Ekstremum Noktaları, İkinci Türev ve Optimizasyon Problemleri

Günlük hayattan giriş

Önceki derste türevin işaretine bakarak bir fonksiyonun hangi aralıkta arttığını, hangi aralıkta azaldığını bulmuştuk. Bu derste o bilgiyi bir adım ileri taşıyoruz. Artış ile azalışın yer değiştirdiği yerde grafikte bir tepe ya da çukur oluşur. Bu tepe ve çukurlara ekstremum noktaları diyoruz. Bir dağ yolunu düşünün: Yokuş yukarı çıkarken bir noktada zirveye varırsınız, sonra iniş başlar. Zirvede yol ne yukarı ne aşağı gider, yani eğim sıfırdır. Türevin sıfır olduğu noktaların neden bu kadar önemli olduğu buradan anlaşılır.

Günlük hayatta en büyüğü ya da en küçüğü arayan pek çok soru vardır: Elimizdeki tel ile en geniş bahçeyi nasıl çitleriz? Bir kartondan en büyük hacimli kutuyu nasıl yaparız? Bir üretimde kârın en yüksek olduğu miktar kaçtır? Bu sorulara optimizasyon problemleri denir. Hepsinin çözüm yolu aynıdır: Önce durumu tek değişkenli bir fonksiyonla anlatırız, sonra bu fonksiyonun türevini sıfıra eşitleyip en iyi değeri buluruz.

İkinci türev de grafiğin nasıl büküldüğünü anlatır. Bir araba virajda sola mı sağa mı dönüyor? Grafik yukarı doğru bir kâse gibi mi açılıyor, yoksa ters kâse gibi mi? İkinci türevin işareti bu soruları yanıtlar. Bükülme yönünün değiştiği noktaya da büküm noktası denir. Bu dersin sonunda, bir sonraki derste göreceğimiz integral ile alan hesabına geçmeden önce, fonksiyon grafiğini baştan sona yorumlayabilecek durumda olacaksınız.

Tanım ve kural

Yerel (bağıl) maksimum: x = a çevresindeki tüm x değerleri için f(x) ≤ f(a) ise f fonksiyonunun x = a noktasında yerel maksimumu vardır. Yerel minimum için de f(x) ≥ f(a) olmalıdır.

Mutlak maksimum ve minimum: Fonksiyonun tüm tanım aralığındaki en büyük ve en küçük değeridir. Kapalı bir [a, b] aralığında sürekli olan bir fonksiyonun mutlak maksimumu ve mutlak minimumu mutlaka vardır. Bunlar ya f'(x) = 0 olan noktalarda ya da aralığın uç noktalarındadır.

Birinci türev testi: f'(a) = 0 olsun. f' işaretini x = a noktasında + değerden − değere çeviriyorsa yerel maksimum, − değerden + değere çeviriyorsa yerel minimum vardır. Neden? Çünkü f' pozitifken fonksiyon artar, negatifken azalır. Önce artıp sonra azalan fonksiyon bir tepe yapar. Önce azalıp sonra artan fonksiyon ise bir çukur yapar. İşaret değişmiyorsa tepe ya da çukur da oluşmaz.

İkinci türev testi: f'(a) = 0 olsun. f''(a) < 0 ise yerel maksimum, f''(a) > 0 ise yerel minimum vardır. f''(a) = 0 ise bu test bir şey söylemez; birinci türev testine dönülür. Neden? f'' < 0 olması, f' değerinin azaldığını gösterir. Değeri sıfırdan geçerek azalan bir f' ise + işaretten − işarete geçer, bu da tepe demektir.

Konkavlık ve büküm: f''(x) > 0 olan aralıkta grafik yukarı bükük (kâse gibi, çukurluğu yukarı), f''(x) < 0 olan aralıkta ise aşağı bükük (ters kâse gibi) olur. f'' işaret değiştiriyorsa ve fonksiyon o noktada tanımlıysa, o nokta büküm noktasıdır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1

f(x) = x³ − 3x² + 2 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)

Adım 2: f'(x) = 0 ise x = 0 ya da x = 2 olur.

Adım 3: İşaret tablosu: x < 0 için f' > 0, 0 < x < 2 için f' < 0, x > 2 için f' > 0 olur.

Adım 4: x = 0 noktasında işaret + değerden − değere döner, burada yerel maksimum vardır: f(0) = 2

Adım 5: x = 2 noktasında işaret − değerden + değere döner, burada yerel minimum vardır: f(2) = 8 − 12 + 2 = −2

Yerel maksimum noktası (0, 2), yerel minimum noktası (2, −2) olur.

Örnek 2

f(x) = 2x³ − 9x² + 12x fonksiyonunun ekstremumlarını ikinci türev testiyle inceleyiniz.

Çözüm:

Adım 1: f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x − 1)(x − 2)

Adım 2: Kritik noktalar x = 1 ve x = 2 olur.

Adım 3: f''(x) = 12x − 18

Adım 4: f''(1) = 12 − 18 = −6 < 0 olduğundan x = 1 noktasında yerel maksimum vardır: f(1) = 2 − 9 + 12 = 5

Adım 5: f''(2) = 24 − 18 = 6 > 0 olduğundan x = 2 noktasında yerel minimum vardır: f(2) = 16 − 36 + 24 = 4

Yerel maksimum değer 5, yerel minimum değer 4 olur.

Örnek 3

f(x) = x³ − 6x² + 5 fonksiyonunun büküm noktasını ve bükülme aralıklarını bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: f'(x) = 3x² − 12x

Adım 2: f''(x) = 6x − 12

Adım 3: f''(x) = 0 ise x = 2 olur.

Adım 4: x < 2 için f'' < 0 (aşağı bükük), x > 2 için f'' > 0 (yukarı bükük) olur. İşaret değiştiği için x = 2 büküm noktasının apsisidir.

Adım 5: f(2) = 8 − 24 + 5 = −11

Büküm noktası (2, −11) olur. Grafik (−∞, 2) aralığında aşağı, (2, ∞) aralığında yukarı büküktür.

Örnek 4

f(x) = x³ − 3x fonksiyonunun [−2, 3] aralığındaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Kritik noktalar x = −1 ve x = 1 olur. İkisi de aralığın içindedir.

Adım 2: Uç noktaları ve kritik noktaları fonksiyonda yerine koyalım.

f(−2) = −8 + 6 = −2

f(−1) = −1 + 3 = 2

f(1) = 1 − 3 = −2

f(3) = 27 − 9 = 18

Adım 3: Bu değerlerin en büyüğü 18, en küçüğü −2 olur.

Mutlak maksimum 18 (x = 3 noktasında), mutlak minimum −2 (x = −2 ve x = 1 noktalarında) olur. Dikkat edin: Mutlak maksimum bir uç noktada çıktı. Uçları kontrol etmeseydik yanlış cevap verirdik.

Örnek 5 (AYT tipi)

f(x) = x³ + ax² + bx fonksiyonunun x = 1 noktasında yerel ekstremumu, x = 2 noktasında büküm noktası vardır. Buna göre a + b kaçtır?

Çözüm:

Adım 1: f'(x) = 3x² + 2ax + b ve f''(x) = 6x + 2a

Adım 2: Büküm koşulu f''(2) = 0 olduğundan 12 + 2a = 0 ve buradan a = −6 bulunur.

Adım 3: Ekstremum koşulu f'(1) = 0 olduğundan 3 + 2a + b = 0 olur. Buradan 3 − 12 + b = 0 ve b = 9 bulunur.

Adım 4: Kontrol edelim: f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). x = 1 noktasında işaret değişir, yani gerçekten ekstremum vardır.

a + b = −6 + 9 = 3

Örnek 6 (Optimizasyon: alan)

40 m uzunluğundaki bir tel ile bir kenarı duvar olan dikdörtgen biçiminde bir bahçe çevrilecektir. Duvar tarafına tel çekilmeyecektir. Bahçenin alanı en fazla kaç m² olur?

Çözüm:

Adım 1: Duvara dik olan iki kenarın her birine x diyelim. Duvara paralel kenar 40 − 2x olur.

Adım 2: Tanım aralığı: x > 0 ve 40 − 2x > 0 olmalıdır. Buradan 0 < x < 20 bulunur.

Adım 3: Alan fonksiyonu A(x) = x(40 − 2x) = 40x − 2x² olur.

Adım 4: A'(x) = 40 − 4x = 0 ise x = 10 olur.

Adım 5: A''(x) = −4 < 0 olduğundan bu nokta maksimumdur.

Adım 6: Kenarlar 10 m, 10 m ve 20 m olur. A(10) = 10 × 20 = 200

Bahçenin alanı en fazla 200 m² olur.

Örnek 7 (Optimizasyon: hacim)

Kenar uzunluğu 12 cm olan kare bir kartonun her köşesinden kenarı x cm olan birer kare kesilip kenarlar yukarı katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Kutunun hacmi en fazla kaç cm³ olur?

Çözüm:

Adım 1: Kutunun tabanı (12 − 2x) × (12 − 2x), yüksekliği x olur.

Adım 2: Tanım aralığı 0 < x < 6 olur.

Adım 3: V(x) = x(12 − 2x)²

Adım 4: Çarpımın türevini alalım: V'(x) = (12 − 2x)² + x · 2(12 − 2x) · (−2)

Adım 5: (12 − 2x) ortak çarpan parantezine alınırsa V'(x) = (12 − 2x)(12 − 2x − 4x) = (12 − 2x)(12 − 6x) olur.

Adım 6: V'(x) = 0 ise x = 6 ya da x = 2 olur. x = 6 tanım aralığında değildir (hacim sıfır olurdu).

Adım 7: 0 < x < 2 için V' > 0, 2 < x < 6 için V' < 0 olur. Bu nedenle x = 2 maksimumdur.

Adım 8: V(2) = 2 × 8² = 2 × 64 = 128

Kutunun hacmi en fazla 128 cm³ olur.

Sık yapılan hatalar

• Yanlış: f'(a) = 0 ise x = a noktasında mutlaka ekstremum vardır. Doğrusu: f(x) = x³ için f'(0) = 0 olur ama f'(x) = 3x² ≥ 0 olduğundan işaret değişmez. Bu nedenle x = 0 noktasında ekstremum yoktur. İşaret değişimini mutlaka kontrol edin.
• Yanlış: f''(a) = 0 ise x = a büküm noktasıdır. Doğrusu: f(x) = x⁴ için f''(x) = 12x² olur ve f''(0) = 0 çıkar. Ancak f'' hiç negatif olmadığı için işaret değişmez, yani büküm yoktur. Hatta x = 0 noktası bir minimumdur.
• Yanlış: Kapalı aralıkta yalnızca f' = 0 olan noktalara bakmak. Doğrusu: Mutlak ekstremum uç noktalarda da olabilir. Örnek 4'te mutlak maksimum x = 3 uç noktasındaydı.
• Yanlış: Optimizasyonda türevin bütün köklerini cevap kabul etmek. Doğrusu: Önce tanım aralığını yazın. Örnek 7'deki x = 6 kökü kutu oluşturmaz, bu yüzden elenir.
• Yanlış: Ekstremum noktası ile ekstremum değerini karıştırmak. Doğrusu: Yerel maksimum değeri f(a) sayısıdır, maksimum noktası (a, f(a)) ikilisidir. Soru kökünü dikkatle okuyun.

Sınav taktiği (AYT)

• Soru tipleri: Grafikten ya da f' grafiğinden ekstremum sayma, parametre bulma (Örnek 5 gibi), kapalı aralıkta mutlak ekstremum, sözel optimizasyon.
• Süre: Parametre ve ekstremum soruları için yaklaşık 1,5 dakika, sözel optimizasyon soruları için 2-3 dakika ayırmak makuldür. Takılırsanız soruyu işaretleyip geçin.
• Şık eleme: Tanım aralığının dışında kalan değerleri hemen eleyin (örneğin kutu sorusunda x ≥ 6 olan şıklar). Uç noktalardaki değerleri hesaplayıp mutlak maksimumdan küçük şıkları eleyin. Çevresi sabit dikdörtgenlerde en büyük alanın karede elde edildiğini bilmek sonucu hızlıca kontrol etmenizi sağlar.
• f' grafiği verilirse: Ekstremumlar f' grafiğinin x eksenini kestiği yerlerdedir, sadece değdiği yerlerde ekstremum yoktur. Büküm noktaları ise f' grafiğinin tepe ve çukurlarıdır.

Alıştırma

1) f(x) = x² − 6x + 1 fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?

2) f(x) = x³ − 12x fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?

3) f(x) = x³ − 3x² − 9x + 1 fonksiyonunun yerel minimum noktasını bulunuz.

4) f(x) = x³ + 3x² − 4 fonksiyonunun büküm noktasını bulunuz.

5) f(x) = x³ − 9x² fonksiyonu hangi aralıkta aşağı büküktür?

6) f(x) = x² − 4x + 5 fonksiyonunun [0, 5] aralığındaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz.

7) f(x) = x³ + ax² + 9x fonksiyonunun x = 1 noktasında yerel ekstremumu olduğuna göre a kaçtır?

8) Toplamları 20 olan iki pozitif sayının çarpımı en fazla kaçtır?

9) 60 m tel ile dört kenarı da tel olan dikdörtgen bir alan çevrilecektir. Alan en fazla kaç m² olur?

10) x ve y pozitif sayılar, x + y = 12 olduğuna göre x · y² çarpımı en fazla kaçtır?

Cevap Anahtarı

• 1) −8: f'(x) = 2x − 6 = 0 ise x = 3 olur ve f(3) = 9 − 18 + 1 = −8 bulunur.
• 2) 16: f'(x) = 3x² − 12 = 0 ise x = ±2 olur. İşaret x = −2 noktasında + değerden − değere döner ve f(−2) = −8 + 24 = 16 bulunur.
• 3) (3, −26): f'(x) = 3(x − 3)(x + 1) olur. İşaret x = 3 noktasında − değerden + değere döner ve f(3) = 27 − 27 − 27 + 1 = −26 bulunur.
• 4) (−1, −2): f''(x) = 6x + 6 = 0 ise x = −1 olur ve f(−1) = −1 + 3 − 4 = −2 bulunur.
• 5) (−∞, 3): f''(x) = 6x − 18 < 0 eşitsizliğinden x < 3 bulunur.
• 6) Mutlak maksimum 10, mutlak minimum 1: Kritik nokta x = 2 için f(2) = 1 olur. Uçlarda f(0) = 5 ve f(5) = 10 bulunur.
• 7) a = −6: f'(1) = 3 + 2a + 9 = 0 olur. Bu durumda f'(x) = 3(x − 1)(x − 3) çıkar ve işaret gerçekten değişir.
• 8) 100: P(x) = x(20 − x) için P'(x) = 20 − 2x = 0 ise x = 10 olur ve 10 × 10 = 100 bulunur.
• 9) 225: Kenarlar x ve 30 − x olur. A'(x) = 30 − 2x = 0 ise x = 15 bulunur, yani şekil karedir ve alan 15 × 15 = 225 olur.
• 10) 256: y = 12 − x yazılırsa P(x) = x(12 − x)² olur. P'(x) = (12 − x)(12 − 3x) = 0 ise x = 4, y = 8 bulunur ve 4 × 64 = 256 olur.

Dersin özeti

• Ekstremum için f'(a) = 0 olması yetmez. f' işaret değiştirmelidir: + değerden − değere geçiş maksimum, − değerden + değere geçiş minimum demektir.
• İkinci türev testinde f''(a) < 0 ise maksimum, f''(a) > 0 ise minimum vardır. f''(a) = 0 ise birinci türev testine dönülür.
• f'' > 0 olan yerde grafik yukarı bükük, f'' < 0 olan yerde aşağı büküktür. f'' işaret değiştirdiği noktada büküm vardır.
• Kapalı aralıkta mutlak ekstremum aranırken kritik noktalar ve uç noktalar birlikte hesaplanıp karşılaştırılır.
• Optimizasyonda şu sırayı izleyin: değişkeni seçin, tanım aralığını yazın, fonksiyonu kurun, türevi sıfıra eşitleyin, maksimum mu minimum mu olduğunu kontrol edin. Bir sonraki derste türevin tersi olan integrale geçip bu fonksiyonların grafikleri altında kalan alanları hesaplayacağız.