Türevin Tanımı ve Türev Alma Kuralları

Günlük hayattan giriş

Önceki derslerde fonksiyonları ve bir değere yaklaşma fikrini, yani limiti konuştuk. Bu derste limiti kullanarak matematiğin en güçlü araçlarından birini kuracağız: türev. Bir sonraki derste de türevi kullanıp fonksiyonun nerede arttığını, nerede azaldığını ve en büyük ya da en küçük değerini nerede aldığını bulacağız. Bunun için bu dersteki kuralları rahatça kullanabilmek gerekiyor.

Bir arabayla yolculuk yaptığını düşün. 2 saatte 160 km gittiysen ortalama hızın 80 km/sa olur. Ama arabanın göstergesi sana ortalamayı değil, tam o anki hızı gösterir. Bir an 50, başka bir an 95 olabilir. İşte “tam o anki hız” fikri türevin kendisidir. Ortalama hızı iki nokta arasındaki değişimden bulursun. Anlık hızı bulmak içinse bu iki noktayı birbirine sonsuz yaklaştırman gerekir. Limit burada devreye girer.

Aynı fikir her yerde karşımıza çıkar: Bir tankın dolma hızı, bir üründe fiyat değişince satışın ne kadar değiştiği, bir balon şişerken hacminin ne hızla büyüdüğü. Grafik açısından bakınca türev, eğrinin o noktadaki teğet doğrusunun eğimidir. Eğim büyükse eğri o noktada dik yükselir, eğim negatifse eğri iner.

Tanım ve kural

Ortalama değişim hızı: f fonksiyonu x = a ile x = a + h arasında [f(a + h) − f(a)] / h kadar değişir. Bu oran, grafikte bu iki noktadan geçen kesen doğrunun eğimidir.

Türevin tanımı: h sıfıra yaklaşırken ikinci nokta birinciye yaklaşır ve kesen doğru teğet doğrusuna dönüşür. Bu yüzden:

f'(a) = lim (h→0) [f(a + h) − f(a)] / h

Bu limit bir gerçek sayı olarak varsa f fonksiyonu x = a noktasında türevlenebilir denir. Türevlenebilen fonksiyon o noktada süreklidir. Tersi her zaman doğru değildir: f(x) = |x| fonksiyonu x = 0'da süreklidir ama orada sivri bir köşesi vardır. Soldan gelen eğim −1, sağdan gelen eğim 1 olduğu için x = 0'da türevi yoktur.

Her seferinde limit hesaplamak uzun sürer. Bu yüzden kurallar kullanırız. Ezberlemek yerine her kuralın neden doğru olduğuna bakalım:

Sabitin türevi 0'dır. f(x) = c ise grafik yatay bir doğrudur, eğimi 0'dır. Değer hiç değişmediği için değişim hızı da 0'dır.

Kuvvet kuralı: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹. Neden? (x + h)ⁿ açılınca xⁿ + n·xⁿ⁻¹·h + (h², h³ … içeren terimler) çıkar. xⁿ'i çıkarıp h'ye bölünce n·xⁿ⁻¹ + (h içeren terimler) kalır. h→0 olunca h içeren terimler kaybolur ve geriye n·xⁿ⁻¹ kalır. Kural n = 1/2 ve n = −1 gibi üsler için de geçerlidir: √x = x^(1/2) ve 1/x = x⁻¹ olarak yazılır.

Sabitle çarpım ve toplam kuralı: (c·f)' = c·f' ve (f ± g)' = f' ± g'. Neden? Limit, sabitle çarpmaya ve toplamaya ayrı ayrı uygulanabilir. Toplamın değişimi, değişimlerin toplamıdır.

Çarpım kuralı: (u·v)' = u'·v + u·v'. Neden? u·v'yi kenarları u ve v olan bir dikdörtgenin alanı gibi düşün. Kenarlar Δu ve Δv kadar büyüyünce alana üç parça eklenir: v·Δu, u·Δv ve köşedeki küçük Δu·Δv karesi. Bu artışı Δx'e bölüp Δx→0 yapınca köşedeki parça iki küçük sayının çarpımı olduğu için sıfıra gider. Geriye u'·v + u·v' kalır. Dikkat: Çarpımın türevi, türevlerin çarpımı değildir.

Bölüm kuralı: (u/v)' = (u'·v − u·v') / v². Neden? u/v = u·v⁻¹ yazalım. Çarpım kuralını uygulayalım: u'·v⁻¹ + u·(−v⁻²·v'). Paydayı v² yapıp birleştirince (u'·v − u·v') / v² olur. Payda kare olduğu için negatif olamaz. Pay kısmındaki eksiden dolayı sıra önemlidir.

Zincir kuralı: [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x). Neden? İç içe iki dişli düşün. Büyük dişli küçüğün 3 katı hızla, küçük dişli de x'in 2 katı hızla dönüyorsa büyük dişli x'in 3·2 = 6 katı hızla döner. Hızlar çarpılır. Önce dıştaki fonksiyonun türevi alınır (içi aynen bırakılır), sonra içtekinin türeviyle çarpılır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 (tanımla türev)

f(x) = x² için f'(3) değerini türevin tanımını kullanarak bulunuz.

Çözüm:

f'(3) = lim (h→0) [f(3 + h) − f(3)] / h

f(3 + h) = (3 + h)² = 9 + 6h + h²

f(3 + h) − f(3) = 9 + 6h + h² − 9 = 6h + h²

(6h + h²) / h = 6 + h (h ≠ 0 olduğu için sadeleşir)

h→0 iken 6 + h → 6

f'(3) = 6

Örnek 2 (kuvvet ve toplam kuralı)

f(x) = 4x³ − 5x² + 7x − 2 için f'(1) kaçtır?

Çözüm:

Her terimin türevini ayrı alalım: (4x³)' = 12x², (−5x²)' = −10x, (7x)' = 7, (−2)' = 0

f'(x) = 12x² − 10x + 7

f'(1) = 12 − 10 + 7

f'(1) = 9

Örnek 3 (köklü ve rasyonel üs)

f(x) = √x + 1/x² için f'(4) kaçtır?

Çözüm:

Üslü yazalım: f(x) = x^(1/2) + x⁻²

f'(x) = (1/2)·x^(−1/2) + (−2)·x⁻³ = 1/(2√x) − 2/x³

x = 4 için: 1/(2·2) = 1/4 ve 2/4³ = 2/64 = 1/32

f'(4) = 1/4 − 1/32 = 8/32 − 1/32

f'(4) = 7/32

Örnek 4 (çarpım kuralı)

f(x) = (x² + 1)(2x − 3) için f'(2) kaçtır?

Çözüm:

u = x² + 1 → u' = 2x ve v = 2x − 3 → v' = 2

f'(x) = 2x·(2x − 3) + (x² + 1)·2

x = 2 için: 2·2·(4 − 3) = 4 ve (4 + 1)·2 = 10

f'(2) = 4 + 10 = 14

Kontrol: Çarpımı açarsak f(x) = 2x³ − 3x² + 2x − 3 ve f'(x) = 6x² − 6x + 2 olur. Buradan f'(2) = 24 − 12 + 2 = 14 bulunur.

f'(2) = 14

Örnek 5 (bölüm kuralı)

f(x) = (2x + 1)/(x − 1) için f'(2) kaçtır?

Çözüm:

u = 2x + 1 → u' = 2 ve v = x − 1 → v' = 1

f'(x) = [2·(x − 1) − (2x + 1)·1] / (x − 1)²

Pay: 2x − 2 − 2x − 1 = −3

f'(x) = −3 / (x − 1)²

x = 2 için: −3 / 1² = −3

f'(2) = −3

Örnek 6 (zincir kuralı)

f(x) = (3x² − 1)⁴ için f'(1) kaçtır?

Çözüm:

Dıştaki fonksiyon (…)⁴, içteki fonksiyon 3x² − 1

Dıştakinin türevi (içi aynen kalır): 4·(3x² − 1)³

İçtekinin türevi: 6x

f'(x) = 4·(3x² − 1)³·6x

x = 1 için: 4·(2)³·6 = 4·8·6

f'(1) = 192

Örnek 7 (AYT tipi: çarpım + zincir birlikte)

f(x) = x·√(x² + 9) için f'(4) kaçtır?

Çözüm:

u = x → u' = 1 ve v = √(x² + 9)

Zincir kuralıyla: v' = 2x / (2√(x² + 9)) = x / √(x² + 9)

f'(x) = 1·√(x² + 9) + x·x / √(x² + 9)

x = 4 için: √(16 + 9) = √25 = 5

f'(4) = 5 + 16/5 = 25/5 + 16/5

f'(4) = 41/5

Örnek 8 (AYT tipi: değerleri verilen bileşke)

g(x) = f(2x + 1) ve f'(5) = 3 olduğuna göre g'(2) kaçtır?

Çözüm:

Zincir kuralı: g'(x) = f'(2x + 1)·2

x = 2 için içteki ifade: 2·2 + 1 = 5

g'(2) = f'(5)·2 = 3·2

g'(2) = 6

Sık yapılan hatalar

• Çarpımın türevini türevlerin çarpımı sanmak. Yanlış: [(x² + 1)(2x − 3)]' = 2x·2 = 4x. Doğrusu: 2x·(2x − 3) + (x² + 1)·2. x = 2'de yanlış yol 8, doğru yol 14 verir.
• Bölüm kuralında sırayı karıştırmak. Yanlış: (u·v' − u'·v)/v². Doğrusu: (u'·v − u·v')/v². Sıra değişirse sonucun işareti ters döner; Örnek 5'te −3 yerine 3 bulunur.
• Zincir kuralında içteki fonksiyonun türevini unutmak. Yanlış: [(3x² − 1)⁴]' = 4(3x² − 1)³. Doğrusu: 4(3x² − 1)³·6x.
• Köklü ve paydalı ifadelerde kuvvet kuralını yanlış uygulamak. Yanlış: (1/x)' = 1 veya (1/x²)' = 1/(2x). Doğrusu: 1/x = x⁻¹ olduğu için (1/x)' = −1/x²; 1/x² = x⁻² olduğu için (1/x²)' = −2/x³.
• Önce değeri yerine koyup sonra türev almak. Yanlış: f(x) = x³ için f'(2) istenince f(2) = 8 bulup türevini 0 almak. Doğrusu: önce f'(x) = 3x² bulunur, sonra yerine koyulur: f'(2) = 12.

Sınav taktikleri (AYT)

• Soru tipleri: Kurallarla f'(a) hesabı, değerleri tablo ya da cümleyle verilen f ve g üzerinden çarpım/bileşke türevi, teğetin eğimi ve teğet doğrusunun denklemi, bazen de türevin limit tanımını tanıma (lim [f(2 + h) − f(2)]/h ifadesinin f'(2) olduğunu görmek).
• Süre: Doğrudan kural uygulanan bir soruya yaklaşık 1–1,5 dakika ayır. Uzun sadeleştirmeye girme; türev ifadesini sadeleştirmeden önce sayıyı yerine koymak çoğu zaman daha hızlıdır (Örnek 4 ve 7'de olduğu gibi).
• Şık eleme: Bölüm kuralında payda kare olduğu için işareti yalnızca pay belirler; işareti yanlış olan şıkları hemen ele. Çarpım içeren sorularda “türevlerin çarpımı” ile bulunan tuzak şık neredeyse her zaman vardır; önce onu tespit et. Emin olamıyorsan küçük bir ifadeyi açıp kuvvet kuralıyla tekrar hesaplayarak kontrol et.

Alıştırma

1) f(x) = 5x⁴ − 3x² + x − 8 için f'(1) kaçtır?

2) f(x) = x³ için f'(2) değerini türevin tanımıyla bulunuz.

3) f(x) = 2√x için f'(9) kaçtır?

4) f(x) = 3/x için f'(−1) kaçtır?

5) f(x) = (x + 2)(x² − 3) için f'(1) kaçtır?

6) f(x) = x²/(x + 1) için f'(1) kaçtır?

7) f(x) = (2x − 3)⁵ için f'(2) kaçtır?

8) f(x) = √(x² + 16) için f'(3) kaçtır?

9) g(x) = f(x²) ve f'(4) = 5 olduğuna göre g'(2) kaçtır?

10) f(x) = x³ − 2x eğrisine x = 1 noktasında çizilen teğet doğrusunun denklemini bulunuz.

Cevap Anahtarı

• 1) 15 — f'(x) = 20x³ − 6x + 1 olduğu için f'(1) = 20 − 6 + 1 = 15.
• 2) 12 — (2 + h)³ = 8 + 12h + 6h² + h³ olduğundan oran 12 + 6h + h² olur ve h→0 iken 12'ye gider.
• 3) 1/3 — f'(x) = 2·1/(2√x) = 1/√x olduğundan f'(9) = 1/3.
• 4) −3 — f(x) = 3x⁻¹ olduğundan f'(x) = −3/x² ve f'(−1) = −3/1 = −3.
• 5) 4 — f'(x) = 1·(x² − 3) + (x + 2)·2x olduğundan f'(1) = −2 + 6 = 4.
• 6) 3/4 — f'(x) = [2x(x + 1) − x²]/(x + 1)² = (x² + 2x)/(x + 1)² olduğundan f'(1) = 3/4.
• 7) 10 — f'(x) = 5(2x − 3)⁴·2 olduğundan f'(2) = 5·1·2 = 10.
• 8) 3/5 — f'(x) = 2x/(2√(x² + 16)) = x/√(x² + 16) olduğundan f'(3) = 3/√25 = 3/5.
• 9) 20 — g'(x) = f'(x²)·2x olduğundan g'(2) = f'(4)·4 = 5·4 = 20.
• 10) y = x − 2 — f(1) = −1 ve f'(x) = 3x² − 2 ile eğim f'(1) = 1 olduğundan y + 1 = 1·(x − 1) yani y = x − 2.

Dersin özeti

• Türev, anlık değişim hızıdır ve grafikte teğet doğrusunun eğimidir: f'(a) = lim (h→0) [f(a + h) − f(a)]/h.
• Kuvvet kuralı (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ köklü ve paydalı ifadelerde de geçerlidir; önce üslü biçime çevirmek yeterlidir.
• Çarpımın türevi u'·v + u·v', bölümün türevi (u'·v − u·v')/v² biçimindedir; türevlerin çarpımı ya da bölümü alınmaz.
• Zincir kuralında önce dıştaki fonksiyonun türevi alınır, sonra içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır; çünkü değişim hızları çarpılır.
• Önce türev fonksiyonunu bul, sonra değeri yerine koy. Bir sonraki derste bu türevleri kullanarak artan-azalan aralıkları ve ekstremum noktalarını bulacağız.