Limit ve Süreklilik: Türeve Hazırlık

Günlük hayattan giriş

Önceki derste fonksiyonları, grafiklerini ve parçalı tanımlı fonksiyonları çalıştık. Bir fonksiyonun bir noktada hangi değeri aldığını bulmayı artık biliyoruz. Bu derste daha ince bir soru soracağız: x bir sayıya çok yaklaşırken fonksiyonun değeri neye yaklaşır? Bu sorunun cevabına limit denir. Bir sonraki derste türevin tanımını yapacağız. Türevin tanımı da doğrudan bir limittir. Bu yüzden bu ders, türev konusunun temelidir.

Günlük hayattan bir örnek verelim. Bir arabanın hız göstergesi o anki hızı gösterir. Oysa bir anda yol almak için zaman geçmesi gerekir. Sıfır saniyede alınan yol sıfırdır, yani o anki hızı “yol ÷ zaman” diye hesaplarsak 0/0 çıkar. Bunun yerine çok kısa zaman aralıklarına bakarız: 1 saniye, 0,1 saniye, 0,01 saniye… Bu aralıklardaki ortalama hızlar belli bir sayıya yaklaşır. İşte o sayı anlık hızdır. “Yaklaşma” fikri limitin ta kendisidir.

Bir başka örnek: Taksimetre ücreti genellikle belli bir mesafeye kadar sabittir, sonra birden artar. Grafiği o noktada kopar, yani grafikte bir sıçrama olur. Mesafeyi soldan yaklaştırırsan bir ücrete, sağdan yaklaştırırsan başka bir ücrete ulaşırsın. Bu durum sağdan ve soldan limit kavramını ve süreksizliği anlatır. AYT’de parçalı fonksiyonlarda süreklilik soruları tam olarak bu fikre dayanır.

Tanım ve kural

Limit: x, a sayısına a’dan farklı değerlerle yaklaşırken f(x) değerleri bir L sayısına yaklaşıyorsa lim (x → a) f(x) = L yazılır. Dikkat: Limitte x, a’ya eşit olmaz, yalnızca yaklaşır. Bu yüzden f(a) tanımsız olsa bile limit var olabilir.

Sağdan ve soldan limit: x, a’ya büyük değerlerden (örneğin 2,1; 2,01; 2,001) yaklaşıyorsa buna sağdan limit denir ve x → a⁺ yazılır. Küçük değerlerden (1,9; 1,99; 1,999) yaklaşıyorsa soldan limit denir ve x → a⁻ yazılır. Limitin var olması için sağdan ve soldan limitler var olmalı ve birbirine eşit olmalıdır. Nedeni şudur: Fonksiyon iki yönden iki farklı sayıya gidiyorsa “tek bir sayıya yaklaşıyor” diyemeyiz.

0/0 belirsizliği: x = a yazınca 0/0 çıkıyorsa bu sonuç “cevap 0” ya da “cevap 1” demek değildir. Bu, “bu hâliyle karar veremiyorum” demektir. Payda ve paydaya a yazınca ikisi de 0 oluyorsa, polinomlarda ikisi de (x − a) çarpanını içerir. Çarpanlara ayırıp (x − a)’yı sadeleştiririz. Bu sadeleştirme serbesttir, çünkü limitte x ≠ a, yani x − a ≠ 0’dır. Köklü ifadelerde ise eşlenikle çarpma yaparız.

Süreklilik: f fonksiyonu x = a noktasında süreklidir, ancak ve ancak şu üç koşul birlikte sağlanırsa:

• f(a) tanımlıdır.
• lim (x → a) f(x) vardır, yani sağdan ve soldan limitler eşittir.
• lim (x → a) f(x) = f(a) olur.

Sezgisel anlamı şudur: Grafiği o noktada kalemi kâğıttan kaldırmadan çizebiliyorsan fonksiyon süreklidir. Polinomlar her yerde süreklidir. Bu yüzden polinomda limit bulmak için sadece x = a yazmak yeter.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (kolay)

lim (x → 2) (3x² − 5) kaçtır?

Çözüm:

3x² − 5 bir polinomdur, yani süreklidir. Bu yüzden x = 2 yazılır.

3 · 2² − 5 = 3 · 4 − 5

12 − 5 = 7

Sonuç: 7

Örnek 2

lim (x → 3) (x² − 9)/(x − 3) kaçtır?

Çözüm:

x = 3 yazınca (9 − 9)/(3 − 3) = 0/0 çıkar. Bu bir belirsizliktir.

Payı çarpanlara ayırırız: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

(x − 3)(x + 3)/(x − 3) ifadesinde x ≠ 3 olduğu için (x − 3) sadeleşir ve x + 3 kalır.

x = 3 yazılır: 3 + 3 = 6.

Sonuç: 6

Örnek 3

lim (x → 1) (x² + x − 2)/(x² − 1) kaçtır?

Çözüm:

x = 1 yazınca (1 + 1 − 2)/(1 − 1) = 0/0 çıkar.

Pay: x² + x − 2 = (x + 2)(x − 1).

Payda: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).

(x − 1) sadeleşir ve (x + 2)/(x + 1) kalır.

x = 1 yazılır: (1 + 2)/(1 + 1) = 3/2.

Sonuç: 3/2

Örnek 4 (köklü ifade)

lim (x → 4) (√x − 2)/(x − 4) kaçtır?

Çözüm:

x = 4 yazınca (2 − 2)/(4 − 4) = 0/0 çıkar.

Pay ve paydayı √x + 2 ile çarparız (eşlenik).

Pay: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

İfade (x − 4)/((x − 4)(√x + 2)) olur. (x − 4) sadeleşir ve 1/(√x + 2) kalır.

x = 4 yazılır: 1/(2 + 2) = 1/4.

Sonuç: 1/4

Örnek 5 (sağdan ve soldan limit)

f(x) = 2x + 1 (x < 1 için) ve f(x) = x² + a (x ≥ 1 için) olarak tanımlanıyor. lim (x → 1) f(x) var olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm:

Soldan limit (x < 1 kuralı): 2 · 1 + 1 = 3.

Sağdan limit (x ≥ 1 kuralı): 1² + a = 1 + a.

Limitin var olması için ikisi eşit olmalıdır: 1 + a = 3.

a = 2.

Sonuç: a = 2

Örnek 6 (AYT tipi: limit varsa parametre)

lim (x → 2) (x² + ax − 6)/(x − 2) limiti bir reel sayıya eşit olduğuna göre a kaçtır ve limit kaçtır?

Çözüm:

x = 2 yazınca payda 0 olur. Limitin bir reel sayı çıkması için payın da 0 olması gerekir. Aksi hâlde “sayı ÷ 0 civarı” ifadesi sonsuza gider.

Pay: 2² + 2a − 6 = 0 olmalıdır. Buradan 4 + 2a − 6 = 0 ve 2a = 2 çıkar, yani a = 1.

Pay x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) olur.

(x − 2) sadeleşir ve x + 3 kalır. x = 2 yazılır: 2 + 3 = 5.

Sonuç: a = 1, limit 5

Örnek 7 (parçalı fonksiyonda süreklilik)

f(x) = ax + 2 (x < 1 için), f(1) = 5 ve f(x) = x² + b (x > 1 için) olarak tanımlanıyor. f her reel sayıda sürekli olduğuna göre a + b kaçtır?

Çözüm:

Parçalar polinom olduğu için tek şüpheli nokta x = 1’dir.

Soldan limit: a · 1 + 2 = a + 2. Sağdan limit: 1² + b = 1 + b. Fonksiyon değeri: f(1) = 5.

Süreklilik için a + 2 = 5 olmalıdır, buradan a = 3.

Aynı şekilde 1 + b = 5 olmalıdır, buradan b = 4.

a + b = 3 + 4 = 7.

Sonuç: 7

Örnek 8 (türeve köprü)

f(x) = x² olmak üzere lim (h → 0) [f(2 + h) − f(2)]/h kaçtır?

Çözüm:

f(2 + h) = (2 + h)² = 4 + 4h + h².

f(2) = 4.

Pay: 4 + 4h + h² − 4 = 4h + h².

(4h + h²)/h = h(4 + h)/h = 4 + h. Burada h ≠ 0 olduğu için sadeleştirme yapılabilir.

h → 0 için 4 + 0 = 4.

Sonuç: 4

Bu limit, x = 2 noktasındaki çok kısa aralıklarda “değişim ÷ aralık” oranının vardığı değerdir. Bir sonraki derste bunun adını koyacağız: f’nin x = 2’deki türevi. Yani f′(2) = 4. Giriş bölümündeki anlık hız fikri de buydu.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: “x = 3 yazınca 0/0 çıktı, cevap 1’dir” ya da “limit yoktur.” Doğrusu: 0/0 bir belirsizliktir. Çarpanlara ayırıp sadeleştirmeden ya da eşlenikle çarpmadan karar verilmez.
• Yanlış: “f(a) tanımsızsa limit de yoktur.” Doğrusu: Limit, x = a’daki değere değil, a’nın çevresindeki değerlere bakar. Örnek 2’de x = 3’te fonksiyon tanımsızdır, ama limit 6’dır.
• Yanlış: “Sağdan limit var, o hâlde limit de vardır.” Doğrusu: Sağdan ve soldan limitin ikisi de var olmalı ve eşit olmalıdır. Örneğin |x − 3|/(x − 3) ifadesinde sağdan limit 1, soldan limit −1’dir. Bu yüzden x → 3’te limit yoktur.
• Yanlış: Süreklilik sorusunda yalnızca sol limit = sağ limit eşitliğini kurmak. Doğrusu: Bu ortak değer f(a)’ya da eşit olmalıdır. f(a) ayrıca verilmişse onu mutlaka kontrol et.
• Yanlış: (√x − 2)(√x + 2) = x − 2 yazmak. Doğrusu: (√x)² − 2² = x − 4 olur. İki kare farkında sabit terimin de karesi alınır.

Sınav taktikleri (AYT)

• Soru tipleri: 0/0 belirsizliğinde limit hesabı, “limit varsa parametre kaçtır”, parçalı fonksiyonda süreklilik ve grafikten sağdan/soldan limit okuma en sık karşılaşılan kalıplardır.
• Süre: Bu tür soruları yaklaşık 1–1,5 dakikada bitirmeyi hedefle. Önce x = a yazarak sonucun belirsiz olup olmadığına bak. Belirsiz değilse işlem biter.
• Şık eleme: Polinomlu 0/0 sorusunda a’ya çok yakın bir sayı dene. Örneğin Örnek 2’de x = 3,01 için (9,0601 − 9)/0,01 = 6,01 çıkar, yani cevap 6’ya yakındır. Uzak şıklar hemen elenir.
• Kısayol: Rasyonel bir ifadede payda a’da sıfır oluyorsa ve limitin sayı olduğu söyleniyorsa, pay da a’da sıfır olmalıdır. Parametreyi bu eşitlikten bul.

Alıştırma

1) lim (x → −1) (x³ + 2x) kaçtır?

2) lim (x → 5) (x² − 25)/(x − 5) kaçtır?

3) lim (x → 2) (x² − 3x + 2)/(x − 2) kaçtır?

4) lim (x → 0) (x² + 4x)/x kaçtır?

5) lim (x → 9) (√x − 3)/(x − 9) kaçtır?

6) g(x) = |x − 3|/(x − 3) için sağdan limit, soldan limit ve x → 3’te limitin varlığını belirleyin.

7) f(x) = x² + 1 (x < 2 için) ve f(x) = 3x + k (x ≥ 2 için) olarak tanımlanıyor. f, x = 2’de sürekli olduğuna göre k kaçtır?

8) f(x) = mx − 1 (x < 3 için), f(3) = 8 ve f(x) = x + n (x > 3 için) olarak tanımlanıyor. f her yerde sürekli olduğuna göre m · n kaçtır?

9) f(x) = 3x² olmak üzere lim (h → 0) [f(1 + h) − f(1)]/h kaçtır?

10) lim (x → 1) (x³ − 1)/(x² − 1) kaçtır?

Cevap Anahtarı

1) −3. Polinom olduğu için x = −1 yazılır: −1 + (−2) = −3.

2) 10. (x − 5)(x + 5) ifadesinde (x − 5) sadeleşir, x + 5’te x = 5 yazılır.

3) 1. Pay (x − 1)(x − 2) olur, sadeleşince kalan x − 1’de x = 2 yazılır.

4) 4. x(x + 4)/x = x + 4 olur, x = 0 yazılınca 4 bulunur.

5) 1/6. Eşlenikle çarpınca 1/(√x + 3) kalır, x = 9 için 1/(3 + 3) = 1/6.

6) Sağdan limit 1, soldan limit −1, limit yok. x > 3 iken |x − 3| = x − 3, x < 3 iken |x − 3| = −(x − 3) olur ve iki taraf farklı çıkar.

7) k = −1. Soldan 2² + 1 = 5, sağdan 6 + k; 6 + k = 5 eşitliğinden k = −1.

8) 15. 3m − 1 = 8 eşitliğinden m = 3, 3 + n = 8 eşitliğinden n = 5; çarpımları 15.

9) 6. f(1 + h) − f(1) = 3(1 + 2h + h²) − 3 = 6h + 3h² olur, h’ye bölünce 6 + 3h kalır, h → 0 için 6.

10) 3/2. (x − 1)(x² + x + 1)/((x − 1)(x + 1)) sadeleşir, x = 1 için 3/2 bulunur.

Dersin özeti

• Limit, x bir sayıya yaklaşırken f(x)’in yaklaştığı değerdir. x o sayıya eşit olmaz, bu yüzden f(a) tanımsız olsa da limit var olabilir.
• Limitin var olması için sağdan ve soldan limitler var olmalı ve eşit olmalıdır. Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonlarda iki tarafı ayrı hesapla.
• 0/0 bir cevap değil, belirsizliktir. Polinomlarda (x − a) çarpanını sadeleştir, köklü ifadelerde eşlenikle çarp.
• Süreklilik için sol limit = sağ limit = f(a) olmalıdır. Parçalı fonksiyonlarda bu eşitliklerden bilinmeyenler bulunur.
• lim (h → 0) [f(a + h) − f(a)]/h limiti anlık değişimi verir. Bir sonraki derste bu limit, türevin tanımı olarak karşımıza çıkacak.