Teğet Denklemi ve Artan-Azalan Fonksiyonlar

Günlük hayattan giriş

Önceki derste türev alma kurallarını öğrendik: çarpımın, bölümün ve bileşke fonksiyonun türevini alabiliyoruz. Bu derste türevi yalnızca hesaplamayacağız, ne anlama geldiğini de kullanacağız. Türev, bir eğrinin o noktadaki eğimidir. Eğimi bilince iki soruya cevap verebiliriz: "Bu noktada eğriye değen doğru hangisi?" ve "Fonksiyon bu aralıkta yükseliyor mu, alçalıyor mu?"

Virajlı bir yolda giden bir arabayı düşünün. Araba virajın tam bir noktasındayken direksiyonu düz tutarsanız, o noktadan dümdüz bir çizgi boyunca gidersiniz. İşte bu çizgi, yolun o noktadaki teğetidir. Aynı noktada yola dik duran bir tabela direği ise normal doğrusunu anlatır. Kaykay rampasında da durum aynıdır: Rampanın bir noktasındaki dikliğini o noktadaki teğetin eğimi verir.

Artan ve azalan fonksiyonlar da günlük hayatta çok karşımıza çıkar. Dağa tırmanırken yükseklik artar, inişte azalır. Bir yürüyüş rotasının yükseklik grafiğine bakınca "şu kilometreden sonra iniş başlıyor" dersiniz. Bunu, yolun eğiminin pozitiften negatife döndüğü yerden anlarsınız. Matematikte bu işi f′(x) işaret tablosu yapar.

Tanım ve kural

1) Teğet doğrusu: f fonksiyonunun x = a noktasındaki teğeti, eğriye A(a, f(a)) noktasında değen doğrudur. Bu doğrunun eğimi m = f′(a) olur. Neden? Türevin tanımı, eğri üzerindeki iki noktadan geçen kesen doğrunun eğiminin, noktalar birbirine yaklaşırken ulaştığı limittir. Noktalar birleşince kesen doğru teğete dönüşür. Bu yüzden türevin değeri teğetin eğimini verir.

Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi y − y₁ = m(x − x₁) şeklindedir. Buradan teğet denklemi şöyle bulunur:

y − f(a) = f′(a) · (x − a)

2) Normal doğrusu: Değme noktasında teğete dik olan doğrudur. Dik iki doğrunun eğimlerinin çarpımı −1 olduğu için normalin eğimi m_n = −1 / f′(a) bulunur (f′(a) ≠ 0 iken). Teğet yataysa, yani f′(a) = 0 ise normal dikey olur ve denklemi x = a şeklindedir.

3) Artan ve azalan fonksiyon: Bir aralıkta x büyüdükçe f(x) de büyüyorsa f o aralıkta artandır. x büyüdükçe f(x) küçülüyorsa f azalandır. Kural şudur: Aralığın her noktasında f′(x) > 0 ise f artandır, f′(x) < 0 ise f azalandır. Nedeni basit: Her noktadaki teğet yukarı doğru eğimliyse, sağa gittikçe grafik yükselir.

Ek not: f′(x) ≥ 0 olup türev yalnızca tek tek noktalarda sıfır oluyorsa fonksiyon yine artandır. Örneğin f(x) = x³ için f′(0) = 0 olur, ama fonksiyon her yerde artandır.

İşaret tablosu nasıl kurulur? Önce f′(x) bulunur. Sonra f′(x) = 0 yapan ve f′'yü tanımsız yapan noktalar işaretlenir. Her aralıktan bir deneme sayısı seçilip f′'nin işaretine bakılır. Çift katlı köklerde işaret değişmez.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: f(x) = x² + 3x eğrisinin x = 1 apsisli noktasındaki teğet denklemini bulunuz.

Çözüm:

Değme noktası: f(1) = 1 + 3 = 4, yani A(1, 4).

Türev: f′(x) = 2x + 3.

Eğim: f′(1) = 2 + 3 = 5.

Denklem: y − 4 = 5(x − 1) olur, düzenlersek y = 5x − 5 + 4.

Teğet: y = 5x − 1

Örnek 2: f(x) = x³ − 2x eğrisinin x = 2 apsisli noktasındaki normal denklemini bulunuz.

Çözüm:

Değme noktası: f(2) = 8 − 4 = 4, yani A(2, 4).

Türev: f′(x) = 3x² − 2 olduğundan teğet eğimi f′(2) = 12 − 2 = 10.

Normal eğimi: m_n = −1/10.

Denklem: y − 4 = −1/10 · (x − 2).

İki tarafı 10 ile çarpalım: 10y − 40 = −x + 2.

Normal: x + 10y − 42 = 0 (Kontrol: x = 2 için 2 + 40 − 42 = 0 ✓)

Örnek 3: f(x) = x² − 4x + 7 eğrisinin y = 2x + 1 doğrusuna paralel olan teğetinin denklemini bulunuz.

Çözüm:

Paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan teğetin eğimi 2 olmalıdır.

f′(x) = 2x − 4 = 2 denkleminden x = 3 bulunur.

Değme noktası: f(3) = 9 − 12 + 7 = 4, yani A(3, 4).

Denklem: y − 4 = 2(x − 3) olur, düzenlersek y = 2x − 6 + 4.

Teğet: y = 2x − 2

Örnek 4: f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

Çözüm:

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1).

Kökler: x = −1 ve x = 3 (ikisi de tek katlı, işaret değişir).

x < −1 için x = −2 deneyelim: 3 · (−5) · (−1) = 15 > 0, fonksiyon artan.

−1 < x < 3 için x = 0 deneyelim: 3 · (−3) · (1) = −9 < 0, fonksiyon azalan.

x > 3 için x = 4 deneyelim: 3 · (1) · (5) = 15 > 0, fonksiyon artan.

Artan: (−∞, −1) ve (3, ∞); azalan: (−1, 3)

Örnek 5: f(x) = (x − 1)/(x + 2) fonksiyonunun monotonluğunu inceleyiniz.

Çözüm:

Bölümün türevi: f′(x) = [1 · (x + 2) − (x − 1) · 1] / (x + 2)².

Payı sadeleştirelim: x + 2 − x + 1 = 3. Böylece f′(x) = 3/(x + 2)² olur.

Payda karedir ve x ≠ −2 için pozitiftir; pay da 3 > 0 olduğundan f′(x) > 0.

Fakat x = −2'de fonksiyon tanımsızdır, bu yüzden aralıklar ayrı ayrı yazılmalıdır.

f, (−∞, −2) aralığında ve (−2, ∞) aralığında ayrı ayrı artandır.

Örnek 6: f(x) = x³ + ax² + 3x fonksiyonu her x gerçel sayısı için artan olduğuna göre a'nın alabileceği değerleri bulunuz.

Çözüm:

f′(x) = 3x² + 2ax + 3 olur. Her x için f′(x) ≥ 0 olmalıdır.

Başkatsayı 3 > 0 olduğundan parabol yukarı açılır. Parabolün x eksenini kesmemesi (en fazla değmesi) için Δ ≤ 0 olmalıdır.

Δ = (2a)² − 4 · 3 · 3 = 4a² − 36 ≤ 0 eşitsizliğinden a² ≤ 9 bulunur.

a = 3 için f′(x) = 3(x + 1)² ≥ 0 olur. Türev yalnızca x = −1'de sıfırdır, fonksiyon yine artandır. a = −3 için de durum aynıdır.

−3 ≤ a ≤ 3

Sık yapılan hatalar

• Eğimi x'li bırakmak: f(x) = x² + 3x, x = 1 için y − 4 = (2x + 3)(x − 1) yazmak yanlıştır. Doğrusu: Önce eğim sayıya çevrilir, f′(1) = 5 bulunur ve y − 4 = 5(x − 1) yazılır.
• Normal eğimini yanlış almak: Teğet eğimi 10 iken normal eğimini −10 ya da 1/10 almak yanlıştır. Doğrusu: m_n = −1/10.
• İşaret tablosunda f'nin köklerini kullanmak: Artan-azalan aralıkları f(x) = 0 yapan noktalardan belirlemek yanlıştır. Doğrusu: Aralık sınırları f′(x) = 0 yapan ve f′'yü tanımsız yapan noktalardır.
• Çift katlı kökte işareti değiştirmek: f′(x) = (x − 2)² için "x = 2'den sonra işaret değişir" demek yanlıştır. Doğrusu: Kare ifade negatif olamaz; f′ ≥ 0 olur ve f her yerde artandır.
• Tanımsız noktayı yok saymak: f(x) = 1/x için f′(x) = −1/x² < 0 olduğundan "f, (−∞, ∞) aralığında azalandır" demek yanlıştır. Zaten f(−1) = −1 < f(1) = 1 olduğundan fonksiyon tüm tanım kümesinde azalan olamaz. Doğrusu: f, (−∞, 0) ve (0, ∞) aralıklarında ayrı ayrı azalandır.

Sınav taktiği (AYT)

Soru tipleri: Bir noktadaki teğet ya da normal denklemi, verilen doğruya paralel ya da dik teğet, teğet bilgisinden katsayı bulma, artan-azalan aralık ve "her x için artan" koşuluyla parametre bulma.

Süre: Bu tür sorulara 1,5-2 dakika ayırın. İşaret tablosu gereken sorularda kökleri bulduktan sonra en sağdaki aralıktan başlayın: Başkatsayı pozitifse orada işaret +'dır, tek katlı her kökte işaret değişir.

Şık eleme: Teğet denklemi sorularında değme noktasını şıklara koyun. Noktayı sağlamayan şık hemen elenir. Kalan şıklarda eğimi f′(a) ile karşılaştırın. Aralık sorularında aralıktan bir sayıyı f′'ye koyup işaretini kontrol edin.

Alıştırma

1) f(x) = x² − 5 eğrisinin x = 2 noktasındaki teğet denklemini bulunuz.

2) f(x) = x³ eğrisinin x = −1 noktasındaki teğet denklemini bulunuz.

3) f(x) = 2x² − x eğrisinin x = 1 noktasındaki normal denklemini bulunuz.

4) f(x) = x² + 2x eğrisine y = −4x + 3 doğrusuna paralel olarak çizilen teğetin değme noktasını bulunuz.

5) f(x) = x² − 6x + 1 fonksiyonunun azalan olduğu aralığı bulunuz.

6) f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 1 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.

7) f(x) = −x³ + 3x fonksiyonunun artan olduğu aralığı bulunuz.

8) f(x) = x³ − mx² + 12x fonksiyonu her x için artan olduğuna göre m'nin alabileceği değerleri bulunuz.

9) f(x) = (2x + 1)/(x − 1) fonksiyonunun monotonluğunu inceleyiniz.

10) f(x) = x² + bx + c eğrisinin x = 1 noktasındaki teğeti y = 3x − 1 olduğuna göre b ve c'yi bulunuz.

Cevap Anahtarı

• 1) y = 4x − 9: f(2) = −1 ve f′(2) = 4 olduğundan y + 1 = 4(x − 2) yazılır.
• 2) y = 3x + 2: f(−1) = −1 ve f′(−1) = 3 olduğundan y + 1 = 3(x + 1) yazılır.
• 3) x + 3y − 4 = 0: f(1) = 1 ve f′(1) = 3 olduğundan normal eğimi −1/3 olur ve y − 1 = −1/3 · (x − 1) yazılır.
• 4) (−3, 3): 2x + 2 = −4 denkleminden x = −3 bulunur ve f(−3) = 9 − 6 = 3 olur.
• 5) (−∞, 3): f′(x) = 2x − 6 < 0 eşitsizliğinden x < 3 bulunur.
• 6) Artan: (−∞, −1) ve (2, ∞); azalan: (−1, 2): f′(x) = 6(x − 2)(x + 1) olur ve kökler arasında işaret negatiftir.
• 7) (−1, 1): f′(x) = −3(x − 1)(x + 1) olur; başkatsayı negatif olduğundan kökler arasında f′ > 0 olur.
• 8) −6 ≤ m ≤ 6: f′(x) = 3x² − 2mx + 12 için Δ = 4m² − 144 ≤ 0 koşulundan m² ≤ 36 bulunur.
• 9) (−∞, 1) ve (1, ∞) aralıklarında ayrı ayrı azalan: f′(x) = [2(x − 1) − (2x + 1)]/(x − 1)² = −3/(x − 1)² < 0 olur.
• 10) b = 1, c = 0: f′(1) = 2 + b = 3 eşitliğinden b = 1, f(1) = 1 + b + c = 3 · 1 − 1 = 2 eşitliğinden c = 0 bulunur.

Dersin özeti

• x = a noktasındaki teğetin eğimi f′(a) olur, denklemi y − f(a) = f′(a)(x − a) şeklindedir.
• Normalin eğimi −1/f′(a) olur. Teğet yataysa normal x = a doğrusudur.
• Paralel teğet sorularında f′(x) verilen eğime eşitlenir. Dik doğru verilmişse teğet eğimi −1/m alınır.
• f′(x) > 0 olan aralıkta f artan, f′(x) < 0 olan aralıkta f azalandır. Aralıkları f′'nin kökleri ve tanımsız noktaları belirler.
• "Her x için artan" koşulu, ikinci dereceden türevde başkatsayı > 0 ve Δ ≤ 0 demektir. Sonraki derste f′'nin işaret değiştirdiği noktaları kullanarak yerel maksimum ve minimum noktalarını bulacağız.