temelidir.