Belirsiz ve Belirli İntegral: Temel Kurallar

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde türevi bir değişim hızı olarak kullandık. Bir aracın konum fonksiyonunun türevi hızını verdi. Teğet eğimi, artan-azalan aralıklar ve maksimum-minimum problemlerinde hep aynı yönde ilerledik: fonksiyonu biliyoruz, değişim hızını buluyoruz.

Peki soru tersine dönerse? Bir aracın hız göstergesini her an kaydettiğimizi, ama kilometre sayacının bozuk olduğunu düşünelim. Elimizde hız fonksiyonu var ve aracın ne kadar yol aldığını bulmak istiyoruz. Ya da bir depoya dakikada kaç litre su aktığını biliyoruz ve depoda toplam ne kadar su biriktiğini soruyoruz. Bu kez durum şu: değişim hızını biliyoruz, fonksiyonun kendisini arıyoruz. İntegral, türevin tersi olan bu işlemdir.

Bu derste integrali türevin tersi olarak kuracağız. Temel kuralları nedenleriyle öğreneceğiz, değişken değiştirme yöntemini göreceğiz ve belirli integrali hesaplayacağız. Bir sonraki ve kursun son dersinde belirli integrali eğriler ile eksenler arasında kalan alanı bulmak için kullanacağız. Bu yüzden buradaki hesap becerisi doğrudan son derse taşınacak.

Tanım ve kural

Belirsiz integral: Türevi f(x) olan bir F(x) fonksiyonuna f(x)'in ilkeli (ters türevi) denir. Bütün ilkeller ∫ f(x) dx = F(x) + C biçiminde yazılır. ∫ işaretine integral işareti, dx'e diferansiyel, C'ye ise integral sabiti denir. dx, integralin x değişkenine göre alındığını gösterir.

C neden eklenir? Sabit bir sayının türevi 0'dır. Bu yüzden x², x² + 5 ve x² − 3 fonksiyonlarının türevi aynıdır: hepsi 2x. Türevi 2x olan fonksiyona geri dönerken türev alınırken kaybolan sabitin kaç olduğunu bilemeyiz. Bu belirsizliği C ile gösteririz. Soruda f(1) = 5 gibi ek bir bilgi verilirse C'nin değeri bulunabilir.

Kuvvet kuralı neden böyle? Türevde üs bir azalıyor ve başa çarpan olarak geliyordu: (xⁿ⁺¹)' = (n + 1)·xⁿ. Tersine gitmek için üssü bir artırır, sonra yeni üsse böleriz: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C. Kontrol edelim: xⁿ⁺¹/(n + 1) ifadesinin türevi (n + 1)·xⁿ/(n + 1) = xⁿ olur. n = −1 olduğunda payda 0 olacağından bu kural kullanılamaz; ∫ 1/x dx başka bir fonksiyon verir ve bu dersin konusu değildir.

Toplam ve sabit çarpan: Türevde toplamın türevi türevlerin toplamıydı ve sabit çarpan dışarı çıkıyordu. İntegral türevin tersi olduğu için bu kolaylıklar integralde de geçerlidir. Ama dikkat: çarpımın integrali, integrallerin çarpımı değildir. Zaten çarpımın türevi de türevlerin çarpımı değildi.

Belirli integral: Bu derste a'dan b'ye integrali ∫(a→b) f(x) dx biçiminde yazacağız. a alt sınır, b üst sınırdır. F, f'nin bir ilkeli olmak üzere ∫(a→b) f(x) dx = F(b) − F(a) olarak hesaplanır. Sonuç bir fonksiyon değil, bir sayıdır. Burada C yazmayız, çünkü (F(b) + C) − (F(a) + C) işleminde C kendiliğinden sadeleşir. Bu eşitliğe integral hesabının temel teoremi denir.

Değişken değiştirme: İntegralin içinde bir ifade ile o ifadenin türevi (ya da türevinin sabit katı) çarpım hâlinde bulunuyorsa, o ifadeye u deriz. u = g(x) ise du = g'(x) dx olur. Bu yöntem türevdeki zincir kuralının tersidir. Belirli integralde u'ya geçince sınırları da u cinsinden yazmak gerekir.

Belirli integralin özellikleri de F(b) − F(a) tanımından kolayca çıkar:

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

∫ (3x² + 4x − 5) dx integralini hesaplayınız.

Çözüm:

Toplam kuralıyla her terimin integralini ayrı alırız.

∫ 3x² dx = 3·x³/3 = x³

∫ 4x dx = 4·x²/2 = 2x²

∫ (−5) dx = −5x

Kontrol: (x³ + 2x² − 5x)' = 3x² + 4x − 5 olduğundan sonuç doğrudur.

Sonuç: x³ + 2x² − 5x + C

Örnek 2 (kolay)

∫ (√x + 1/x²) dx integralini hesaplayınız.

Çözüm:

Kuvvet kuralını kullanabilmek için terimleri üslü yazarız: √x = x^(1/2) ve 1/x² = x^(−2).

∫ x^(1/2) dx = x^(3/2) ÷ (3/2) = (2/3)·x^(3/2)

x^(3/2) = x·√x olduğundan bu terim (2/3)x√x olur.

∫ x^(−2) dx = x^(−1) ÷ (−1) = −1/x

Sonuç: (2/3)x√x − 1/x + C

Örnek 3 (orta)

f'(x) = 6x − 4 ve f(1) = 5 olduğuna göre f(2) kaçtır?

Çözüm:

f(x) = ∫ (6x − 4) dx = 3x² − 4x + C

C'yi bulmak için f(1) = 5 bilgisini kullanırız: 3·1² − 4·1 + C = 5

−1 + C = 5, buradan C = 6

f(x) = 3x² − 4x + 6

f(2) = 3·4 − 4·2 + 6 = 12 − 8 + 6

Sonuç: f(2) = 10

Örnek 4 (orta)

∫ 2x·(x² + 1)³ dx integralini hesaplayınız.

Çözüm:

Parantez içi x² + 1'in türevi 2x'tir ve 2x integralin içinde çarpan olarak duruyor. Bu, değişken değiştirme işaretidir.

u = x² + 1 dersek du = 2x dx olur.

İntegral ∫ u³ du hâline gelir.

∫ u³ du = u⁴/4 + C

u yerine x² + 1 yazarız.

Kontrol: ((x² + 1)⁴/4)' = 4·(x² + 1)³·2x/4 = 2x·(x² + 1)³

Sonuç: (x² + 1)⁴/4 + C

Örnek 5 (orta)

∫(0→2) (3x² − 2x) dx integralinin değeri kaçtır?

Çözüm:

Önce bir ilkel buluruz: F(x) = x³ − x²

F(2) = 8 − 4 = 4

F(0) = 0 − 0 = 0

∫(0→2) (3x² − 2x) dx = F(2) − F(0) = 4 − 0

Sonuç: 4

Örnek 6 (zor)

∫(0→1) 6x·(x² + 1)² dx integralinin değeri kaçtır?

Çözüm:

u = x² + 1 dersek du = 2x dx olur.

6x dx = 3·(2x dx) = 3 du

Sınırları çeviririz: x = 0 iken u = 1; x = 1 iken u = 2.

İntegral ∫(1→2) 3u² du hâline gelir.

3u² ifadesinin ilkeli u³'tür.

2³ − 1³ = 8 − 1 = 7

Kontrol: (x² + 1)³ ifadesinin türevi 3(x² + 1)²·2x = 6x(x² + 1)²'dir; x = 1 için 8, x = 0 için 1 verir ve 8 − 1 = 7 bulunur.

Sonuç: 7

Örnek 7 (zor)

∫(1→4) f(x) dx = 10 ve ∫(1→3) f(x) dx = 4 olduğuna göre ∫(3→4) (2f(x) + 1) dx kaçtır?

Çözüm:

Aralık birleştirme özelliği: ∫(1→3) f(x) dx + ∫(3→4) f(x) dx = ∫(1→4) f(x) dx

4 + ∫(3→4) f(x) dx = 10, buradan ∫(3→4) f(x) dx = 6

Sabit çarpan dışarı çıkar: ∫(3→4) 2f(x) dx = 2·6 = 12

∫(3→4) 1 dx = 1·(4 − 3) = 1

Toplam: 12 + 1 = 13

Sonuç: 13

Sık yapılan hatalar

• C'yi unutmak. Yanlış: ∫ 2x dx = x². Doğrusu: ∫ 2x dx = x² + C. Belirsiz integralde C yazılmazsa türevi 2x olan diğer fonksiyonlar (x² + 7 gibi) gözden kaçar.
• Çarpımın integralini integrallerin çarpımı sanmak. Yanlış: ∫ x·(x + 1) dx = (x²/2)·(x²/2 + x). Doğrusu: önce çarpımı açarız, x² + x olur; integral x³/3 + x²/2 + C bulunur.
• Negatif üste üssü azaltmak. Yanlış: ∫ x^(−2) dx = x^(−3)/(−3). Bu türevle karıştırmaktır. Doğrusu: üs bir artar, −2 + 1 = −1 olur; ∫ x^(−2) dx = x^(−1)/(−1) + C = −1/x + C.
• Değişken değiştirmede katsayıyı ayarlamamak. Yanlış: ∫ x·(x² + 1)³ dx = (x² + 1)⁴/4 + C. Doğrusu: du = 2x dx olduğundan x dx = du/2; sonuç (x² + 1)⁴/8 + C olur.
• Belirli integralde sınırları çevirmemek. Yanlış: u = x² + 1 dönüşümü yapıp u cinsinden ifadede yine 0 ve 1 sınırlarını kullanmak. Doğrusu: ya sınırları u'ya çevir (1 ve 2), ya da sonucu önce x cinsinden yazıp eski sınırları kullan.

AYT için soru tipi, süre ve şık eleme

• Soru tipleri: AYT'de bu konu çoğunlukla şu biçimlerde gelir: f'(x) ve bir nokta verilip f'nin başka bir noktadaki değerini bulma, değişken değiştirmeyle belirsiz integral, sayısal belirli integral ve verilen integral değerlerinden özelliklerle yeni bir integrali bulma.
• Süre: Kuvvet kuralıyla çözülen bir soruya 1 dakika, değişken değiştirme veya özellik gerektiren bir soruya 2 dakika civarı ayırmayı hedefle. Uzayan soruyu işaretleyip sona bırak.
• Türevle eleme: Belirsiz integral sorusunda şıklardaki fonksiyonların türevini al. Türevi integralin içindeki ifadeyi vermeyen şık kesin yanlıştır. Bu, çoğu zaman integrali baştan almaktan daha hızlıdır.
• İşaretle eleme: a < b ve fonksiyon aralıkta hep pozitifse belirli integral pozitif çıkmalıdır; negatif şıkları hemen ele. Tek fonksiyonun −a'dan a'ya integrali 0'dır.

Alıştırma

1) ∫ (4x³ − 6x + 2) dx integralini hesaplayınız.

2) ∫ (x + 1)² dx integralini hesaplayınız.

3) ∫ 1/x³ dx integralini hesaplayınız.

4) f'(x) = 3x² + 2 ve f(0) = 4 ise f(1) kaçtır?

5) ∫ 3x²·(x³ − 2)⁴ dx integralini hesaplayınız.

6) ∫(1→3) (2x + 1) dx kaçtır?

7) ∫(−1→1) x³ dx kaçtır?

8) ∫(0→2) f(x) dx = 5 ve ∫(2→5) f(x) dx = 7 ise ∫(5→0) f(x) dx kaçtır?

9) ∫(0→√3) x·√(x² + 1) dx kaçtır?

10) ∫(0→3) |x − 1| dx kaçtır?

Cevap Anahtarı

1) x⁴ − 3x² + 2x + C — Her terimde üssü bir artırıp yeni üsse böl.

2) x³/3 + x² + x + C — Önce (x + 1)² = x² + 2x + 1 diye aç; (x + 1)³/3 + C yazımı da doğrudur, iki cevap yalnızca sabitte farklıdır.

3) −1/(2x²) + C — 1/x³ = x^(−3) yaz; x^(−2)/(−2) bulunur.

4) 7 — f(x) = x³ + 2x + C ve f(0) = 4'ten C = 4; f(1) = 1 + 2 + 4 = 7.

5) (x³ − 2)⁵/5 + C — u = x³ − 2 için du = 3x² dx, integral ∫ u⁴ du olur.

6) 10 — İlkel x² + x; 3'te 12, 1'de 2 verir, 12 − 2 = 10.

7) 0 — x³ tek fonksiyondur; ilkel x⁴/4 ile 1/4 − 1/4 = 0.

8) −12 — ∫(0→5) f(x) dx = 5 + 7 = 12; sınırlar ters çevrilince işaret değişir.

9) 7/3 — u = x² + 1 ile x dx = du/2, sınırlar 1 ve 4; ilkel (1/3)u^(3/2) olduğundan (8 − 1)/3 = 7/3.

10) 5/2 — x = 1'de böl: ∫(0→1) (1 − x) dx = 1/2 ve ∫(1→3) (x − 1) dx = 2; toplam 5/2.

Dersin özeti

• İntegral türevin tersidir: ∫ f(x) dx = F(x) + C ise F'(x) = f(x) olur. Sonucu her zaman türev alarak kontrol edebilirsin.
• Sabitlerin türevi 0 olduğu için belirsiz integralde C eklenir; ek bir bilgi (örneğin f(1) = 5) verilirse C bulunur.
• Kuvvet kuralı: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1). Kök ve paydadaki ifadeleri önce üslü yaz; çarpımları önce aç.
• İçte bir ifade ve dışta onun türevi varsa değişken değiştir; belirli integralde sınırları da çevir.
• ∫(a→b) f(x) dx = F(b) − F(a) bir sayıdır. Sınır değiştirme, aralık birleştirme ve sabit çarpan özellikleri bir sonraki derste alan hesabının temel araçları olacak.